1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 81
Текст из файла (страница 81)
16.5. 1) Не существует; 2) любая строка; 3) все строки; 4) первая строка; 5) вторая и третья строки; 6) любые две строки; 7) любая пара разных строк, например 1-я и 2-я (но не 1-я и 4-я). 16.6. 1) Не существует; 2) любой столбец; 3) все столбцы; 4) второй столбец; 5) первый и второй столбцы; 6) любые два столбца; 7) любая пара столбцов, один из которых имеет номер, больший чем 3, например первый и четвертый столбцы (но не первый н второй).
16.7. Базисный минор равен определителю матрицы. Бсе строки, а также все столбцы матрицы базисные. Ранг равен порядку матрицы. 16.14. г8(! А В ))~ < г8А+ г8В. 16.18. 1)1;2)1; 3)1; 4)2; 5)2; 6)1; 7)1; 8)1; 9)1; 10)3; 11)2; 12) 1; 13) 3; 14) 2; 15) 2; 16) 2; 17) 2; 18) 2; 19) 3; 20) 4; 21) 3; 22) 2; 23) 3; 24) 4; 25) 4; 26) 4; 27) 3; 28), 29) и, если и четно, и и — 1, если и нечетно. 16.19. 1) 1 при е = ~1; 2 при других е; 2) 2 при всех Л; 3) 1 при и = 1, 2 при других а; 4) 1 при ы = 1, 2 при ы = О и и = — 2, 3 при остальных ы; 5) 2 при Л = 3, 3 при других Л; 1 6) 1 при Л = О, и — 1 при Л = — и (и+ 1), и при остальных Л; 7) 2 при е = О; к, если е — первообразный корень й-й степени из 1 и к<п; и при остальных е. 16.20.
1) 1 при Л=4 и Л=9, 2 при остальных Л; 2) 1 при Л = 3; 2 при Л = 2, 3 при остальных Л; 3) 2 прн Л = хг, 4 при остальных Л. 16.22. О < г8 А < 2; оценки точные при и > 2. 16.23. 0 < г8 А < 2(п — з); оценки точные при п < 2з. 16.24. 1 < г8 А < 3; оценки точные при и > 3. 16.25. 1) г8АВ < ппп(г8А,г8В). 16.26. 1) 1, если а ~ о и Ь ~ о; 0 в других случаях. 16.27.
Оба равенства выполнены, например, : при А = В = С = О. 16.28. У к аз ание: упростить матрицу с ' помощью элементарных преобразований строк и столбцов, приняв ; за базисные — выбранные строки и столбцы. Ранг матрицы, стоящей на их пересечении, не будет меняться, а сама эта матрица превратится в единичную. 16.29. т. У к аз ание: в данном случае базисный минор АВ есть произведение базисных миноров матриц А и В.
16.30. г8 А = г8 В = г. 16.31. 1) У к а з а н и е: строка матрицы К состоит из коэффициентов разложения строк 412 Ответы и указания матрицы А по строкам М. 2) Всякую матрипу А можно представить как произведение матрицы М, состоящей из базисных столбцов А, на некоторую матрицу К: А = МК. При этом столбцы К состоят из коэффициентов разложения столбцов А по столбцам М. 3) Для любых двух скелетных разложений А = КМ = К'М' выполнены равенства К' = КЯ ~, М' = ЯМ, где Я вЂ” невыро- 51 О)); жденная матрица порядка т = г8 А 16.32. Ц 1 0 !!;3) — 4 0 0 1 4 8 2) 3 ))2 — 3 0)), 6 )(1 — 3/2 0 1 2 0 0 — 1 1 — 4 О 1 0 1 — 2 0 1 — 1 — 4 2 3 4 7 — 1 — 2 2 5 0 4 0 01,4) )( — 1 — 2 — 3 ((' 1 0 0 1 -4 5 0 1 2 1 1 1 — 3 1 1 1 х 01 7,5) 1231 1230 16.33.
У к а з а н н е: представить соответствующую упрощен ную матрипу как сумму т матриц ранга 1. 16.34. 1)-5) верны не всегда, примеры обеспечиваются суммами 0 0 ~~ + ~~ ))О 1 ! О 1 1 ~~ + ~~ О О 1' ,6) верно всегда. 16.36. Указание: представить данную матрипу как произведение матрицы из двух строк на матрицу из двух столбцов. 16.38. Пример строгого 0 1 неравенства: гй 0 0 ) О. 16.40. У к а з а н и е: строки матрицы () А В ))~З являются линейными комбинациями строк )~ Е В ))~. 16.41.
У к а з а н и е: с помощью элементарных преобразований задачу свести к задаче 16.37. 16.42. В = СА 'В. 17.1. 1)хг= — 7,хз=24;2)х= — 1,у=1;3)х1=2,хз= — 1, хз — -1; 4) х=1, у=2, з= — 1; 5) хг —— 1, ха=3, хз=О, ха=1; 6) х = 4, у = 3, з = 2,1= 1; 7) хг = — 5, хз = 4, хз = 3, ха = — 2, хз = 1; 8) хг =1, ха=2, хз=З,х4= — 3, хз= — 2,хе= — 1. 17.2. 1) сзо', 1 2) сзз, 3) сю, 4) сы, 5) сае, 6) -сэз, 7) о. 17.4. С компонен- 9 тами решений происходят те же элементарные преобразования.
У к а з а н и е: использовать матричную запись системы уравнений и выражение элементарных преобразований через умножение матриц. 17.5. Основная матрица системы приводится к единичной, 1 в правой части оказывается решение. 17.6. 1) сзз, 2) — сз, 100 Ответы и указания 1 3) сг|0 4) сдз~ 5) сы; 6) сез', 7) — -еде', 8) — сзг', 9) с|т', 10) сгг|', 1 11) -с|в|0 12) с|де', 13) с|ге| 14) с|ге', 15) с|гг', 16) сгзз', 17) сгзе,' 13) сгзд, 19) сгзд, '20) сгы, 21) сгзг, 22) сгзе, 23) сггд.
18.1. В ответах через Ь, 6|, Ьг, ... обозначены произвольные постоянные "(параметры). 1) х = Ь, у = Ь; 2) х| — — 6| — 26ю хг = Ьз, хз = Ьг, 3) х| = — 6| — Ьг — Ьз — Ьт хг — Ьг, хз = Ьг, хз = Ьз, хз = Ьзб 4) х=у=Ь, г=-26; 5) х=у=з=Ь; 6) х=г=Ь, у= — 26; 7) х| — — Ьз + 10Ью хг — — 6| + 76г, хз = Ьз, х4 = 26г; 3) х| = О, .хг = х4 = Ь, хз = — Ь; 9) х| — — — 26з — ЗЬг, хг = 6|, хз = Ьгн х4 = 0; -10) х| = Ь!,хг = Ьг, хз = Ьз, х4 = Ь| + Ьг + Ьз,хз = 36| + 26г + Ьз; 11), 12) х| — Ь|, хг = 6| + Ьг, хз = Ьг, х4 — — 26з, хз = — Ьг.
18.3. Ь = и — г, где п — число столбцов матрицы, г — ее ранг; Ь = О, , ею|и столбцы матрицы линейно независимы. 18.4. О. 18.5. Однородная система уравнений всегда совместна. 18.6. 1) Столбцы матрицы системы линейно независимы. 2) Столбцы матрицы системы линейно зависимы. 18.7. 1) сг|0 2) А|ге, '3) Азд|, 4) сдг, 5) А|ад, .6) А,з,, 7) А|за, 8) с|за' 9) Аыд, 10) Апз' 11) А|в|. 18.8. В о|пветах указана фундаментальная матрица, а при ее отсутствии — нулевой столбец. 1) сдз при Л = 2; А||| при Л = 3; о при остальных Л; 2) сдз при Л = — 2; А|гг при Л = 3; о при остальных Л; 3) А|ге при Л = 0; о при Л ф 0; 4) А|го при с| = 1; сгг при о ф 1; 5) сзз при Л = 6; А|ге при Л = 0; о при остальных Л; 6) сгг при ы = 0; А|ге при ы = 1; сггг при ы = -2; о при остальных ы.
18.9. В ответах указаны фундаменталы|ые матрицы данной и сопряженной систем уравнений, а при их отсутствии — нулевые с|полбцы. 1) о, с|до; 2) сз А|г|б 3) о, сзг, 4) с|о|, с|о|' 5) о, о; 6) с|дг, с|аз', 7) с|да, Ат|', 3) о, А|з|0 9) о, А|зг, '10) сыз, с|ге,' 11) А|аз, с|ю; 12) сгзд, сгзг. 18.10. Да, если основная матрица системы квадратная. 18.11.
Да, если, например, матрица системы симметрическая. 18.13. ФС, где дед С ф О. 18.14. 1) А|ге, А|ге., Алд4. У к а 3 а н и е: все фундаментальные матрицы получаются из одной с помощью злементарных преобразований столбцов. 18.15. 1) А|ге и все матрицы, которые получаются из нее пере- 1 становками строки (~ — 1 — 1 )(; 2) с|дг и -с|дг., 3) А|а|, 4) Аздз и все матрицы, которые получаются из нее перестановками строки ~) — 1 — 1 — 1 )~. 18.16. А'у = о, где А' = АЯ, с фундаментальной матрицей Ф' = Я 'Ф.
18.17. 1) х| — хг — хз = 0; 2) х| — хг — хз = О, 5х| — хг+хз=О; 3) х| — хг=О, 2х| — хз=О, 2х| — х4=0; 4) х| — хз —— О, х| — 2хг + х4 = 0; 5) 2х| — хг + 13хз + хз = О, хз — бх4+ хз —— О. 18.18. Системы с матрицами вида СА, где столбцы С линейно независимы. 18.19. Системы с матрицами вида СА, где столбцы С линейно независимы, а Ат — фундаментальная матрица системы Фтх = о. 19.1. В о|пветах через Ь, 414 Отееты и указания Ьп Ьг, ... обозначены произвольные постоянные (параметры). 1) х = 2+ 36, у = 26; 2) хз — — 1 — Ьз — 2Ьг — ЗЬз, хг = Ьп хз = Ьг, хл=йз' 3) х=у= 6, в=4 — 36; 4) х= 6!+Ьъ у= — 1 — Ьг+Ьъ з = — 2 + Ьг ~/2+ 26г, 5) х = 14+ Ь, у = — 9 — 2Ь, з = Ь; 6) хг — — 1 — Ьп хг = — Ьг, хз = 1+ Ьз + 26г, хв = — 1+ 26г + ЗЬг, .7) хг — — — 2 — Ь, хг = Ь, хз = 2+ Ь, хв = 1; 8) хг —— — 1 — 56, хг — — 66, хз — — — 1 — 56, хв = 1 + 76; 9) хз = 6 — Ьг — Ьг — Ьз, хг — — 8 — 6| — Ьг — Ьз, хз = Ьп хв = Ьг хв = Ьз' 10) хз — — 2 + 46з — 116г — 146з, хг = 1 — 226| + 326г + 236з, хз = — 1 + 36п хв — — 1 + 156г, хв = — 1+ 156з.
19.3. Не более чем на 1. 19.4. хз = О, хг — — О, ..., х„= О, 0 = 1. 19.5. Ранги основной и расширенной матриц равны и. 19.6. В ответах указаны частное решение и фундаментаяьная матрица, а если решение единственно — решение. 1) сшв, сшг, 1 2) сюв, сгоп 3) решений нет; 4) свд, с~од, 5) -свв, сыг, .6) стн Ашз' 5 7) решений нет; 8) — сш, сздг, '9) — Зсып сгдв' 10) сдд; 11) — сгог, сии' 12) смо; 13) сдш спп 14) — спв, Азвв, 15) сшз, Аыв', 16) сзвг, Агвз', 17) сгвз, Агзг, 18) сгвв, Агзв, '19) сзвз, Ашг, 20) сгвм Азв~., 21) сзвз, Агзв, 22) сгвв, Апз', 23) решений нет; 24) сир, с~вв', 25) спм сзвд, 26) спв, 27) решений нет; 28) сгдп Агвд., 29) сгвг, Ашд, 30) сшг, 1 1 си~, '31) сгвз, Амп 32) сего Авгг; 33) -сгзв, Ашв', 34) — — сгвв, Авдд, 35) решений нет; 36) — сгвш А,вв, 37) сгзз А4,П 38) сгвв, Апг, '39) сгзв, Агвг, '40) сжг, Агвв', 41) сгзв, Апд; 42) сгзм Авдд; 43) — -сгв„Ащд, 44) — -сгвв, Аыг, 45) -сгвв, Авш, 46) — -сгзв) Амг; 47) сгзд, сгвд; 48) сгвм сгвв, 49) сггг сгвг, 50) — сгвд Авш.
19.7. В ответах указаны: значение парамегпра, при котором система совместна, частпное решение и фундаментальное решение однородной системы при этом значении параметра. 1) Л = 15, сыг, смз, '2) Л = 9, свд, см4' ,3) Л = 7, схн с~~в, .4) Л = 12, свд, сгн 19.8. Линейные комбинации с суммой коэффициентов, равной 1. 19.9. Линейные комбинации с суммой коэффициентов, равной О. 19.10. (1,1,...,1). 19.11. (0,0,...,0,1). 19.12. 1) Ая = оа; 2) Ая = а + Ь; 3) Ая = сзн + ВЬ. 19.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
