1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 83
Текст из файла (страница 83)
21.6. 1) х; / 2) о; 3) -а| = ~ — —, -(; 4) 2а|+ а| = ( — 1, 4, 2); 5) аг — а| — — (2, 4 ~, 4'4( — 6, 6, 1) . 21.7. 1) Размерность суммы равна 2 (сумма совпадает т со всем пространством); базис: а|, аг. Размерность пересечения равна 1 (пересечение совпадает со вторым подпространством); базис: Ь|. 2) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а|, аг, аг. Размерность пересечения равна 2 (пересеченне совпадает со вторым подпространством); базис: Ь|, Ьг. 3) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а|, Ь|, Ьг.
Размерность пересечения равна 0 (сумма прямая). 4) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а|, аг, Ьг. Размерность пересечения равна 1; базис (1, О, 1) . 5) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а|, аг, Ь|. Размерность пересечения равна 1; базис: (3, 1, 0) . 6) Размерность т суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а|, аг, Ь|.
Размерность пересечения равна 1; базис: (40, 45, 43) 7) Размерность суммы равна 3; базис: а|, аг, Ь|. Размерность пересечения равна 1; базис: (2, — 6, 7, — 2) . 8) Размерность т суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а„аг, Ь|, Ьг. Размерность пересечения равна 0 (сумма прямая). 9) Размерность суммы равна 3; базис: а|, аг, аг.
Размерность пересечения равна 2; базис: Ь|, Ьг. Сумма совпадает с первым подпространством, пересечение — со вторым. 10) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а|, аг, аг, Ь4. Размерность пересечения равна 2; базис: Ьг, а|. 11) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а|, аг, аг, Ьг. Размерность пересечения равна 2; т базис; Ьг+ Ьг, и Ь| — Ьг с координатными столбцами )~ 2 2 0 3 0 и 3 3 5 — 1 4 )! .
21.8. Размерность суммы равна 5; базис: Агиг, т .4ги| Агог, Аги4, Агмь Размерность пересечения равна 2; базис: Агиг, Агье. 21.9. Размерность суммы равна 3; базис 1+ 21+ 1г, 1+1г, 1+ Ф+ 1г. Размерность пересечения равна 1; базис: 2+ 31+ Ф~ + 1г. 21.14. 2) Если ь", М, Л вЂ” одномерные пространства, натянутые на три компланарных, но не коллинеарных вектора, то Р ф Д. 22.1. 1) (4 — 8|); 2) ( — 2+ 3|, 9+ 5|); 3) — (4+ |, — 18|, 1 — 10|) 22.2. 11 3.
8 14 ~~. 22.3. 1) ( — 1 — 8|', — 3 + 6|) 1+ 5| — 6+ | . т 420 Опгвепгм и указания 2) (2, — 10г, 4 — 61) . 22.4. ' 1) с4г = ( — 1 + 1)сге, 2+ 9г — 3+ 4г' 2) с4е = — — сге + 5 5 сго 3) сггг = — 2сггг + сггг. 22.5. 1) Размерность равна 1; базис: сь. 2) Размерность равна 2; базис: сгг, сгэ. 3) Размерность равна 1; базис: сге. 4) Размерность равна 1; базис: сюю 5) Размерность равна 2; базис огнь сггю 6) Размерность равна 3; базис сые, сгнп сгэе 22.6. 1) (1+ Зг); 2) (1 + 2г, 2 — г) ; 3) (1, 2) ; 4) (1 + 1, -31) ; 5) (1, -г, 2) 6) (1+г', — г, О, 2) .
22.7. 1) Размерность равна О. 2) Размерность равна 1; базис: (1+31, — 2) . 3) Размерность равна 1; т базис: (1, 1, 1) . 4) Размерность равна 2; базис: (1 — г, — 1, 0) (2+ г', О, — 1)т. 5) Размерность равна 2; базис: ( — 1, г, 1, 0) (1 + г, 1, О, — 1)т. 22.8. 1) (3 — Зг)хг — 2хг = 0; 2) 0 = 0; 3) хг — хг = О, хд — хг = О, (1 — 1)хг — т4 = 0; 4) (13 — 4г)хг + + 37хг — (11 + 45г)хз = 0; 5) (1 — 71)хг + ( — 11 + 7ъ)хг + 10хг = О, ( — 19 + 131)хг + (9 — 31)хг + 10х4 = О. 22.9. 1) /! 4+ 1 Ц; 1)( — 1 — 6г — 29 — 18г'! 1+ 6г, 29+ 18г, бг — — (4+г)~(; 2) — й ..; (г = — — Ц— 28 2+1 10 — 51 ~' 2 2 ьг= — Ц+ сг',3) — 2 — г 3+101 — 1+бг;(г —- (2 — г)Ц— 2 ' 2 1+ 2г' 1 — 81 1 — 41 — (1 + 2г)6г + (1 — газ 6 = — (2 + г)~( + (3 + 10гЩ + (-1+ 5г)Ц, сг = (1+ 2г)С„' + (1 — 8г)сг + (1 — 4г)Я.
22.10. 1) х = 1сы; 2) о; 3 3 3) — (2 — 9г)с4.з = — (9+ 2г, 4 — 18г) . 22.11. 1) Размерность суммы 5 5 равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ам аг, Ьм Размерность пересечения равна 1; базис: (О, 4, 3 — г) . 2) Размер.т ность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ам аг, Ьм Размерность пересечения равна 1; базис: (9+ 10г, . т 2 — 161, — 10 — Зг) .
3) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ам нг, н4, Ь4. Размерность пересечения равна 2; базис: Ьм Ьг. 22.12. 2) Базис образуют векторы (1, 0), (г, 0), (О, 1), (О, 1) . Вектор сгг имеет в этом базисе координатный столбец ( — 3, 2, О, — 1) .
22.13. 1) Комплексное т пространство (и + 1)-мерно; базис: 1, 1, ..., Ф". Вещественное пространство (2п + 2)-мерно; базис: 1, г, 1, гг, ..., 1", г2". 2) В комплексном пространстве: (1 — 21, 3+г, — 3) . В вещественном т пространстве: (1, — 2, 3, 1, — 3, 0)т. 23.1. 1), 5), 9) — линейно; 2), 3), 4), 6), 7), 8), 10) — нет. 23.2. В любом базисе: 1) нулевая матрица; 2) единичная матрица Е; 3) скалярная матрица ЛЕ (Л вЂ” коэффициент гомотетии).
1) Не является; 2), 3) изоморфизм. 23.4. При М = ь". 23.5. Нет при (о) ф М з~ ь. 23.6. 1) Ортогональное проектирование на прямую Отттеетны и указания г = 1а; 2) проектирование на подпростраиство г = 1а параллельно надпространству (г, и) = 0; 3) ортогональное проектирование на надпространство (г, и) = 0; 4) проектирование на надпространство (г, и) = 0 параллельно вектору а; 5) ортогональное отражение в подпространстве (г, и) = 0; 6) ортогональное отражение в прямой г = 1а.
23.Т. Ц Произведение ортогонального проектирования на плоскость (х, а) = 0 и поворота на т/2 вокруг прямой х = 1а. 2) Произведение проектирования иа плоскость (х, и,е) = О, поворота на угол т/2 вокруг прямой х = 1[и, ч] и гомотетин с коэффициентом [[п,ч][. 23.8. Ц то(х) = х — — 'и; ядро — прямая [г, п] = 0; (х,п) [п[э множество значений — плоскость (г, и) = 0; гб у = 2; 2) ~о(х) = а = (х, а) —; ядро — плоскость (г, а) = 0; множество значений— [а[э прямая [г, а] = 0; гб то = 1; 3) то(х) = х — ' а, ядро — прямая (х, и) (а, и) [г, а] = О, множество значений — плоскость (г, и) = 0; гбтд = 2; (х,п) 4) ут(х) = ' а; ядро — плоскость (г, и) =0; множество значений (а, и) и — прямая [г, а] = 0; гб ао = 1; 5) то(х) = х — 2 (х, и) —; 6) у(х) = [п[з ' а (х, и) (х,и) = 2 (а, х) — — х; 7) ат(х) = х — 2 †' а; 8) ет(х) = 2 †' а — х; [а[э (а,и) (а,п) 5) — 8) преобразования являются изоморфизмами; Кег р = (0); ООО 1птто — все пространство; гй = 3.
23.9. Ц 0 1 О; 2) — 1 1 1 ОО0 3 1 2 — 1 — 1 1 5 1 2 3) — — 1 2 — 1; 4) — 1 5 — 2 . Указание: исполь- 3 — 1 — 1 2 6 2 — 2 2 000 зовать результаты задач 23.8, Ц и 2). 23.10. Ц вЂ” 1 1 0 201 2 3 Π— 6 — 9 3 1[[2 3 — 4 2) — 2 3 0;3) 8 12 — 4;4) — 114 6 — 8 .Указание; 5 1 1 5 ' 10 15 5 ' 2 3 4 то же, что и в задаче 23.9. 23.11.
Если исходный базис в Ез ортонормированный, а базис в ь" состоит нз вектора а (в случае прямой) или пары векторов а, Ь (в случае плоскости), то: 23.9. Ц [[ 0 1 0 [[, приа(0, 1,0);2) — [[1 1 1[[ирна(1, 1, Ц;3) — ]]О 1 при 1 (2' 1' Ц'Ь( 1'2' Ц'4) 3 3 О '23.10'Ц 2 О 330 422 Огпвепсы и указассил приа(0, 1, 0),Ъ(0, О, 1);2) — ~~ ~ при а(1, 1, 0),Ь(0, О, 1); 3) З 2 3 — 1 З при а( — 3, 4, 5); 4) (! 1сс2 Зсс4 — 1 3 при а(1, 2, 3). 23.12. 1) 010~; 2) — ~ 4 — 7 4; 3) — — 2 1 — 2 0 0 1 В 4 — 1 -2 — 2 1 результаты задач 23,8, 5) н 6). — 1 2 0 4 1 0 .
Указание: использо- 2 2 — 3 У к а з а н н е: использовать — 100 23.13. 1) — 4 1 0; 2)— 401 3 созо ~ясно 0 вать результаты задач 23.8, 7) и 8). 23.14. 1) х зсп о сова 0 0 0 1 1 0 0 2) 0 0 ~1; 3) Асвэ и Азео. 23.15. В 1) и 2) Кег р = .С", Ох1 0 1гп р = С'. Если базис в С' образуют первые к базисных векторов базиса пространства С„то: 1) 61а8 (1, ..., 1, О, ..., 0) (к единиц); 2) у Яь О ))гЗ (Ее — единичная матрица порядка /с).
23.16. Жа8(1, ..., 1, — 1, ..., — 1); р — изоморфизм (число единиц равно размерности Сс). 23.17. Пусть еы ..., е„— базис в М, а векторы е,.„ы ..., е„дополняют его до базиса в С. Матрица отображения р в наре базисов (еы ..., е„), (ем ..., е,) получается из матрицы преобразования р в базисе (е,, ..., е„) вычеркиванием строк с номерами г+ 1, ..., и. 23.22. 1) г8 ус = сйсоС = див С, Кег ~о = (о); 2) В = А '. 23.25. У к а з а н и е: выбрать базис в С, включаюпцсй базис подпространства (если оно ненулевое). 23.26. 1) — 2аы аз, 4аз.
Произведение растяжений с коэффициензами — 2, 1, 4 в направлении соответственно векторов аы аз, аз. 2) Заы Заз, 2аз. Гомотетия с коэффициентом 3 в плоскости х = зас + 1аз и растяжение с коэффициентом 2 в направлении вектора аз. 3) о, (5, О, — 5), (11, 5, -1) . 4) аы саз, — саз. т т Произведение растяжений комплексного арифметического пространства в направлении векторов ам ам аз с коэффициентами 1, с, — с соответственно. 5) -ас, (1 + с)аз, (1 — с)аз. Произведение растяжений комплексного арифметического пространства в направлении векторов ам аз, аз с коэффициентами — 1, 1 + с, 1 — с соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
