1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 86
Текст из файла (страница 86)
24.36. 1) 1+ ( — 1)"; 2) 0; 3) /и при и = 4й+ 1, 11/и при и = 4й + 3; 4) г<п 0<з" зггзи"гг. у к а з а н и с: воспользоваться результатами задач 24.34, 7) и 24.35, 9). 24.37. 1) Агег, 2) Агзо, 3) Азог .Рг, Азоо Рг. 24.38. 1) .7з( — 1)~ 2) Агоо. 24.39. 5. Ь+ За 2440. 9,4,3,2;или9,2,6,1.Л=2. 2441. —.Указание; 4З2 Отееты и указания Л = — 1, собственные векторы — ненулевые косоэрмитовы матриць 0-1 ' 10' 24.55. 1) с(даб ( — 4, -4, 4, 4) в базисе 8 0 ; 2) Л = 5, собственные матрицы 0 0 ; 3) ббаб(я, я за( б ( (, — я 0 1 0 0 1 0 — я 0 0 24.56. 1) бдан ( — 1, — 1, -2, — 2) в базисе 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 ! О О, ~ 1 2, 2) Л = — 3, собственные матрицы 12 (00 3 е— 3) сНаб (е, я, яг, е~), я = ед"1г, в базисе 3 я — 1 о о з ' — .
24.52, 1) Е .4= 0 адг — агд 0 аг, агг — адд 0 — адн — адг 0 ам — агг адг . 2) а) Л = О, собственныь 0 — ада агд 0 ед'дд. 24.43. 1) Л = О, собственные векторы кмиогочлены а1 + с ()а! + )Ь( ~ 0); 2) Л = О, собственные векторы — константы; Л = — йд Х = (аьсояИ+ЬьяшИ))а(+(Ь( ф О), й = 1, ..., п; 3) Л = ЛЬ Х = (се~" ~ с ф 0), /с = 1, ..., п; 4) Л = Лго, Х = (селм! с ~ Од 2444. 1) Л = О, Х = ((ао+адд)ед!/ао/+!ад/ ~ 0); 2) Л = -1 Х = (аед!а ф 01; 3) Л = 2, все ненулевые функции из С сосственные.
24.45. 1) Л = — 1, все ненулевые функции из Л собственные. 2) Нет собственных векторов. 24.46. 1) Л = 6 Х = (асоя2с+ Ьяш21((а(+ )Ь! ф О); 2) Л = — 16, все ненулевы. функции собственные. 24.47. Через р, 4 обозначены базисны.- векторы собственных подпростраиств. 1) Л = О, р = 1; Л = 1 р=й; Л=2,р=сг; 2) Л=1,р=1; Л=2, р=й; Л=З, р=й 3) Л = 1, р = й; Л = 2, р = 1, 4 = д~. 24.48. Собственные зиь чеиия — всевозможные Л Е К. Собственные функции се"', с ~ С 24.49.
Л = — пг, Х = (ссАппй(с ф 01, п любое натуральное числс. 24.50. А = В = С = Е. 24.51. 2) Л = 1, собствсииыс векторы— миогочлены степени меньше т; Л = О, собственные векторы — мнсгочлеиы, делящиеся на ря(1). 24.52. 1) с(даб (1, О, О, 0) в базис: 1, С, сг, ся; 2) чаи (1, 1, О, 0) в базисе 1, 1, сг + 1, сз + 1; 3) с1даб (1 1, 1, 0) в базисе 1, 1 — 1, (1 — 1)г, (1 — 1)г. 24.53. Л = 1, сосственные векторы — ненулевые симметрические матрицы; Л = -1 собственные векторы — ненулевые кососиммстрические матриць. т Формула А = -(А+ Аг ) + -(А — А ) дает искомое разложение 2 2 24.54.
Л = 1, собственные векторы — ненулевые эрмитовы матриць: Ответи и указания 433 матрицы Е, Адов, б) йаб (О, О, 2, — 2) в базисе Е, Агг, Ав, Ат в) йаб(0, О, — 2д, 2д) в базисе [ 1, 1 [ 24.58. 1) йаб (1, 1, — 1, — 1) в базисе Е, Агг, — Ав, Аго, 2) Л = 1, собственные матрицы Е, Адов. 24.59. Л = 1; собственные функции: 1) 1, у, уг; 2) 1, 2х+ у, (2х+ у)г. У к а з а н и е: можно использовать результат задачи 23.50. 24.60. 1) Л = О, собственный вектор х"; 2) Л = О, собственный вектор у"; 3) Лая (и, и — 2, ..., — и) в базисе х", х" ду, ..., у" дх, у". У к а з а н и е: можно использовать задачу 23.51.
24.61. 1) Л = 1, собственные векторы — константы; Л = О, собственные векторы х, ху, хг. 2) йаб (1, 1, 1, 1, — 1, — 1) в базисе 1, х+ у, ху, хо + уг, х — у, х — уг. 3) Л = 1, собственные векторы 1, х, х, у; Л = — 1, собственные векторы у, ху. г г. 24.62. 1) Лая (2, — 2, 0) в базисе х + хг, х — хг, 3 — 5хг; 2) йая (2/3, 4/3, — 8/15) в базисе бх + 1, х, Зх — 1. 24.63. 1) о[[об (х/2, — х/2) в базисе вшх+ совх, вшх — совх; 2) йая(к/2, х/4, х/4) в базисе 1, сов 2х, вш2х.
24 64. Л = О, собственные векторы — гармонические многочлены, т.е. решения уравнения Лапласа г'др = О. При п = 0 это многочлены нулевой степени, а при п ) 1 существуют два линейно независимых однородных гармонических многочлена степени и: [иГг[ [. 1г[ и„= ~' ( — 1)"Сг"х" гьугь и„= ~', ( 1)ь~гь+дх"-гь-дугь+д в=о в=о У казани е: и„+ ди„= (х + ду)". 24.65.
Преобразования с 10[~ 11~ АВ д-[ АО)П м"'рида и 01~~" 01~ 24'72' ') О С ' ) В С1 матрица А порядка [о. 24.75. Любое надпространство инвариантно. 24.76. Вся плоскость и нулевое надпространство. 24.7Т. Прямая х = да и плоскость (х, а) = О. 24.78. Если матрица преобразования диагональна в базисе ед,..., е„, то ненулевые инвариантные погпдространства натянуты на всевозможные системы векторов ед„..., еис Число инвариантных надпространств равно 2".
24 79. Пусть С является примой суммой собственных подпространств преобразования [г: Е = Сд Ю .. йг С,. Тогда любое инвариантное надпространство М имеет вид М = Мд сг ... йд М„ где Мд — некоторое надпространство в Ед (д = 1, ..., з). 24.80. Подпространства (о) и линейные оболочки векторов ед, ..., еь для каждого й = 1, ..., п. 24.81. Мд + Мг, где М; — произвольное надпространство в Ед д' = 1, 2. 24.82. 2) У к а з а н и е: использовать задачи 24.2 и 24.26, 4). 24.83. 2) У к а з а н и е: использовать задачи 24.26, 1) и 23.98. 24.85.
Указание: использовать задачу 24.84. 24.86. Очевидные инвариантные надпространства: (о) и все про- м — !п5 Ответы и указания 434 020 0 — 200 0 002 — 2 002 2 1 0 1 0 О 1 0 1 1 0 — 1 0 0 1 0 — 1 450 А'= — 540; 2) з= 000 А' = 1 ~/2 1 -»Г2 ~/2 — 1 ~/2 — 1 1 0 1 0 0 1 0 1 -~/г -1 О О 1 0 0 0 0 0 ~!2 — 1 0 0 1 0 А' 3) Я 0 — 9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 — 9 0 0 1 0 — 3 — 3 — 1 О 3 2 1 0 4 3 1 0 1 0 0 1 1 002 0 — 102 Π— 210 0 201 4) Я= ; 5) странство. Другие иивариантиые подпространства: 1) одномерные с базисными векторами (2, -1) и (1, — 1); 2) одномерное с т т, базисным вектором ( — 1, 2); 3) одномерные подпространства т с базисными векторами ໠— — (О, 1, 1), аз —— (1, — 1, — 1), т аз = (1, -1, — 2), двумерные: линейные оболочки пар векторов и;, аы 1 < 1 < й < 3; 4) одномерное инвариантное подпростран- ство Р с базисным вектором (3, 5, 6), двумерное инвариантное т подпространство Я с базисом (2, 1, 0), (1, О, — 1); все под- пространства М пространства Я; всевозможные суммы М + Р.
5), б) Собственные подпространства М, Л/ с базисами из векторов е»+ е„»е», 1 < lс < [(и+ 1)/2[ и е» вЂ” е„»ем 1 < Й < [и/2[; все под- пространства Р, Я пространств М, ЛГ; всевозможные суммы Р+»е. 7) Собственные подпространства М, Ф с базисами е» + ... + е„и е» вЂ” ез,..., е» вЂ” е„; все подпространства Р пространства АГ; все сум- мы Р + М. 24.87. (и — 1)-мерные инвариантные подпространства определяются уравнениями: 1) х» — 2хз + хз = 0 и х» — хе + хз = 0; 2) (2а + Зф)х» — ах» + ~3хз = 0 ([а[ + ф[ 1» 0); 3) х» — хз + 2хз = 0; 4) х» — хг =0; 5) х»+2хзх(хз+2х4) =0; б) х»+хам(хз+х4) =0; 7) 2х~+хз+Зхз+х4 — х»=0; 8) хд+хз+.
+хч=О. Указание: использовать результаты задачи 24.84 или 24.85, 2). 24.88. 2) Базис в Е: (1, — 1, -1, 0), (О, О, О, 1) . 24.89. 1) У к а з а н и е: если ем..., е» вЂ” базис в .С» (я = 1, ..., и), то еы ..., е„— искомый базис. 24.90. Линейные оболочки пар векторов: 1) [[1 0 2 [[, [[О 1 2 [[; 2) [[1 0 1 0 [[, [[О 1 0 1 [[ и [[ 1 0 — 1 0 [[, )) 0 1 Π— 1 [[; 3) [[ 1 — ~Г2 1 0 [[, [[ ~/2 — 1 0 1 [[ и [[1»/2 1 О[[, [[ — ~Г2 — 1 0 1$4) все пространство; 1 0 2 5) [[ — 1110[[, [[0001[[.
24.99. 1) Я= 01 2 2 2 — 1 Ошвегпм и указания 435 о оо 0-1 ОО О О 01 О 0-10 А' = 24.101. Искомый базис задан матрицей Я. ! 000 ;2) 001 000 0 — 250 (010 Решениене единственно. 1) 0 5 1, Я= ~ 1 5 0 0 0 5 141 1 1 0 — 1 — 1 — 1 — 2 1 1 Я= -1 2 0;3) 0 — 1 1,Я= 1 0 0 .4)Матрицак 0 — 31 0 0 — 1 1 — 10 в н полем ействительных чисел не п во тся. треугольному иду ад д ри ди У к а з а н и е: применить задачу 24.100.
Можно использовать результаты задачи 24.87. 24.102. 2) Если Ьм ..., Ь, — порядки диагональных блоков, то йшС1 = Йг + . + Й1 (у = 1,, г). 24.104. 1) Л = О, собственные векторы — константы; 2) Л = О, аФ (а ~ 0); 3) Л» = — Й~, а сов ЬЬ (а ф 0), Ь = 0,1,..., и; 4) Л» = — Ьз, Ьвт Ь» (Ь ф. 0), Ь = 0,1, ..., п, 24.105. Многочлен степени не выше п. 24.107. См.
ответ к задаче 24.81, где ьг — подпространство много- членов степени не выше т — 1, ьг — подпространство многочленов, делящихся на ро(1). У к а з а н и е: преобразование является проектированием на Ег параллельно ьз. 24.109. См. ответ к задаче 24.81, где С~ — подпространство симметрических матриц, ьз — подпространство кососимметрических матриц.
24.110. У к а з а н и е: С» есть множество матриц, у которых все столбцы, кроме Ь-го, нулевые. 24.112. 2) Л;+ Л, 1 ~ (ю < у < и. 24.114. При а = хй (Ь вЂ” целое) преобразования 1), 2) тождественные, Л = 1, все ненулевые матрицы порядка 2 собственные. При а = — + хй имеется 2 собственное значение Л = 1 с собственной матрицей Е для 1) и А»о для 2) и собственное значение Л = — 1 с собственными матрипами ! , )а) + )Ь| ф О, для обоих преобразований. При а ф я/с/2 а Ь собственное значение Л = 1 с собственной матрицей Е для 1) и А»о для 2), а также собственные значения Л = еам с собственными 1 Ы матрицами ..
соответственно для обоих преобразований. 24.115. Например, гБа8 (Л, ..., Л, 7» тг(Л), р, ..., д), тв-» и-» при Л ф р. Число клеток равно гп, сумма их порядков равна /с. 24.116. 1) (й — 1)(1+ 9); 2) (1 — 2)~; 3) 1(1 — 3 — ч'2); 4) 1(1 — 21); 5) (1 — а)г; 6) 1(1 — 2); 7) 1»; 8) Ьз 24 117 1) Ф вЂ” Л, если А = ЛЕ; 2) (1 — Л)", если А =,7„(Л).
24.118. 1) 1. 24.124. Пусть А = бш8 (.7»(0), 0). Собственное подпространство (Л = 0) двумерно, и к вектору 1» = Ц 0 0 1 Ц не существует присоединенного, так т как система Ах = 1» несовместна. 24.125. 1) Л~ = О, ))3 15 436 Опсветпм и указании иЛг — — 7,Ц1 — 2Ц;2) Лс=1, Ц2 — 1Ц иЛг=2, Ц1-1Ц 3) Л = О, Ц 1 0 Ц, Ц 0 1 Ц (все пространство — корневое); 4) Л = О, Ц 1 0 0 Ц, Ц 0 1 0 Ц, Ц 0 0 1 Ц (все пространство — корневое); 5) Лс — — О, Ц 1 1 — 1 Ц и Лг = 2, Ц 1 2 0 Ц, Ц 3 0 2 Ц (собствент ные пространства совпадают с корневыми); 6) Л = О, Ц 1 0 0 Ц Ц 0 1 0 Ц, Ц 0 0 1 Ц (все пространство — корневое); 7) Лс = -1, Ц 0 1 — 2 Ц , Ц 3 0 2 Ц и Лг = О, Ц 3 3 -4 Ц ; 8) Лс — — — 1, Ц2 0 1Ц иЛг=2,Ц1 1 ОЦ, ЦО 0 1Ц .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
