1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Система уравнений имеет матрицу: ! 3 -2 1 0 0 ;3) 4-3010 3 — 4001 26.16. 1) а) Ц вЂ” 3 2 1 Ц; б) 1 — 6 — 7 0 0 — 2 — 3 1 ; 4) А~~ад., 1 4 — 5 0 1 — 2 5) а) А~4ще, б) Аде4 101 б) Ц01-3Ц 3) ) 101 2) а) 0 — 8 3 ;3)а) Ц1 — 11Ц вЂ” 1 020 1!2112 — 1 — 202 ' '~0101 . б) 4) а) б) Ц 3 3 8 Ц; 2) а) Ц 5 2 0 Ц ; б) тесь результатом задачи 25.55. 26.3.
1) Е; 5) 1о). 26.6. Нет. 26.7. 1) ~ — — — —, 2) ~ — Ц вЂ” 1 0 1 0 Ц . 3) ~ — 1 4) ~ — Ц вЂ” 15 7 3 Ц . 26.8. 1) Координатные столбцы векторов ~/Г11 базиса в ь"." — базисные столбцы матрицы Ат. 2) Гтц = о, где г — фундаментальная матрица системы А5, = о. 26.9. 1) Координатные столбцы векторов базиса в Ег — фундаментальная система решений системы Атц = о. 2) Атц = о. 26.11. 1) Координаты векторов базиса в Š— базисные столбцы матрицы Г ~Ат, иначе — фундаментальная система решений системы из и.
2. 2) г'тГО = о, где Š— фундаментальная матрица системы АЕ = о. 26.12. 1) Координатные столбцы векторов базиса в Е составляют матрицу Г ~г', где à — фундаментальная матрица системы Атс, = о, иначе — фундаментальная система решений системыизп.2.2)АтГц=о. 26.13. 1)а) ЦЗ 1 2Ц;б) Ц1 — 3 ОЦ Ц 0 -2 1 Ц ; 2) а) 1 1 1 , б) Ц 3 1 2 Ц ; 3) а) 3 -б -3 2 б) Ц810 — ОЦ~, Ц вЂ” 70112Ц~; 4) а) 0 — 4 б) Ц вЂ” 3 1 — 3 0 Ц, Ц 1 0 2 1 Ц . 26.14. Координатные столбцы векторов базиса в Е~- составляют матрипу 1) Ц 3 2 1 Ц т Ответы и указания 441 11о 1 01 1-1Ц~ о1о1 б) о 1 1 .,4) а) 11 Π— 2 0~~;б) 2 о 1 1 .
26.18. 1) Про странство скалярных матриц. 2) Пространство нижних треугольных матриц с нулями на диагонали. 26.19. Подпространство многочленов нечетной степени. 26.22. 1) о, х; 2) х, о. 26.23. Е~ А(АтА) — 1АтЕ ЕЯ (Ь А(АтА)-1Ат)Е 26 24 Е (Я Ат(ААт) -1А)Е Е Ат(ААт) — 1АЕ, 26 25 Е А(АтГА) — 1АтГЕ Е~ (Е А(АтГА)-1АтГ)Е, 26 26 Е~=(Я Г вЂ” ~Ат(Аà — 1Ат)-1А)ŠŠà — 1Ат(Аà — 1Ат) — 1АЕ 26.27. 1) Е,' = Ц 2 1 1 Ц~, Ел = Ц 1 -1 — 1 Ц; 2) Е,' = Ц вЂ” 3 2 — 2 Ц Ц41 — 5Ц; 3) Е,= Ц4224Ц, ЕЯ = Ц115 — 4Ц 4) Е,' = Ц 1 — 2 3 — 1 Ц , Е," = Ц 1 1 0 — 1 Ц ; 5) Е~ = Ц 5 0 3 4 Ц ЕЯ = Ц 1 О 1 -2 Цт; 6) Е' = Ц 3 3 -2 1 Цт, ЕЯ = Ц -1 1 1 2 Цт; 7)Е,'=Цб 3 — 3 — 5Ц,ЕЯ=Ц1 1 1 1Ц;8) Е =Ц вЂ” 6 3 2 — 1Ц Е,Я = Ц вЂ” 1 — 2 1 2 Ц; 9) с' = — — а| с" = Е, — Е,' 10) Е,' = 79 1 1 / 6 Р = — — а1+ — ам Е, =Е,— Е,; 11) Е = — — аы Е, =Е,— Е,.
26.28. 1) Е' = Ц вЂ” 1 0 1 Ц, Е," = Ц 2 2 2 Ц; 2) Е,' = Ц 4 4 4 Ц ЕЯ = ЦΠ— 2 2Ц;3)Е,'= Ц2 1 Π— 1 — 2Ц,Е," = ЦЗ 3 3 3 ЗЦ 4) Е'=Ц3 1-12Ц',ЕЯ=Ц4 -6 10 2Ц';5) ~,'=Ц-3 3 11Ц', ЕЯ = Ц1 1 1 — 1Ц 6) Е,' = Ц2 — 6 4 — 2Ц Е," = Ц6 1 — 1 1Ц 26.29. 1) Ц вЂ” 3 — 2 — 1 Ц; 2) Ц 4 6 2 Ц; 3) Ц вЂ” 1 — 2 — 3 — 4 — 5 Ц 4) Ц вЂ” 1 7 -11 О Ц ; 5) Ц вЂ” 4 2 О 2 Ц ; 6) Ц вЂ” 4 — 7 5 — 3 Ц 26.30. 1) 151е + 1 + 1; 2) — 151Р— 81 + 4. 26.31. 1) 8/(Зе 5); ь 21+ 1 2) 8/(5~ 7). 26.34. 11(1) = 2 а;Р;(1), где а, = ) /ЯР;Я ИЕ. 26.39. У к а з а н и е: выразим ~е'; ~е с помощью ортонормированного баи п й зиса ам...,аь в подпространстве ь и получим ~, ~е~)е =,> ~,(а1,е )~. 1=1 1=11=1 26.41.
У к а з а н и е; воспользоваться приведенным реипением задачи 26.40. 26.42. 1) Ц 1 3 — 2 Ц, Ц 1 1 2 Ц 2) Ц2 1 0 -1Ц, Ц1 5 2 7Ц; 3) Ц1 3 1Ц, Ц2 -1 1Ц", Ц4 1 — 7Ц; 4) Ц2 1 2Ц, Ц 1 0 — 1Ц, Ц вЂ 1 — 1Ц 5) Ц 1 2 3 Ц, Ц 3 0 — 1 Ц, Ц 1 -5 3 Ц; 6) Ц 1 2 1 2 Ц Ц3 -2 3 -1Ц'",Ц2 7 0 -8Ц';7) Ц1 -1 — 1 1Ц',Ц1 1 1 1Ц', Ц 1 2 — 2 — 1 Ц, Ц 2 — 1 1 — 2 Ц . 26.43. Столбцы матрицы Я— координатные столбцы искомых векторов, Я вЂ” матрица перехода: Отааеигвг и указания 1) Я= 1 1 »/3 «/6 1 1 1/3 ~/6 1 0 ~/6 1 2ДО 1 2~/ГО 1 ЛО 1 ЛО 2~/2 1 2 ~/2 ;3)Я=Аз1в 8= 1 — 1 2 1 О 2 — 1 2 4) Я 1 — -1 2 1 0 2 0 0 0 0 1 1 ЯО 2 1 0 2 1 0 —— гЛΠΠ— 3 /3 4 /6 0 2 — 2~/6 0 З О /3 1 0 2 1 1 0 0 0 0 2 2~/ГО 1 ,/10 4 ~/21 2 у'211 1 ~/21 1 2 1 -~/6 — ъ/3 0 ~/6 — ~/3 О О ,/3 1 /зо 2 1 с/5 чг1066 1 2 Я ~/Г06 1 ~/Г06 1 /21 0 8) 3 1 ,/10,/10 1 3 ЛО Лб 1 -Ащв Я 2 1 2 ,/И зз,/10 1 О зЛо 6) Я=— ~/30 1 Л5 2 Л5 1 Л5 3 ~/15 9%ег ггз, 2) Я = Азам Л Лоб 2 1 ~/5 уТ06 10 /106 1 Л06 2 1 Л ~/700 1 2 Л ~/700 8 0 —— ~/700 1 ~/700 2 ъ/15 '646.
1) Я=Аег В= 4/, 2) с/= 1-3 ь/2 ~/2 0 О ~/З -1/г/3 0 0 ~/2/~/3 ~=ЛО О 3;З)Я=Агго,В= 1 2 ;4) Я=Аггэ 2400 0240 0024 0002 ./10 ЛО ЛО 0 2~/2 ~/2 О О ~/10 1 ; 5) Я = -А4еэ В = ) 6) Ю = А4451 ~/10 ЛО /10 ЛО 0 2 2 1 0 0 2 1 о о о Ло 1/ '2 -5/Л ~) ,) — 11. 26.48. 10 0-1 2 0 1 ' ) 2 0 0 1 0 0 0 0 1 'казани е: составить систему уравнений 2004 0220 0020 0002 для элементов ис- ".омой треугольной матрицы (см, задачу 25.47). 26.50.
1) 1; .),/з2; з),/21; 4) 8,/й; 5) 2; 6) Л55; 7) 1. 26.51. Ц,/'Г4; ') Л07; 3) 4~/Г10. 26.53. 1) У казани е: воспользоватьь я результатом задачи 26.52. 2) Либо 2 аоагь = 0 при г ф )г, «кц либо один из столбцов матрицы — нулевой. 3) 4 < 200. Угол а между векторами )! 1 3 (( и !) 2 4 (( при стандартном скат т лярном произведении в Кг мал: соэ о = 14/1042 — 0.98995. 26.54. 1) Указание: перейти к базису ег, ..., еь, ел+и ..., еа и использовать результат задачи 14.39.
2) У к а з а н и е: если 1 ~/Г4 1 Л 1 ~/2 '6.45. га Р Опгеепгм и ркаэанпл 443 /5,/70 — — 26.44. 1) — )(1 3)), — ))7 — 4(! 1 1 1 т 1 т Л ~/70 5 ' 5 1 ~/70 т )(1 2 0)), — ((1 — 2 3)), — )! — 5 4 0)( /12 ~/42 ((1 1 1)), — )(2 0 — 1)(, — )) -5 7 — 8(! ~/Г4 ~/84 1 1 )! — 3 2 1((, — )!1 — 1 1)), — )( — 19 8 3((, ~/й ~/222 2) У к а з а н и е: если Ягйг = ~газ, то матри(~г Яг — Вгйг и ортогональная и треугольная. 444 Опгеепгм и укавлиил а",, ..., а" — ортогональные составляющие соответствующих векторов, то Г(ам ..., ар) = Г(а'„..., ар) + Г(а",, ..., а").
Можно считать, что а~', ..., а линейно независимы, иначе результат очевиден. Пусть Я вЂ” матрица перехода от а",, ..., а" к тому базису, в котором квадратичная форма с матрицей Г(а",, ..., а") имеет канонический вид. Умножим обе части равенства справа на Я, а слева на Я~ и воспользуемся результатом задачи 32.20. 1). 26.58. 1) к/3; 2) х/б; 3) к/3. 26.59.
у имеет координатный столбец 1) () — 1 1((; 2) ()5 4 7 б((; 3) (( — 3 1((; 4) ((О 0 1 — 1(! 26.60. у имеет координатный столбец 1) (! — 3 — 2 — 1 (! т 2) ((4 6 2!); 3) (! — 1 — 2 — 3 — 4 — 5((; 4) (( — 1 7 — 11 0)( 5) )! — 4 2 0 2)(; б) (! — 4 — 7 5 — 3)( . 26.61. (х( = (у). С перпендикулярно вектору а = х — у. 26.62..С перпендикулярно вектору 1) )!-1 1(); 2) 80 — 1 1 — 2)(; 3) З вЂ” 1 5 3 — 38 4))!2 — 2 2 2)! . 26.63. 1)00 9 4();2)32 0 — 25;3)50 1 -28. 26.64. 1) ()2 О 2(('; 2) (!11 0)!'; 3) ()111(('. 26.65.
1) Е; 5000 1000 4000 3000 26.67. Б ет и оизве ена та же пе естановка базисных векто ов. уд Р д Р Р 26.68. 1) ))1/2 0()~, 50 1/3)!'; 2) 5-1/3 2/3((, ((2/3 -1/3((*; 3) )( — 5 3!!, ()2 — 1)); 4) (/О 0 1((, ((О 1 — 1(), ))1 — 1 0)!. 26.69. Ц )) -12 7 ((, 5 7 -4 ()~; 2) 813/2 -2 ~~~, ~~ 7/2 -1(~; 3) ~~ 5/4 — 3/2 3/4 ~~, Й вЂ” 3/4 3/2 — 5/4 5, '51/4 — 1/2 3/4 ~~ 4) !/ 1 0 0 (), // 3 3 1 /(, /! — 3 — 1 0 )/, 26.70 (9 151в)/8 31/2 ( — 15+ 45гз)/8.
26.ТЗ. Матрица Грана базиса е*. У к а з а н и е: использовать задачу 26.72. 26.74. Г,ЯГг '. У к а з а н и е: использовать задачу 26.73. 2Т.1. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 27.2. 3) Нет. 2Т.9. Ке (х, у) = О. 27.10. 1) 0; 2) 2; 3) 10г'; 4) — г; 5) бг; б) 32 — 19г'; 7) 4+ 20 27.11. 1) ~/2; 2) ьг2; 3) ~/ГО; 4) ~/3; 5) ъ/8; б) иг333; 7) ~/Г1. 27.12. 1) — Зг; 2) 1+ 7г'; 3) 58 — 16г; 4) б+ Зг'; 5) 2+ 13г; 6) 4 — 2г; 7) 9г; 8) 16+ 4а.
27.13. 1) ~/6; 2) ~/Г1; 3) ь/299; 4) иг5; 5) ъ~рбб; б) 1/б; 7) ~/Г4; 8) ~/Г4. 27.16. Эрмитовы Авв, Авт, Агов, Авгг, Аввг Из них Аюз и Авгт не могут служить матрицами Грама. 27.18. 1)Да; при гг ( 0 — нет; 2)да; да; 3) нет; 4) да; да. 2Т.21. Аюв. 27.23. Диагональные матрицы, с числами, по модулю равными 1, на диагонали. 2Т.24. 1) Нет; 2) да; 3) да. У к аз ан и е: любой единичный вектор можно дополнить до ортонормированного базиса.
27.26. 1) (~ 1 — г' )( т 2) ()1 — г 1+г)(, )(г 2 — 1 — 1((; 3) ((1 — 1 2 0((, ((О 1 1(! Опзеепзм и указания 4) 5 1 — з 1)(, () з 1 0)(; 5) (( з/3 — з/4 з/4 — з/2 з/2 — з/3 (1 27.27. 1) ))з 1((; 2) (!1 — з О)), '60 з — 1 1!); 3) )! — з 1 0)( 4) )/ — з 1 0(!, // — 3 0 1/!; 5) !!1 з — 2/! . 27.28. 1)— з/2 ~ 2 1 — з ' з/6 з ' /6 1 — 21 ' з/3 1 — Зз 1 1 — 3 — 2з; 4) — з з/3 1 1 з/2 О з/6 1 1 1+з з; 5) — 2+з — 2 1 — з 1 4з/6 3+з ,/.4 О' 33,7 5+ Зз 3) — 5з ; 4 5 — 31 2) 2ААт Е 2 2з' 1+ Зз — 7 з — 7 — 4з ) 1; 5) — ~ 16+ 6з' 1 11 6 — 5з 8 2 1) А(АтА)- зАт 2 28.1. 1) ААт; 2А(АтА) з Ат Е 28 3 1) А(АтГА)-зАтГ.
2) 2А(АтГА) — зАтГ Е 28.4. 1) у(х) = = х — 2а (а, х) Да~э, Š— 2 (а, ат) / (ат, а); 2) (а, х) = О, где а = Лр — х, Л = )х(. 28.5. 1) О, 2) Азо' 3) Йе8(1, — 1, 1); 0 1 1 1 4) — 4зез', 5) -Аззз. 28.6. 1) Отражение в пространстве с нор- 3 ' 2 мальным вектором )! 1 — 1 — 1 1 6; 2) отражение в пространстве т с нормальным вектором 5 1 — 1 — 1 (~; 3) проектирование на линейную оболочку вектора Й 1 — 4 1 5; 4) поворот на х/2 в т плоскостях, натянутых на пары векторов ез, ез и ем ез, 5) поворот на х/2 в плоскостях, натянутых на пары векторов еы ез и е4, ез. — 1 1 1 — з/2 + з/2 — 1+ з/2 1 + з/2 1+ з/2 — 1 — 1 1 1+з/2 1+ з/2 1 1 — 1 — 1 1 — з/2 1 28.7.
1) Аззз' 2) 2з/2 ; 4) — Азтз 28.8. СЕ з/2 элементов д;, = (5,, а.). Ук аз ан не: см. задачу 26.35. 28.11. Зз' = Зз. 28.12. Зз*(х) = ,С(х, дз, /1). 26 16. ез' = ~р з. 28.17. р* = — Зз. 2+ з/3 2 — з/3 — 1 28.9. Стс, 2 — ъ~З 2+ з/3 — 1 1 где С 27.29. 1) — а; 2) — а; 1+з 1+4з 2 ' 4 — 1 1 1 — 1 2+ з/3 2 — з/3 2 — з/3 2+ з/3 — матрица из Огпвегпм и указания 446 О З 1 — 3 103; 2) 4 З1 О -З 28.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
