1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 85
Текст из файла (страница 85)
2) Л = 1, прямая х = у = г = 0; Л = О, плоскость х + у + г = 0; Йа3 (1, О, 0) в базисе (1, 1, 1), (1, — 1, 0), (1, О, — 1) . 3) Л = 1, плоскость х+ у+ г = 0; Л = О, прямая х = = у = г; Йай(1, 1, 0) в базисе (1, — 1, 0), (1, О, — 1)т, (1, 1, 1) . 428 Опгеегггы и указ агшя 4) Л = 1, плоскость — х+ у+ 2х = 0; Л = О, прямая — 2х = 2у = х; йа8 (1, 1, 0) в базисе (1, -1, 1), (1, -3, 2), (-1, 1, 2) . 5) Л = 1, плоскость х = 0; Л = О, прямая 2х = 2у = — гб йа8 (1, 1, 0) в базисе (О, 1, 0), (О, О, 1), (1, 1, — 2) .
6) Л = 1, плоскость х = у; Л = О, прямая — 2х = Зу = 6х; йа8 (1, 1, 0) в базисе (1, 1, 0), (О, О, 1)т ( — 3, 2, 1) . 7) Л = 1, прямая — 20х = 15у = 12е; Л = О, плоскость 2х + Зу — я = 0; йа8 (1, О, 0) в базисе ( — 3, 4, 5), (1, О, 2), (О, 1, 3) . 8) Л = 1, прямая 2х = у = 2г; Л = О, плоскость 2х+ Зу — 4х = 0; йа8(1, О, 0) в базисе (1, 2, 1), ( — 3, 2, 0)т, (2, О, 1) .
9) Л = 1, плоскость х = 0; Л = — 1, прямая у = х = О; йа8 ( — 1, 1, 1) в базисе (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1) . 10) Л = 1, прямая х = 2у = х; Л = — 1, плоскость 2х + у + 2ю = 0; йа8 (1, — 1, — 1) в базисе (2, 1, 2), ( — 1, 2, 0), (1, О, — 1) . 11) Л = 1, плоскость х+ у+ х = 0; Л = — 1, ггрямая х = у = з; йа8(1, 1, — 1) в базисе (1, -1, 0), (1, О, — 1), (1, 1, 1) .12) Л=1,плоскостьх=О;Л= — 1, прямая 2х = у = — я; йа8(1, 1, — 1) в базисе (О, 1, 0), (О, О, 1), (1, 2, — 2) . 13) Л = 1, прямая 2х = у = 2ьЗ Л = — 1, плоскость т х + у = 0; йа8 (1, -1, -1) в базисе (1, 2, 1), (-1, 1, О), (О, О, 1) .
24.21. 1) При а = 2/ст: Л = 1, все ненулевые векторы т собственные; при а = (2Ь+ 1)гг: Л = 1, Х = (аез(а ф О) и Л = — 1, Х = (аег + гЗез~ )а) + )Д ф 01; при а ~ Ьгг: Л = 1, Х = (пела ~ О) (Ь— целое); 2) Л = 1, Х = (сгег!а ~ О); 3) Л = 1, Х = (а (1, 1, 1) !а ф О); 4) Л=1,Х=(а(1, 1, — 1) /афО) иЛ=О,Х=(а( — 3, 1, 0) + +~3(0, О, 1) йа/+ффО~;5) Л=1, Х=(а(2, 2, — 1) /афО) и Л = -1, Х = ( (1, — 1, О) + д (3, О, -1) ! !а! + И Ф О); 6) Л = 2, Х = (а (1, 1, 1) /а ф О) и Л = 1, Х = (а (О, 1, 0) + гЗ (2, О, 1) ! /а! + /Д Ф О); 7) Л = 1, Х = (а (1, 1, — 1) )а ф О); 8) Л = 1, Х = (а ( — 1, 1, 1) /а ф 0). 24.22. 1) Л = О, собственное подпространство Ьдхг + ...
+ Ь„х„= О; если агЬг + ... + а„Ь„ф О, то еще Л = адЬг + ... + а„Ь„, Х = (а (аг, ..., а„) /а ф О). 2) адЬг+... +а„Ь„~О; 3) а) да; б) нет. 24.23. Преобразование сматрицейй(ЛЕь ы,У ег(Л), ггЕ„=), где рфЛ. 24.26. 1) Лт,...,Лз; ЛфО г1ес(А — ЛЕ) =( — 1)" г1еСА.г1ес(А ' — Л 'Е). 4) р(Лг),...,р(Л„). У к а з а н и е: использовать задачу 24.25. 24.27.
Лен .. У к а з а н и е: лиагонализируемость матриц А и В влечет диагонализируемость А г9 В. 24.29. Преобразование с матрицей з„(0). 24.30. 1) йа8( — 4, 4) в базисе (8, — 1), (О, 1); 2) йа8(0, 1) в базисе (О, 1), (1, 1); 3) йа8 ( — 1, — 2) в базисе (2, — 1), (1, — 1); 4) йа8 (4, 9) в базисе (2, 1), ( — 1, 2)т; 5) йа8 (О, 25/12) Ответы и указания 429 в базисе (3, 4), (4, — 3); 6) Л = 1, (1, 0); 7) Йаб(2, 0) в базисе (1, 1), (1, — 1); 8) Л вЂ” О, (1, 1); 9) йа8 (169, 0) в базисе (5, 12)~, ( — 12, 5); 10) Л = — 2, (1, 2); 11) Йаб ( — 2, 1, 4) в базисе (1, О, — 1), (О, 1, 0), (3, 4, 3); 12) йа8(1, 1, — 1) в базисе (1, О, 0)~, (О, 1, 1), (О, — 1, 1); 13) йа8(1, — 1, — 2) в базисе (2, 1, 1), (1, О, 1), (1, — 1, 1); 14) йа8(1, 2, 3) в базисе (О, 1, 1), (1, 1, 1), (1, О, 1); 15) Йаб(0, — 1, 2) в базисе (1, О, 1), (О, 1, -2), (3, -2, 1); 16) йа8 (-2, 9, -4) в базисе (1, О, -1), (2, 1, 2), (5, — 4, 5); 17) Йаб(1, 2, 10) в базисе (2, 1, — 2)~, (1, О, 1), ( — 1, 4, 1); 18) йа8 (14, О, 0) в базисе (2, 1, — 3), ( — 1, 2, 0), (6, 3, 5); 19) йа8(3, 3, 2) в базисе (1, — 1, 0), (1, О, 1), (1, 2„ 4); 20) йа8 (1, 2, 2) в базисе (1, 1, 1), (1, О, -3), (О, 1, 3); 21) йа8(7, 7, — 7) в базисе (1, — 2, 0), (О, 3, 1), (2, 1, — 3); 22) Л = О, (1, О, 0); Л = — 1, (О, 1, 0); 23) йа8 (3, — 1, — 1) в базисе (1, 1, 2), (1, -1, 0), (1, О, — 1); 24) Л = -3, (2, О, 1); Л = 2, (О, — 1, 1); 25) Л = О, (2, — 1, 0); 26) Йаб (О, 1, 1) в базисе (1, 1, — 1), (2, 1, 0), (3, О, 2); 27) Л = О, (1, 1, 0), ( — 1, 3, 2); 28) Л = — 1, (2, — 1, 0), (1, — 2, 1); 29) йа8( — 1, 1, 1) в базисе (3, 5, 6), (2, 1, 0), (1, О, -1); 30) Л = -1, (-2, 1, 1); 31) Йаб (1, 1, -1, -1) в базисе (1, О, О, 1), (О, 1, 1, О), (О, -1, 1, 0), ( — 1, О, О, 1); 32) йа8 (1, — 1, 1, — 1) в базисе (1, 1, О, 0)~, ( — 1, 1, О, 0), (О, О, 1, 1), (О, О, — 1, 1); 33) йа8 (4, 9, 9, — 1) в базисе (2, 1, О, 0), (1, -2, О, 0) , (О, О, 1, 1), (8, 4, -5, 5); 34) йа8 (О, О, О, 4) в базисе (1, 1, О, 0), (О, 1, 1, 0), (О, О, 1, 1) , (1, — 1, 1, -1); 35) Л = О, (1, О, О, 1), (О, 1, 1, 0); Л = 2, (1, -1, 1, -1); 36) йаб (1, 3, 5, -4) в базисе (1, О, -1, 1), (1, 1, О, — 1), (1, 1, — 1, 0) , (О, 1, 1, — 1); 37) Йаб ( — 1, 1, 1, — 2) в базисе (-2, 1, 1, 1), (1, -1, О, 0), (1, О, -1, 0), (1, О, О, — 1); 38) йа8 (2, 2, 2, -2), Аявв, 39) Л = О, (1, 1, 1, 1); 40) Л = 1, (1,0,1,0), (1,— 3,0,0), (1,1,— 1,— 1) .
24,31. 1)йа8(1, — 1) в базисе (1, — 1), ( — х, 1)~; 2) йа8 (е, еР), е = ез '7Я, в базисе (1, — е), ( — е, 1); 3) йа8 (О, 21) в базисе (1, — 1), ( — г, 1)~ 4) Йаб( — 1, 1) в базисе (е, — 1), (е, 1); 5) Йаб(1 — 1, 1+1) в базисе (1, 1), ( — 1, 1); 6) йа8 (е"*, е 'а) в базисе (1, — 1), ( — 1, 1); 7) Йаб (в+1, е — 1) в базисе (1, 1), (1, 1); 8) йа8 (2+ ~/3, 2 — ~/3) в базисе (~/3 — 1, 1 — 4), (1+1, 1 — ~/3); 9) Йаб (О, 31, — 31) в базисе (2, 2, — 1), (5, 31 — 4, 2+61), (5, — 4 — 31, 430 Отпеетпы и уквзпссил п2 — 61); 10) йа8(1, с, — с) в базисе (О, 1, 1), (2, 2, 3+ с), (2, 2, 3 — с); 11) йа8(-1, 1+с', 1 — г) в базисе (1, 1, — 1), (1+с, 1, — 4), (1 — с, 1, 1); 12) сИа8(2, 3+ с, 3 — с) в базисе (2, 1, 1), (4, 3, 2 — с), (4, 3, 2+с); 13) Йаб(2, — 1+ с', — 1 — с) в базисе (1, О, — 1), (2, 2, — 5 — с), (2, 2, — 5+с); 14) йа8(1, ш, шз), ьс = езтстз, в базисе Азвз, 15) сИай (с/3, — ~/3, сх/3) в базисе (1 + ~/3, 1, 1), (1 — сс'3, 1, 1), (О, 1, — 1); 16) Йаб (1+1, 1+ с, 2+ с) в базисе (1, О, 0), (О, 2, 1), (1+ с, 1, 1); 17) йа8 (4, 1, 0) в базисе (1+с, Зс, 1), (1, О, 1 — 1), (1+4, — с, 1); 18) Йай (г, — с, 1, — 1) в базисе Асвв; 19) йа8 (2, — 4, — 1+1, — 1 — с) в базисе (1, 1, 1, 1)т (1, — 1, 1, — 1)т (1, с', — 1, — 1)т, (1, — т, — 1, с); 20) йа8 (1+ с, — 1+ с, 1+ с, — 1+1) в базисе сйа8 (Ам, Асв); .т 21) йа8 (2, 2, — 2, 21) в базисе Астз.
24.32. 1) Л = — 3, ( — 1, 2); 2) Л = 5, (1, 3); 3) Л = 3, (2, О, -1); Л = 2, (О, -1, 1); 4) Л = О, (2, 1, -1); Л = -1, (3, 3, -4); 5) Л = -1, (2, О, 1); Л = 1, (1, 1, 1); 6) Л = О, (1, 1, -1), (3, О, 2); 7) Л = О, (1, О, О, 1), (О, 1, 1, 0); 8) Л = 1, (2, -1, 2, -1); Л = -1, (2, -1, -2, 1) ; 9) Л = 1, (1, 1, О, О, 0), (О, О, О, 1, 1); Л = -1, (О, 1, 1, О, 0) . 24.33. 1) Лс — — е, Лг = ез; а) нет; 6) йа8 (е, ез) в базисе (1 1 .)~ (1 1 .2) (. зыув) 2) Л ес». )( 1)»Е а = яп (и — целое), в любом базисе; при остальных о преобразование не диагонализируемо; б) йа8 (ес», е '»), Аэ4.
3) Лс = 1, Лз = ссс, Лз = ыз; а) нет; б) йа8 (1, мз, ьс), Азвз (ьс = е~"7~). 4) Лс з —— 3; а), б) нет. 5) Л, = О, Лев = хсзр'3; а) нет; б) сйа8 (О, 1с/3, — схГЗ), Азвс 6) Лсд = 1; а), 6) нет. 7) Лсд = (1 х Л)/2, Лз 4 1 а), б) нет. 8) Лсд = с, Лз,4 = — с; а) нет; б) йай (с', с, — 4, — 1), Асвв 9) Лдд = 1+ г, Лзл = 1 — с; а) нет; б) йа8 (1+ с, 1+ с, 1 — с, 1 — 1), Асвв 10) Лсд = с, Лзл = — с; а), б) нет. 24.34. Пусть ем..., е„— стандартный базис, тп = ((и + 1)/2), т = (п/2]. 1) йа8 (Е,„, — Е„) в базисе из векторов еь + е„ьес (Й = 1, ..., т) и еь — е„вас (й = 1, ..., т).
2) Йай (ЗЕ»с, — Е„,) в базисе примера 1). 3) йа8 (2п — 1, — 1, ... ..., — 1) в базисе из векторов ес +... + е„, ес — еь (к = 2, ..., п). 4) с1сай (х+ (и — 1)у, х — у, ..., х — у) в базисе примера 3). »-1 5) Л = О, базисный собственный вектор 2 ( — 1)'С„' се,ьс., преоб=о разование не диагонвлизируемо. 6) йа8 (п — 1, и — 3, ..., 1 — и), компонентами 1с-го базисного вектора являются коэффициенты многочлена (1+ Ф)" "(1 — М), расположенного по возрастающим степеням 1. 7) йса8 2сов —, ..., 2сов — в базисе из п+1' ' п+1/ Ответы и укигиггил Хпег проверить, что Хп хп , где А — некоторая матрица. Хп-1 Хпег Выразить " через тп мат и А к диагональн а Ь и А.
Для вычисления А" привести Р пу ому виду. 24.42. 1), 2) Л = О, собственные векторы — константы; 3) собственному значению Ль отвечает соб- ственнаЯ фУнкциЯ елгг, й = 1,..., и; 4) Л = Ло, собственнаЯ фУнкциЯ кйо векторов аь = 2 з1п — е„й = 1, ..., и. 8) йа8 (О, ..., О, п) и+1 В баЗИСЕ аг, ..., ап, ГДЕ аг, ..., ап 1 — баЗИС ПОДПРОСтРаиотВа Хг — Хг + ... + (-1)" 1Хп = О, ап = Ег — Ег + ...
+ (-1)п 1Еп. 9) йаб(2Е,„, — 2Е,„) при п = 2т; йад (2Е,„1, 1, — 2Е„, 1) при и = 2т — 1 в базисе из вектоРов ЕЬ + 2еп 1,4.1 (й = 1, ..., т), еь — 2еп ьчг (й = 1, ..., г). 10) Л = 0 с собственными векторами ег, ..., е„; при и = 2гп — 1 еще Л = 1 с собственным вектором е; преобразование не диагонализируемо. 11) йаб (гЕ, — гЕ ) нри п = 2т; йаб (гЕ„, 1, 1, — гЕ 1) при п = 2т — 1 в базисе из ВЕКТОРОВ ЕЬ + гЕп Ь4.1 (й = 1, ..., т), ЕЬ вЂ” гЕп Ьег (й = 1, ..., Г). и 12) йа8 (1, е, ..., еп ') в базисе из векторов аь = '1 ег" 10е, (й = = О, 1, ..., п — 1; е = езп'гп).
13) йа8 21 сов, ..., 21 сов и+1' ' и+1/ кйо в базисе из векторов аь = 2,' г' 1еАп е„й = 1, ..., и. и+1 24.35. 1) х- (г/5 х 1); 2) 4, О, 2 х 21/2; 3) О, 8, 8, 12; 4) О, х41, ий х81; 5) еь ггз, й = О, х1, х2; 6) а + 2Ь сое †, й = 1, ..., п. и+ 1' У к а з а н и е: использовать преобразование аг + Ьгй, где гЬ преобразование из 24.34, 7). 7) Ль = аг + агеь +...
+ апе" 1, где сь = егпыгп, й = 0,1, ..., и — 1. Указание: перейти к базису $д = (1, еь, ..., еь 1), й = О, 1, ..., и — 1. 8) аг +... + ап и хЛы ГдЕ ЛЬ = )аг + агго + ... + апс"„~), ЕЬ = Ег Ыг", 0 С й < [П/2), а Прн четном п также аг — аз+... + ( — 1)п ап. 9),,/п, —,,/п, гг/й, — гг/п с кратностями соответственно й+ 1, й, й, й нри п = 4й+ 1 и й+ 1, й+ 1, й + 1, й при и = 4й + 3. У к а з а н и е: характеристические числа матрицы А равны и и — п с кратностями соответственно (и+ 1)/2 г и (и — 1)/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
