1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 84
Текст из файла (страница 84)
23.27. 1) (О, 6, 18); 2) о; 3) ( — 8, — 11, 3, О, — 13)т; 4) р(ас) = (2п — 1)аы ус(ар,.) = — аь (Ус = 2,..., и). В отпветпах к задачам 23.28, 23.29 и 23.31 приведепьс коордипатпые сгполбцы базисных векторов искомых подпросгпрассспсв. 23.28. 1) (12, -5)т и (5 12)т. 2) (1 1 1)т (3 0 2)т и (1, 1 1)т. 3) (1 1 1)т и (1 1 0)т (О 1 1)т.4)(0 1 1 0)т (О 0 1 1)ти(1,1, 3 З)т (1, — 1, — 1, 1)т; 5), 6) Кег р = (о), 1сп ~о = .С, ~о — изоморфизм. Ответы и указания 23.29.
1) (О, 2, О, 1)', (О, -З, 1, О) и (О, 1, О), (1, О, -2)~; 2) ьз инъективно, Кету = (о); (4, 3, — 1, 7)т, (5, 2, 3, 7)т, (9, 7, 2, 6); 3) (3, 1, 0), (2, О, -1) и (-2, 1, 7, -3); 4) (2, О, 1, — 1, 0), (О, 1, 2, О, 0), (О, О, 1, О, 1); у сюръективно; 5) (О, 1, 1) и (-2, -2, -3, 4, 6) , (2, 2, 2, 1, -5) ; 6) (1, 1, О, -3, 6), ( — 2, О, 1, 5, 10); у сюръективно. 23.30. Здесь С, См Сз, Сз— любые действительные числа. 1) (О, О, 1/10, 1/5) + С1 (10, О, — 7, 6) +Сз (О, 5, — 1, — 7);2) (7/2, О, — 1/2, О, 0) +Сз (19, 2,— 5,0,0) +Сз(41 0 — 11 2,0) +Сз(1 О,— 2,0,1); 3) (О, О, 1) + С (1, -2, -3); 4) (О, 1, О, 0) + С (2, 2, 1, -1) 23 31.
1) (1, 1, О, О, 0), (О, 1, 2, О, 0), (2, О, 1, — 1, О) , (О, О, 1, О, 1); 2) (1, 1, — 1, — 1), (О, 2, 1, 0), [7, 23, О, — 11); 3) (О, 3, — 1, О, О, 0), (О, 1, О, — 1, О, 0), (О, 4, О, О, 1 0 О, -Ц', (1, О, О, О, О, О)т, (О, О, О, О, 1, О)'. гЗ З4. 1 0 О О 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 — 1 0 0 1 1 0 0 1 О 0 0 — 1 0 1 0 0 0 1 0 0 Π— 1 0 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 О 0 1 1 0 0 О 23.35. 23.36. 23.37. 23.38. Изоморфизм определяется равенством: 1) Зз(х) 0 х~ хз 2) р(х) = — хз 0 хз , 3) р(х) = з . ~~ +. ~~з , где -хз -хз 0 х = (х1, хз, хз) . 23.40.
1) Ядро — многочлены нулевой степени; множество значений — многочлены степени не выше т — 1; а), б) Азьч (и = т + 1); в) Ашз (и = т + 1). 2) Аззз (разчсров т х (т + 1)). 23.41. 1) Ядро состоит из многочленов нулевой степени; множество значений — Р; ранг и; А = Азов; 2) ядро (о); множество значений — й; ранг и + 1; А = Лаз (1, 3, ..., 2н+ 1).
23А2. Ашз(п=т+1). 23.43. 1)бзаб О, 1 О,..., и 0 (матрица порядка 2п + 1); 2) йаз (1,..., и), сйаз (1, 1/2, ..., 1/и). 23.44. 1) Ядро (0); множество значений — надпространство многочленов степени не выше и с нулевым свободным членом; ранг и; А = Азат. 2) М; преобразование инъективно, но не сюръективно. 424 Оиэееты и ука.эаиил 23.51.
1) Ядро — многочлены вида аох", множество значений состоит из многочленов без у" (а„= 0); 2) ядро — многочлены вида а„у", множество значений состоит из многочленов без х" (ао =- 0); 3) при нечетном и преобразование является изоморфизмом, при и = 2иг его ядро состоит из многочленов вида а х™у™, множество значений — из многочленов, не содержащих члена х у™. Матрицы 1) 0 1 0 ... О 0 0 ... 0 0 0 0 2 ... 0 и 0 ...
0 0 ;2) Ои — 1...00 000... и 000... 0 0 0 ...10 23.53. 1) При Ь = йщ Е. 2) а) П и 0 ... 0 0 Ои — 2... 0 0 ,3) 0 0 ...— и+2 0 0 0 ... 0 — и ьаз ... а об аз ютб уст,, „р у азис в линейной оболочке векторов ам ..., аь. 'Гогда а„тэ, ..., аь должны быть такими же линейными комбинациями векторов ам ..., а„, как Ь„э.п ..., Ьь — векторов Ьэ,, Ь,. Условие 1) и г = йгп Е. 23.54. 1) ВА г; 2) В; 3) Е.
23.55. 1) ВА 2),3) А 'В 23.56. 1) А,о; 2) Аз„. 3) Азг'4) Ао| 23 57. 1) а) Атэ' — 1 — 1 2 б) йа3 (1, 2, 2); 2) а) Агзо; б) йа3 (О, 1, 1); 3) а) — 5 — 1 2 — 7 — 3 6 000 — 3 1 0 б) 0 2 1; 4) а) Агэз; б) 0 — 3 0 . 23.58. 1) а) Аэзд; 002 0 0 2 б) Азог, .в) Амг; г) Азов, д) Азов, е) Азпь 2) Во всех задачах: матрица В. У к аз а н и е: использовать 2 — 2+ За 2а 23.59. 1) Ь 1 — Ь '3) 2 3+ЗЬ 2а — 3 4+Зс 2с езультат задачи 23.54.
(а, Ь, с — произвольные числа). 2), 4) не существует. 23.60. 1) оэ сюръективно; йщ Кег ~о = 1; оэ(а) = (4, — 1); 2) оэ инъективно; г3 у = 2; ~о(а) = (11, 10, — 6); 23.45. 1), 3) Отображения инъективны, но не сюръективны и не обратимы. 2) Обратное отображение — дифференцирование. 23.46.
Четные многочлены. 23.47. 1) йа3 (А, А). Базис ядра ! зо оз! 1 О, О 1 ~; базис об1эаза 2 О 3, й О 2 .,2) Аззо. Базисядра 0 0 0 ~' ~~ — 2 4 3 ' Ф сюръективно. 23.48. 1) Ядро состоит из матриц, у которых первые и — 1 столбцов нулевые; гэ сюръективно. 2) 3 Е ~„0 о 3 матрица размеров т(и — 1) х иги. 3) гэ — умножение справа на — матрицу размеров и х (и — 1).
23.49. Ядро натянуто на вектор (1, — 2, 1, — 2); множество значений — вещет а Ь ственные матрицы вида; гй р = 3; А = Азов. 23.50. Азоо. с а Отеетьь и указания 3) рр сюръсктнвно; 53щКег р = 2; 2) др(а) = ( — 4, — 6, 0); 4) ~р не единственно, ранг может равняться двум илн трем, размерность ядра 1 или 0 соответственно. Во втором случае р инъективно. др(а) = ( — 10, — 10, — 13, 10, 28) . 23.61. 1) (1+ 1)Е; 2) Авр', 3) Арв', 4) Арве. 23.62. 1) 0 — 2, 2) — 1 0 405 )10 0 4),2 7; 5) О О О; 6) 504 00 — 2 1 0 0 — 9 ; 3) — 1 1 0 — 1 7) 0 0 — 1 3 — 3 2 — 2 5 — 3; 9) Авдг; РО) Аврв 23.63.
— 3 5 — 3 3 1+4 1 — в 1 8) ; 3) йа8( — 1, 1+ г, 1 — 1); 4) йа8 (1„ы, ы); 5) йа8(2, 2, 2) 0 .. 2364. 1) рЗ вЂ” 3 — 15 9 1 5 5 5 25 -31 1 5 1 — 5 3 3) — 1 1; 4) 5 — 3 Указание: сначала записать матрицу в базисе векторов данных прямых. 23.66.
нз направляющих — 1 1 0 ц — -3 зо; 3 — 1 2 1+ ГЗ -1+чгЗ 1 — ГЗ 1 -1 — /З вЂ” 1 — ьГЗ /З вЂ” 1 3 40 002)) 4 ЗЗ;3) — 112~1;4)— — 2 — 2 1 — 1 0 3, 2) 00 — 1 1 2 — 21 — 10 0 и — 1 22 0 1 0 — 2 — 1 2 ; 5) матрицу преобразования в базисе, составленном из базисов данных подпространств. 23.67. 1) А333; 2) Авдв, '3) Авив (и = т + 1)'„4) Аврв (и = т); 5) Авдр (и = т). 23.68. 1) Та же матрица, что и в ответе к 23.43, 1); 2) — 1 — 1...— 1 1-1...
— 1 02...— 1 0 — 1 1 ... 1 0 0 — 2 ... 1 0 0 О...— и ;3) А где А = , В= 0 0 ... и 23.69. 1) П оменяются местами 1-й и у-й столбцы; 2) поменяются — 2, 21); 6) 01а8 0 -42 -18 -20 48 23.65. 1) 2 5, 2) 1 1 — АЗ вЂ” 1 — /3 1+Л 1 — 1+Л -1+ Л -1 — ГЗ У к а 3 а н и е: сначала записать 2 1 1 2 0 1 426 Ответы и указания местами Ь-я и 1-я строки; 3) 1-й столбец умножится на Л, у-я строка разделится на р; 4) к 4-му столбцу прибавляется учй, к 1-й строке прибавляется Ь-я.
23.70. 1) Поменяются местами две строки и два столбца с номерами 1 и у; 2) 1-я строка умножится на Л, 1-й столбец разделится на Л; 3) к г-му столбпу прибавится учй, из 1'-й строки вычтется ю'-я; 4) произойдут аналогичные перестановки столбцов и строк матрицы; 5) матрица заменится на центрально симметричную исходной. У к а з а н и е: при решении задач 23.69-23.71 можно использовать формулы (3), (4) из введения к 3 23 и задачи 15.27-15.30. 23.73. г8 ~о.
У к а з а и и е: использовать задачу 23.72 или 23.71 и метод Гаусса. 23.74. 1) е11а8 (1, 0) в базисах (1, 0), ( — 1, 1) и (1, 1), (О, 1); 2) Е в базисах (1, 0)т, (О, 1) и (1, 3), (3, 10); 3) сйа8 (1, 1, 0) в базисах (1, О, 0), (О, 1, 0)т, (1, 1, -1) и (О, -1, -1), (1, О, 1), (О, О, 1); 4) бйа8(1,0,0) в базисах (1, О, 0), (1, 1, 0), (1, — 1, — 1) и (1, — 1, 2), (О, 1, 0), (0,0, 1);5)Аьтевбазисах: (1, О, О, О, 0), (О, 1,0,0, 0), (О, 1, 2, О, 0), (2, О, 1, -1, 0), (О, О, 1, О, 1) и (1, 1) , (2, — 2); 6) Амв в базисах: (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, 1, 1) и (-2, -2, -3, 4, 6) , (-2, -2, -2, -1, 5), (О, 1, О, О, 0), (О, О, О, 1, 0), (О, О, О, О, 1) .
23.77. ЛЕ, где Л вЂ” произвольное число. 23.78. 1) рф существует при и = Ь, фр существует при =1. 23.70. Пу р Я.ь — ь К, ~; ߄— ь 77, х: 17., -ч К . 1) т=Ь; 2) в=п,1=т=1е; 3) 1=й=п,1=т; 4) Ь=п,1=та. 23.80. Если ~р: е". -~ Г и М = р(Г), то р = 1р, где ~о: Е -+ М и — 1 4 — 2 1: М -ч е", — естественное вложение. 23.82. 1) 2 — 1 — 1 — 1 О 1 -3 8 — 5 2 8 — 5 2) 0 5 — 4; 3) 4 5 — 4 .
Указание: пусть А, В, С— — 25 — 3 313 — 8 матрицы, составленные из координатных столбцов векторов ао Ь,, с; (1 = 1, 2, 3), Х, 1 — матрицы преобразований р и 4~ в данном базисе. Тогда ХА = В, УВ = С, УХА = УВ = С, т.е. матрица 8 преобразования фр удовлетворяет матричному уравнению ЯА = С. В базисе аы аз, аз. Я' = А 'ЛА = А 'С, АЯ' = С. В базисе Ь, Ьз, Ьз. 'Т' = В ЯВ. 23.83. 1), 2) 0; 3) 40 — 15 '4 ~ — 5 6~~;5) ~~0 1 .Указание: Р— 1Ь=5ь О Е 23.85. 1) Матрица порядка п + 1: О, где Š— единичная матрица порядка п — Ь + 1 при Ь < и, 0 при Ь > и; 2) матрица порядка 2п + 1: (-1)' е(1а8 (О, В, 2ьВ, ..., пьВ), где В = Огпветы и указания 427 при)с=2з — 1,В= 0 1 при)с=2з()г=1,2,...,з=(()с+1)/2)).
1 О 23.86. 1) (тР) (аз+ аг1+... + а„1ъ) = а,1+ 2аг1г + ... + па„1ь; 2) (Рт) (ао+ а~1+... + а„1") = ао + 2аг1 + ... + (и + 1)а„1"; 3) (Р, г) = г; 4) у к а з а н и е; доказывать по индукции на основе результата задачи 3). 23.91. Ср. 15.59. 23.100. 2) Пусть отображение ег имеет в некоторой паре базисов матрицу ЕО (матричную единицу). Базис в Е (Р, Я) состоит из всех отображений е;.; Йт Ь(Р, Д) = тп. 23.101.
1), 2), 4), 5) — нет; 3), 6) — да. 23.103. 1), 2), 3), 5) при д ~ 1 нет; 4), 6) — да. 23.104. У к а з а н и е: если грани отражателя совместить с координатными плоскостями, то направляющий вектор луча подвергнется последовательным отражениям с матрицами Йай (1, 1, — 1), Йа8(1, — 1, 1), Йай( — 1, 1, 1). В ответах к задачам на отыскание собственных значений и собственных оектороо для каэхдого собстоетгого значения Л указывается либо мнохсестоо Х соотеегастаующих собстоенных оехтороо, либо базис собственного надпространства, а о случае диагтгализируемого преобразования — диагональный оид матрицы преобразования и собственный базис или матрица из координапгных столбцов оехтороа этого базиса.
24.1. Указ а ни е: рассматриваемое множество содержится в собственном подпространстве. 24.3. и — т. 24.4. О, ~~, где А = Йай(Лы ..., Ль), а Лц ..., Ль — собственные значения. 24.13. У к а з а н и е: многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень. 24.14. 2) Пусть йес(А — ЛЕ) = (Лг — Л)... (˄— Л); тогда аь =',) Лц,,. Л„, где Ог, ...,ид (гг, ..., 1ь) пробегает упорядоченные )с-элементные подмножества множества (1, 2, ..., и) (/с = 1, ..., и); Фг А = Лд + ... + Л„; пе1 А = Лг ... Л„.
24.15. Все нулевые векторы. 24.16. Собственное значение Л (кратности и), собственные векторы аег о ф О. 24.17. Лы..., Л„. 24.18. Искомый базис е = (ем ., е„), где (ем..., еь) — базис в Е', (еььы ..., е„) — базис в Е". 1) Жа3(Еь, 0); 2) Йая(Еь, — Еъ ь) в базисе е. 24.19. 1) Л = 1, х+ 2у = 0; Л = — 1, х+Зу=О; Йая( — 1,1) в базисе ( — 2, 1)т ( — 3, 1)т 2) Л= 1, х+у=О;Л=0,4х+5у=О;Йай(1, 0)вбазисе (1, — 1), ( — 5, 4) . 3) Л=1, Зх — 2у=О; Л=2, х — у=О; Йа3(1, 2) в базисе (2, 3), (1, 1) . 24.20. 1) Л = 1, прямая х = з = 0; Л = О, плоскость у = 0; Йая (О, 1, 0) в данном базисе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
