1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 79
Текст из файла (страница 79)
12.75. х" = — (х — у) + 1, у' = — (х + у) + 1 — ь/2 — поворот ъ'2 э/2 1 на угол к/4 вокруг точки М(1, 1). 12.76. х' = 1-~-2э/2 — — (х ~-у), э/2 1 /1 11 у* = 1 + ъ/2 + †(у — х); вектор переноса а 1 — — 1, †/1, ось ~/2 ~, э/2 э/2,) симметрии х+ у (ъ/2 — 1) = ъ/2+ 1. 12 ТТ. 2) /д = д/, центральная симметрия относительно точки А(1, 0); 3) /д — параллельный перенос на вектор а(6/5, -2/5), д/ — параллельный перенос на вектор — а. 12.Т8. 2) /д — параллельный перенос на век/1 вЂ,/3 /3-31 тор,, д/ — параллельный перенос на вектор < ,/3 — З 1+ /З1 — 12.80. 1) Произведение симметрий отно- 2 ' 2 сительно двух осей, угол между которыми равен у/2, проходящих через точку М; 2) произведение симметрий относительно двух прямых, расстояние между которыми равно ~а~/2, перпендикулярных вектору а; 3) У к а з а н и е: / = Ьд, где д — осевая симметрия, 6— параллельный перенос (см.
задачу 12.72, 3)), л разлагаем согласно 12.80, 2). Оси симметрии могут быть выбраны не единственным образом. См. также задачу 12.77, 1). 12.81. 1) (1, 0), (О, 1); 2) (1, 0), (О, 1); 3), 4) любая пара ненулевых взаимно ортогональных векторов; 5) (2, 1 + э/5), (2, 1 — э/5); 6) (1, 0), (О, 1); 7) (1, 1), (-1, 1); 8) (1, 2), (-2, 1); 9) (1, 3), (-3, 1); 10) (1, ъ/3), (-ъ/3, 1). 12.82. 1) д — тождественное преобразование, 61 — сжатие к оси абцисс с коэффициентом 3, аэ — сжатие к оси ординат с коэффициентом 4; 2) д — симметрия относительно оси абписс, 51 — сжатие к оси абцисс с коэффициентом 3, Ьэ — сжатие к оси ординат с коэффициентом 4; 3) д — симметрия относительно оси ординат, 61 и Йэ — сжатия к двум произвольным взаимно перпендикулярным прямым с коэффициентом 3; 4) д — поворот на угол к/4 вокруг Ответы и укииииич начала координат, Ьв и Ьз сжатия к двум произвольным взаимно перпендикулярным прямым с коэффициентом х/2; 5) д — поворот на угол — агссов (2/х/5) вокруг начала координат, Ь1 — сжатие к прямой (1 — х/5) х+ 2у = 0 с коэффициентом (х/5+ 1) /2, Ьз— сжатие к прямой (1 + х/5) х + 2у = 0 с коэффициентом (х/5 — 1) /2; 6) д — поворот на угол — я/2 вокруг точки М( — 2/13, 8/13), Ь1— сжатие к прямой у = 8/13 с коэффициентом 3; Ьз — сжатие к прямой х = — 2/13 с коэффициентом 4; 7) д — поворот на угол — агссов (3/5) вокруг начала координат, Ь1 — сжатие к прямой х+ 7у = О с коэффициентом 15, Ьз — сжатие к прямой 7х — у = 0 с коэффициентом 5; 8) д = д,дз, где дз — поворот на угол — атосов (3/х/ГО) вокруг начала координат, д1 — симметрия относительно прямой у = х; Ь1 — сжатие к прямой у = х с коэффициентом Зэ/ГО, Ьз — сжатие к прямой у = — х с коэффициентом 2х/100; 9) д — поворот на угол -Зх/4 вокруг начала координат, Ь1 — сжатие к прямой 2х+ у = 0 с коэффициентом 5х/2, Ьз сжатие к прямой х — 2у + 5 = 0 с коэффициентом 10х/2; 10) д — поворот вокруг точки М (-1/9, -2/х/3) на угол — я/3, Ь1 — сжатие к прямой у = — 2/х/3 с коэффициентом 6, Ьз — сжатие к прямой х = — 1/9 с коэффициентом 2.
12.83. Ь вЂ” гомотетия относительно начала координат с коэффициентом Й; 1) Ь = 5, д — поворот вокруг начала координат на угол агсвш (3/5); 2) Ь = 5, д — симметрия относительно прямой х = Зу; 3) Й = г, д— поворот вокруг начала координат на угол р; 4) Ь = г, д — симметрия относительно прямой хвш(х/2) = усов(х/2). 12.85. Всюду а— произвольное ненулевое число: 1) Л1 — — 7, а (2, — 1); Лз = 5, а (О, 1); 2) Л1 = 1, а (1, -1); Лз = 4, а (1, 2); 3) Л1 = 3, а (2, 1); Лз = -3, а (1, 2); все ненулевые векторы — собственные, Л = 2; 6) Л, = 1, а ( — 1, 1); Лз —— О, а (1, 1); 7) собственных векторов нет; 8) Л = 3, а(1, 2). 12.89.
1) Произведение поворота на угол у вокруг начала координат и гомотетии с центром (О, 0) и коэффициентом г; 2) произведение поворота на угол р, гомотстии с коэффициентом г, если а = г(сов у + в вшу), и параллельного переноса на вектор, изображаемый радиус-вектором точки Ь, илн произведение параллельного переноса на вектор, изображаемый радиус-вектором точки Ьа ', гомотетии с коэффициентом г и поворота на угол ~о. 13.1. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) нет; 10) да; 11) да; 12) да. 13.2. 1) Нет; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) да; 8) да; 9) да.
13.3. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) да. 13.4. 1) Нет; 2) да; 3) не'г; 4) нет; 5) да; 6) да; 7) нет; 8) да. 13.7. 6 элементов. 13.9. Обе группы содержатся в группе самосовмещений квадрата: циклическая группа вращений квадрата и нециклическая группа, состоящая из симметрий относительно средних линий квадрата, поворота на 180' и тождественного преобразования. 13.10. 1) х1; 2) хп; 3) сов (2яЬ/и) + 1вш (2кЬ/и), где Ь < п и 404 Ответы и укаванин взаимно просто с и; 4) повороты на углы (гхб/и), где Ь с и и взаимно просто с и. 13.11. 1) иЯ, где и — любое целое число; 2) тЕ, где т — целое число, кратное и; 3) Н„„где т — делитель и; 4) С,„, где т — делитель и.
13.13. 1) У к а з а н и е: пусть а — образующий элемент в б', Н вЂ” подгруппа в 6' и т — наименьшее натуральное число такое, что Ь = а'" Е Н. Тогда Ь вЂ” образующий элемент в Н. 13.15. У к а з а н и е: найти элемент, обратный к а, среди положительных степеней а. 13.16. 1) Рв состоиг из 2и преобразований: и поворотов и и осевых симметрий. 2) У к а з а н и е: показать, что если а — поворот, а б — осевая симметрия, то Ь 1аЬ вЂ” также поворот. 13.18. 1) У к а з а н и е: воспользоваться тем, что число элементов циклической подгруппы с образующим элементом а равно порядку этого элемента. 13.19.
Пусть а — поворот треугольника на гх/3 вокруг его центра, б — симметрия относительно одной нз высот. Тогда С= (г,а,а = а ',Ь,аб,а 'Ь), Н = (цЬ), Ь 'аЬ= а '. Левые смежныс классы по Н: Н, аН = (а,аЬ), а 'Н = (а,а ~Ь). Правые смежные классы по Н: Н, На = (а, Ьа = а гЬ), На 1 = (а, аЬ). 13.20.
У к а з а н и е: пусть а — параллельный перенос, а Ь вЂ” ортогональное преобразование с единственной неподвижной точкой. Доказать, что б ~аб — параллельный перенос, 13.22. 1) И; 2) группа комплексных чисел, по модулю равных 1; 3) группа положительных вещественных чисел; 4) группа комплексных чисел, по модулю равных 1; 5) группа Я„классов вычетов (т + и2), т б Я с операцией сложения: (т+ иЕ) + (Й + иЯ) = (т+ /с+ иЯ); 6) группа всех поворотов вокруг фиксированной точки.
13.23. 1) ий 13.24. 1) и 2) 1 3 г, 3) и 4) 1 4 3 г И 3 2 1 4 . 13.25. и!/2. 13.27. 1) Я, три подгруппы второго порядка с образующими эле- /1 2 3'~ /1 2 31 /1 2 31 ментами ( г 1 3 /', '( 1 3 2 /, '( 3 г 1 /, подгру~~а третьего по/1г 31 рядка с образующим элементом ( ~, вся группа Яз, 2) помимо (1) и всей группы з4, подгруппа четных перестановок А4 (порядка 12) и нециклическая группа Р', состоящая из четырех элементов: 2143 ' 3412 ' 4321 14.3. 1) 10, четная; 2) 13, нечетная; 3) 3, нечетная; 4) 7, нечетная; 5) 36, четная; 6) 12, четная; 7), 8) и(и — 1)/2, четная при и = 4Ь или и = 4Ь+ 1 и нечетная в остальных случаях; 9) и(и+ 1)/2, четная при и = 4Ь или и = 4Ь + 3 и нечетная в остальных случаях.
14.4. 1) 0; 2) 1; 3) 0; 4) 0; 5) 1; 6) — 1487600. 14.5. е. 14.6. г. 14.7. 1) -1; 2) -2; з) -г7; 4) -27; 5) -7; 6) О; 7) -1; 8) 4; 9) 0; 10) — 2(ха+ уз); 11) (а — с)(Ь вЂ” с)(Ь вЂ” а); 12) О. 14.8. — 31~'3. 14.9. г~соэф. 14.10. 1) 3, 3, 2; 2) 3, 3, — 2; 3) О, О, 6. 14.11. 1) 24; 2) 120. 14.13. 1, 0 или — 1. 14.21. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 0; 5) — 1; Ответы и указания 405 6) 1; 7) -18; 8) 1; 9) 1; 10) — 5; 11) — 7; 12) — 1; 13) 0; 14) 0; 15) 1. 14.22. 1) — 2; 2) — 10; 3) 0; 4) 48; 5) О. 14.23. 1) и!; 2) Л1 Лп' 3) 1' 4) 3" 5) 1; 6) ( — 1)"1" ~1ргЛ1.. Лп' 7) ( — 1)п+1' 8) ( 1)п+ . 9) 1 и. 10) и1.
11) ( 1)п(1 2и). 12) ( 2)»-1(5и 2), 13) ( — 1)п ', 14) ( — 2)п г(1 — и); 15) ( — 1)"<" 111ги" '(и+ 1)/2; 16) и+ 1; 17) О, если и нечетно, ( — 1)"1г[(и — 1)9]г, если и четно; 18) ( — Зь). 14.24. В втой задаче через 1лп обозначается определитель порядка и. 1) [1 — ( — 1)"]/2. У к а з а н и е: с1„= 1 — Ь„ 1 1 1Л 2) ( — 1)п[Л" — Л" 1и(и + 1)/2]. 3) и! ]2+ — + — +...+ — ). .) У к аз а н и е: 13„= ие1„1 + (и — 1)!. 4) [1 + (-1)п]/2.
У к аз а н и е: 11„= 1 — 13„1. 5) О, если и нечетно, и ( — 1)п/2, если четно. У к аз ан не: гз„= — Ь„г. 6) [1 + ( — 1)п]/2 Указание: л1„= 1з„г. 7) П (Л1 — Ль). Указание; п>1)Ь>1 1 ... 1 1 Л, ... Лп Л Так как р(Л1) = 0 для всех обозначим р(Л) = Лп — 1 и — 1 Л -1 1' = 1,...,и, находим р(Л) = С(Л вЂ” Л1)...(Л вЂ” Л„ 1), где С = гз„ 8) П (а1 — аь)(Ь1 — Ьь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
