1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 87
Текст из файла (страница 87)
24.126. Указывается жорданова форма и соответствующий ей базис. 1) Уг(0), Ц 1 1 Ц т Ц 1 О Ц ; 2) Уг(0), Ц 3 — 3 Ц , Ц О 1 Ц ; 3) Уг(О), Ц 2 6 Ц , Ц 0 — 1 Ц ; 4) йа8 (Уг(0), 0), Ц 2 2 — 2 Ц , Ц вЂ” 1 0 0 Ц Ц 3 0 2 Ц ' 5) Уз(0) Ц 2 -1 0 Ц Ц вЂ” 1 2 1 Ц , Ц О 1 1 Ц ' 6) Уз(0), Ц 2 — 1 — 1 Ц Ц 1 0 — 1 Ц , Ц 0 0 1 Ц ; 7) сНаб (,Уг(0), Уг(0)), Ц 1 0 0 1 Ц Ц 1 0 0 0 Ц Ц 0 1 1 0 Ц Ц О 1 0 О Ц ~ 8) йаб (,Уз(0), О), Ц11 11Ц,Ц11ООЦ,Ц1ОООЦ,Ц1001Ц;9)У4(О), Ц 16 16 16 16 Ц , Ц 8 8 0 0 Ц , Ц 3 1 1 — 1 Ц , Ц 1 0 0 0 Ц 24.127. 1),Уг( — 3), Ц 1 -2 Ц; Ц О, — 1/2 Ц; 2) йа8 (О, 169), Ц 12 — 5 Ц , Ц 12 5 Ц ; 3) Уг( — 2), Ц 3 б Ц ; Ц 1 1 Ц ; 4) .Уг(5), Ц вЂ” 2 — 6Ц, Ц01Ц; 5) йа8(2, 2, 0), Ц210Ц, Ц302Ц Ц 1 1 — 1 Ц ; 6) йаб ( Уг( — 1), — 1), Ц 1 — 2 1 Ц , Ц вЂ” 1 0 0 Ц Ц2 — 1 ОЦ;7)йа8(1,,Уг(1)),Ц5 1 ОЦ,Ц1 — 3 4Ц,Ц1 0 ОЦ 8) йа8 (О, Уг(0)), Ц 0 1 0 Ц, Ц 16 — 4 — 8 Ц, Ц 1 0 0 Ц ", 9) йа8 (О, .У (Ц), Ц 1 — 1 1 Цт, Ц О 1 — 1 Цт, Ц 1 О 1 Цт; 10) й 8 (,Уг( — 3), 2), Ц50 10Ц Ц 17110Ц Ц01 1Ц '11) Уз(2) Ц121Ц Ц110Ц ЦО 10Ц '12) Уз( 1), Ц2 1 1Ц, Ц 110Ц Ц вЂ” 1 0 2 Цт, 13) сба8 (Уг(1), — 1), Ц 2 2 2 Ц , Ц 0 0 1 Ц Ц 2 0 1 Ц ; 14) йа8 (2, 2, 2, — 2), Ц 1 1 1 — 1 Ц , Ц 1 1 — 1 1 Ц Ц 1 — 1 1 1 Ц , Ц вЂ” 1 1 1 1 Ц ; 15) йа8 (О, Уг(0), 2), Ц 0 1 1 0 Ц Ц 0 2 — 2 — 4 Ц, Ц 1 0 1 0 Ц, Ц 1 0 2 1 Ц; 16) сНа8 (,Уз(1), 1), Ц0200Ц, Ц вЂ” 23 — 11Ц, Ц0010Ц, Ц1 — 100Ц 17) йа8 (,Уг(1), 1, 1), Ц вЂ” 1 — 1 1 1 Ц, Ц 0 1 0 0 Ц, Ц 1 0 1 0 Ц Ц 0 7 0 — 1 Ц; 18) йаб (,Уг(1),,Уг( — 1)), Ц 2 — 1 2 — 1 Ц ЦО 1 2 ОЦ, Ц2 — 1 — 2 1Ц, Ц1 — 1 1 ОЦ .
24.128. К вещественной жордановой форме приводится только матрица 3). 1) йай(е, Г), Ц 1 1 — с Ц, Ц 1 1 — й Ц, е = е г 'с з; 2) йа8((4+ Зс)/5, (4 — Зс)/5), Ц1 сЦ, Ц1 — зЦ; З),Уг(З), Ц1 2Ц, ЦΠ— 1Ц Ошеепзм о указания 4) йаб(1, з, -з), ((О 1 1(), ((2 2 3+зЦ, Ц2 2 3 — зЦ 5) йаб (2, — 1+з, — 1 — з), (!1 0 — 1Ц, Ц2 2 — 5 — зЦ !!2 2 — 5+з'Ц; 6) йаб (2, — 4, 1+з, 1 — з), Ц вЂ” 2 — 1 1 1Ц Ц1 — 1 1 — 1((, ЦЗ з — 1 — з((, ((3 з — 1 зЦ; 7) з(!аб(,Уг(з), ,Уз( — з)), Ц1 — 1 — 1 — зЦ, (!О 1 — з Зз — ЗЦт, Ц1 — 1 — 1 зЦ Ц 0 1 з — 3 — Зз Ц . 24.129. 1) з!!аб(2з, 0), Ц 1 з Ц, !!1 — з Ц 2) з!!ак (с+з, е — з), Ц 1 з Ц, Ц з 1 Ц, 3) Йаб (1+с, 1 — е), Ц 1 — 1 Ц, Ц 1 1 Ц, е = сов ( — 2кз/3) + з яш ( — 2кз/3); 4),Уз(з), Ц 1 з Ц, Ц 0 1 Ц .
24.130. 1) При пз < п матрица содержит единичную подматрипу порядка п — т в правом верхнем углу, остальные ее элементы равны нулю, а при т ) и Ль Сз Лв-з СгЛ ь-з Н О Л™' СзЛ матрица нулевая. 2) 0 0 0 0 /(Л) /'(Л) уп(Л)/2! ... У!"!(Л)/и! 0 ...СзЛ 0 ... Л О /(Л) У'(Л) ... У!"-'>(Л)/( — 1) ! 24.131. 1) У„(Лз) 0 0 0 ... /'(Л) 0 0 0 ... У(Л) 3) при Л ф О. При Л = 0 две клетки порядка !з, если п = 2й, и порядков й и Л + 1, если и = 2Й + 1.
У к а э а н и е: если ез, ..., е„жорданова цепочка зе(ез+з) = е; (з = 1, ..., и — 1), то относительно зз~ она распадается на две цепочки: е„, е„з, ... и е„з, е„з,... из векторов, номера которых имеют одну четность. 2),У„(Л ) при Л ф О. При Л = 0 относительно !э~ образуются пз клеток, соответствующих цепочкам векторов, номера которых имеют одинаковые остатки при делении на пз. 3),У„(Л з). 24.132. 1) Приводится к диагональному виду. 2) Для каждого характеристического числа имеется по одной жордановой клетке. 24.134. 1),У„ез(0); 2),У„(1); 3) с!!аб (е,..., е" з), где е = сов (х/и) + з вш (х/и); 4) з!!аб (О, ..., п); 5) 2з зИаб (сое а, ...
..., соево), где а = х/(и+ 1); б),У„(0); 7) з!!аб (и — 1, п — 3,..., 1 — и). 24.135. 1) йаб (Уз(1), Уз(1)); 2) Йаб (Уэ(1), 1); 3) з!!аб (Уз(1), 1, 1). Указание: Аз~за — — (Азеэ — Е) = О, но Н.З Азье = 2, а Кб(Амэ — Е) = 1. (Азео Е) гз О, (Азео — Е) = О. 24.136. Характеристический многочлен (Л вЂ” 3)з(Л + 2); для Аззз минимальный многочлен (Л вЂ” 3)(Л + 2), жорданова форма баб (3, 3, — 2); дли — Аззз минимальный многочлен (Л вЂ” З)з(Л + 2), жоР- данова форма з11аб (,Уз(3), — 2).
24.137. з!!аб (,Уэ( — 1), 2, 2). 438 Ответам и йказанин (1!) ' (2!) ' ...... ((и — 1)!) (1~Г' (2~Г' ... И -2)~)-' 0 1 (1!) э ... ((и — 3)!) 1 0 24.138. 1) 0 0 3) Агт 24 141 2 — 1) ; 2) 0 0 0 ... (1!) 0 О 0 ... 1 У к а з а н и е: использовать утверждение 2) зад. чи 24.139. 24.142. Если Ло — наименьшее по модулю ненулевс2 собственное значение !2, то 0 < ео < )Ло!. Если все собственные зн чения равны нулю, то годится любое хо > О.
24.143. У к а з а н и е если одно из преобразований невырождено, воспользоваться утвегждением задачи 23.92. Если оба вырождены, то использоват; утверждение задачи 24.142, В этом случае преобразования 422+ е и 2/2 перестановочны, и имеют одинаковые характеристические многочлены при любом е 6 (О, ео). Переходя к пределу прэ е -> +О, получаем требуемое. 24.144. У к а з а н и е: применит. утверждение задачи 24.141. 24.145. У к а з а н н е1 доказать, чт1 4л и 2/2 имеют общий собственный базис. 24.146.
Указание применить утверждения задач 24344 и 24.145. 24.147. Пуст. 422(е2) = о. Тогда е2 собственный вектор для 2)2 с некоторым сосственным значением Л. Векторы еэ,..., е„, такие, что !2(еь+~) = с„ (Й = 1,..., и — 1), линейно независимы, причем 2/2(еь) = (Л вЂ” Й+ 1)еь (й = 1, ..., и). 24.148. Пусть Ло — максимальное по модуль собственное значение 22 '2/2. Тогда е = )Ле! 25.1. 1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) нет. 25.2. 1) а) Да б) нет; 2) нет; 3) нет; 4)да; 5) да. 25.4. 2) Стандартный бази1 ортонормирован.
25.5. 1) Нет; 2) нет; 3)нет. 25.6. Р должн; быть положительно определенной (задача 25.30). У к а з а и и е составить скалярные произведения матриц стандартного базис . 22.2. ~2,~ - „22244 Ц=~. 22.14. г результат задачи 25.13. 25.15. 1) сов!о2 = 2/21/5; сов 4рз = ъ~35/10 соз рз —— ~/35/(2~/21); 2),/2/3; Ь/2/7; 4/Д0055. 25,20. 1) 16; 2) О 3) — 12; 4) 7; 5) 3. 25.21. сов а = 1/~/й. 25.22. 1) 2, ~/9. 8/Л4; 2) АР, ~/З, О; 3) /Я, чг222, — 6/П; 4) Л, М88, 7/Л7ч 5) 2, ~/П1, 3/2Л1.
25.23. Указание: вычислите !е;+ ез)1 25.24. Каждый базис с указанной матрицей Грама получаетсг из одного такого базиса некоторым ортогональным прообразов" пнем плоскости. Обратите внимание, что для того, чтобы сделат. рисунок, необходимо выбрать единицу масштаба. 25.25. 1) (: 4р 22 2) 10; 3) 8; 4) 0; 5) пр+ р —, где Р = —. 25.26. 1) х/= Иф' 1 —,и 2) я/3; 3) я/6; 4) и/3; 5) и/4; 6) х/2.
25.27. 1) ~/2, чу 2) ~/2, 2~~79; 3) ~/8, ~/ГО; 4) 1, Л.8; 5) )х~!з = (3пз — и)/2 Ответам и указания 439 (хз! = ~ — ( + — — ~ ). 25.28. 1) ф<1;2) п=2хй /1-д"'1' д 4 /1-д'"'1 1, 1 — д ) 2 Ир 1, 1 — рэ )' (к б г)); 3) ни при каком а. 25.29. Указание: используйте связь матриц Грама двух базисов для случая, когда один нз них — ортонормироваиный. 25.31. У к а з а н и е: использовать результат задачи 25.29. 25.33. У к а з а и и е: использовать неравенство Коши-Буняковского. 25.35. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да. Указан не: утвердительные ответы можно обосновать, написав соответствующие матрицы.
3500 1 — 1 0 0 5900 — 1 2 О 0 )) 2 0 2/3 25.36.1) ооз5 '* ) о о 1-, .25.37.~~ о 2/з о 5 9 О 0 1 2 2/3 0 2/5 25.38. Е э. 25.39. Г г. Ук аз ание: помимо базиса вв н е, едите какой-нибудь ортонормированный базис и используйте матрицы перехода ст него к базисам е и е'. (См. также задачу 25.31). 25.41. 2) Нет. У к а з а н и е: выразите С через матрицы, состоящие из координатных столбцов векторов соответствующих систем в некотором ортонормированном базисе. 25.43. хм ..., хь. 25.44. У к а з а н и е; используйте результат задачи 25.43.
25.45. 2), 4), 5), 6), 7), 10) 11), 12), 13), 14) — да, остальные — нет. 24,46. 1) Да; 2) да; 3) в общем случае, нет; 4) да; 5) да: поворот вокруг побочной диагонали можно осуществить так: переписать все строки и все столбцы в обратном порццке, а затем транспонировать (а,, — > а„з+1 „;+1). 6) Только если число равно 1 или — 1. 7) Нет. 25.47.
1) Нет; 2) да; 3) да; 4) только при ~п~ = 1; 5) да. 25.48. Все пары, которые получаются из Е, — Аээ умножением обеих матриц на одну и ту же ортогональную матрицу. 25.49. Ортогональная матрица должна отличаться от антисимметрнчной матрицы на слагаемое вида -Е. Существуют при и = 2 и 4 а при а = 3 — нет. 2 25.50. 1) Нет; 2) да. 25.51. Да. Рассмотрим ортоиормированный базис е и вектор, имеющий в этом базисе компоненты, равные элементам строки. Дополним этот вектор до ортонормированного базиса е'. Бели Я вЂ” матрица перехода от е к е', то Ят — искомая 1)0 матрица. 25.52. Произведение матрицы, где Я вЂ” произвольная ортогональная матрица третьего порядка, на одну из таких матриц, например, А4зэ. 25.53. 1) Нет.
25.54. Диагональные матрицы с элементами +1 или — 1 на диагонали. 25.55. Остальные элементы строк и столбцов, пересекающих подматрицу, равны нулю. 25.56. 1/и'и. 25.57. У к а з а н и е: если А — ортогональная 1 ~А| — А матрица, то матрица — ~ также ортогональная. Про- ~/2 ~ верьте это. 25.58. 2) Необходимо и достаточно, чтобы линейные оболочки обеих систем совпадали. У к а з а н и е: воспользуй- Ошвешм и рказаиил 440 3 1 3 — 12 - 4 1 — 5 — 611 1 — 5 1 — 1 1 1 3211;6)1 — 111 — 2;7) 231 — 1 1 — 5 0 0 3 5) 2 — 3 5 7 2 -3 -11 -15 26.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
