1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 72
Текст из файла (страница 72)
звдачу 2.32). 2) Радиус-вектор общей точки трех плоскостей (см. задачу 1 2.32). 2.34, Два решения: х — (1, -2, — 3). 2.35. Два решения; /14 1 1 4 — (О, 1, 1) и — (5, — 3, — 8). 2.36. Угол при вершине агсс<и —. 3/2 73/2 5 ]тг — пг[ 2.37. 4. 2.39. Острый угол агссов 1); 2) 1/т: 1/и; 2.40. 90'. 2.41 , 1/г 3) агсвш ( ) 2.44. [АС1]2 = аг + Ьг+ сг + Зт +п — ) 3/299 + 2аЬсов7+2Ьссоьп+2асс<и~3. 2.47. атосов(1/18). 2.48.
— а. 3 2.49. [ЯМ]:]МР[=]СЖ[:]Ь/Р[=3:1. 2.50. 63/3. 3.1. 1) (11, 19, — 7); 2) (О, О, 0); 3) (О, О, — 15). 3.2. 1) 2 [Ь, а]; 2) [а,Ь]+4[Ъ,с]+ — [с,а]. 3.4. Л = хз/3. 3.5. 1) [ег,ег] = ез 9 [е2 ез] е1 [ез е1] ег~ 2) [е1 е2] ез [е2 ез] е1 [ез е1] е21 ]е1[ ]ег] [ег[ ]ез[ [ез] ]ег[ 3) [ег,ег] = ез [ег,ез] = ег, [ез,е1] = ег. [ез] [ег] [ег[ 3.6. Либо все векторы а, Ь, с нулевые,'либо они образуют ортонормироваыный базис (тройка векторов а, Ь, с правая). 3.7.
Задача 1 2.34: единственное решеыие — ( — 1, 2, 3); задача 2.35: единствен- ,/14 ыое решение — (О, 1, 1). 3.8. 1) — ъ~З; 2) 5 3/3/14, —, 5 з/3/14. 1 5 5 1/2 2 ' 3/2' Ответы и указания 376 сова — совр'соз Г 3.9. 13. 3.14. созВ =,, где  — двугранный угол, зш,бзш образованный плоскими углами В, 7. Остальные углы выражаются аналогичными формулами. У к а з а н и е: при вычислениях исполь- [а, Ь] зовать формулу задачи 3.13, 3) 3.15. х = — '. У к аз ание: [а]г вектор х искать в виде Л [а, Ь]. 3.16. Множество концов векторов, удовлетворяющих уравнению [х, а] = Ь, является прямой линией (все векторы отложены из некоторой точки О). Направляющим вектором этой прямой является вектор а. Проекцией точки О на прямую является конец вектора хе = [а, Ь]/[а[г.
3.17. г1 = хг/]1[, г" = [а[[Ьс]+ [Ь][са]+]с[[а Ь]; 1) знак+ соответствует правой тройке а, Ь, с, знак — соответствует левой тройке; 2) знак + соответствует левой тройке а, Ь, с, знак — соответствует правой тройке. 3.18, — (1, 2, 0). 3.19. 1) 0; 2) -23; 3) 0; 4) 6.
3.20. 1) Да; 1 Л 2) нет. 3.21. Л = 3, Л = — 4. 3.22. 1) [(а,Ь,с)[/2; 2) [(а,Ь,с)]/6. 3.23. 1) 1/3; 2) 1/ъ~300. 3.24 10ъ/2. 3 25. Множество концов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а, Ь) = р, является плоскосгью (все векторы отложены из некоторой точки О). Эта плоскость параллельна векторам а и Ь. Проекцией точки О на плоскость является конец вектора хо = [а, Ь]; этот вектор р [[а, Ь]]г является частным решением данного уравнения. У к а з а н и е: использовать результат задачи 2.32. 3.26.
У к а з а н и я: 2) использовать формулу двойного векторного произведения (задача 3.13, 2)); 3) и 4) — использовать формулу задачи 3.26, 2); 5) положить в формуле задачи 3.26, 3) 6 = [х,у], при вычислении смешанных произведений использовать формулу задачи 3.13,3). 3.29. 2)Ь| = ',Ьг= ',Ьз= (ам аг, аз) (ам аг, аз) (ам аг, аз) р[Ь, с] + 4[с, а] + з[а, Ь] 3 (а,Ь,с) ' ' ' з/43 ' 1: 2 (два решения). 3.35. /з . 3.36.
— Я или — Я. 3.37. 2з/2о. г 15 15 4.1. 1) а1 — — — а' + 2а~~, 3.39. аг = За', — 7аг; 2) а', = -7аз — 2аг, аг = — Заз — аг, 3) ег ( — 7, — 3), ег( — 2, — 1). 4.2. 1) аз = а[ — а~г+ аз, аг = а[ — 2а~г+ За~э, аз = а', — Заг + баз; 2) а', = Заз — Заг + аз аг = Заз — 5аг + 2аз Ответи и указаиидд 377 аз — — сдд — 2сдг + аз, 3) ед (3, 3, 1), ег ( — 3, — 5, — 2), ез (1, 2, 1). 4.3. 1) х = 2х' + у' — 1, у = Зх' + у' + 3; 2) х' = — х + у — 4, у' = Зх — 2у + 9; 3) О ( — 4, 9), ед ( — 1, 3), ег (1, — 2).
4.4. 1) х = 4х' + 5у' + Зз' + 1, у = 2х' + Зу' + 2з' + 1, г = х' + 2у' + з' + 2; 2) х' = х — у — г + 2, у' = — у + 2з — 3, г'= — х+Зр — 2г+2;3) О(2, — 3, 2),ед(1, О, — 1),ег( — 1, — 1, 1 1 7, 3 2 11 3), ез ( — 1, 2, — 2). 4.5. 1) х' = -х+ -у — —, у' = — -х+ — у+ —; 5 5 5' 5 5 5 2)0 — —,—,е,—,— —,ег —,—,3)0'(5,2),ед(2, 3), ег( — 1, 1).
4.6. 1) х' = х — у+ г+ 6, у' = — х+у — 2г — 8, г' = х + г + 3; 2) О (6, -8, 3), ед (1, -1, 1), ег (-1, 1, О), ез (1 -2 1)' 3) О' (-1, 3, -2), е', (1, -1, -1), ег (1 Π— 1), ез (1, 1, О). 4.7. ддд —— — 7ад — 17сдг, аг = 5ад + 12аг. 3, 1,, 19, 1 4.8. ад — — — — дд' + -аг + 4а~з аг = — а' — — а' — 18а', — — г з 1,, 7 2,, 2 аз = 5сдд — 9аз. 4.9. х = -х'+2у'+ —, у = — -х' — 2у' — —.
4.10. х = — з — 3 9 — 3 = 4х' + Зу' + бз', у = — 8х' — Зу' — 13г' — 1, з = 13х' + 4у' + 23гд + 1. 1, 2, 2 2, 2, 1 1 4.11. х = -х' — -у' + —, у = -х' + -у' + —. 4.12. х = -х' — у' + 1, 3 3 3 3 3 3 3 1 Ф 2, 2, 2 1,, 1 у = — х'+ у'. 4.13. х = — — х' — — у'+ —, у = — -х'+ у'+ —. 7 3 3 3' 3 3' 3,, 13, 4.14. х = х'+ — у', у = — Зх' — — у'+ 3.
4.15. х = — х' — у'+ 2, 5 ' 5 3, 2, 3 2, 2, 2 у = — х'+ у'+1. 4.16. х = — -х'+ -у'+ —, у = — -х' — — у'+ —. 5 5 5' 5 5 5 4.17. х = — х' — 2у' + 2, у = — 2х' — у' + 2. 4.18. х = = — 2х' — 2у' — г' + 2, у = у'+ з', з = % 4.19. * = 2*'+ у' + -з' — 1, д 2, 1, 1, 1 у = у'+ -г', г = — х' — у'+1. 4.20. х = -х' — -у' — -з'+ —, 3 3 3 3 3' 1 д 2 д 1 д 1 1 д 1 д 1 у 1 у = --х'+ -у~ — -гд+ —, г = — -х' — -у' — -з~+ —.
4.21. х = 2х~+ 3 3 3 3' 3 3 3 3 + 2у'+ г', у = х'+ 2у'+ г', г = — х' — у' — г'+ 1. 4.22. х = — г'+ 1, у = у'+ 2з' — 1, з = — х' — у' — Зг'+ 2. 4.23. ад + аг г— — 1, ада+ 'дгг = 1 аддадг+ агдагг = О. 4.24. 1) адд + агд + азд = 1, г г г г г дддг + агг + азг 1~ адз + агз + азз 1 аддадг + агдагг + аздазг = О~ г г г г аддадз + агдагз + аздазз = О, адгадз + аггагз + азгазз = О; адд адг адз 2) агд агг агз > О. 4.25.
1) х = х' соз до — у' зед гг + хс, азд азг азз 378 Опюешм и указании у = *'вшу+ у'сов ~р+ уо', 2) х' = (х — хо) совр+ (у — уо) вшу, у' = (у — уе) сов ~р — (х — хо) вш у; 3) О ( — хосподи — уевши, 4З, с/З, хе вш х — уо сов у).
4.26. 1) х = -х' — — у' + 1, у = — х' + -у' + 3; 2 2 ' 2 2 1, 1, 1, 1 2) х = — — х' — — у' + 1, у = — х' — — у' + 3; 3) х = — у' + 1, у = Л Л ' Л Л = х'+3; 4) х= -х'+1, у= -у'+3. 4.27. 1) х= х'сов~о+у'ошкур+ + Охо, у = х'вшу — у'сов у+ уо, 2) х' = (х — хе) сову + (у — уо) вш у> у = (х — хр) вш ВР— (у — уо) сов ~Р; 3) О ( — хесов1Р усв1пф, 3, 4, 48 4, 3, 36 — хев1пр+ уосову). 4 28. х = — -х' — -у'+ —, у = -х' — -у'+ —. * 5 5 25' 5 5 25' 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 г 4.29.
х = -х' — — у' — -в' — 1, у = -х' + — у' — -в' + 3, 2 ~/2 2 ' 2 Я 2 1, 1 1, 2, 2, 2 х = — х' + — в' + 5. 4.30. х = -х' — — у' — -в' + —, ~/2 ~/2 3 3 3 3' 2 р 1, 2, 2 2, 2, 1, 2 у = — — х + -у — -в + —, в = — — х — -у + -в + —. 3 3 3 3' 3 3 3 3 5.1. 1) а1 и аг не коллинеарны; 2) а1 и ав коллинеар- ны, а1 и гв — г1 не коллинеарны; 3) аи ав, гв — г1 коллинеарны. ~( и в)~, ((пп пв)(  — (го, и) 5.2. 1) агссов '; 2) ахссов . 5.3. го+ а.  — (ге,п)  — (го,п) )(го,п) — Щ 5.4. 1) го + ' и; 2) ге + 2 ' и.
5.5. 1) 2) ' . 5.6. 1) (1, /в);2) ( — В, А). 5.7. 1) 2х — Зу+5=0; )[го — гпа)/ !а/ х у — 1 2 2) х = 41, у = 1+ 31, т.е. — = —; 3) —. 5.8. 1) х — 2у+ П = 0; 4 3 ' 3 х+3 у — 4 2) — = —; 3) х=-3; 4) у=4; 5) х=-3+1, у=4 — 71. 2 3 5.9. 1) х — 4у + 7 = 0; 2) 2х — у + 2 = 0; 3) х = 2; 4) у = — 3. 5.10. 1) Пересекаются в точке (5/7, — 3/7); 2) совпадают; 3) параллельны; 4) пересекаются в точке (5, — 1).
5.11. 1) а ф. х2; 2) а = — 2; х х З)аы2. 5.12. а=1,а= — 1 а= — 2. 5.14. у= — у= — +1,у= — 1, 2' 2 у = 5. 5.15. ( — 4, 3); 5х + 2у — 13 = О; х — 5у + 19 = 0; 4х + 7у — 5 = О. 5.16. 43х+2у — 67 = О. Указание: искомая прямая — вторая диагональ параллелограмма со сторонами на данных прямых и с центром в точке А.
5.17. 10х + 11у — 21 = 0; 4х + 5у — 9 = 0; 2х+ у — 15 = О. 5.18. А(2.4, 1.2), В(3.6, 6.8), С(6.4, -6.8), Р(-0.4, — 5.2). 5.19. 2 прямые: 4х — у+9=0, 2х+Зу — 13=0. 5.20. 3 прямые: х — Зу + 7 = О, Зх + 4у — 18 = О, 2х+ 7у — 12 = О.
5.21. 5: 18. 5.22. 1) ( — й, 1); 2) (А, В). 5.23. 1) 2х+у+ 2 = О; Отеетпы и указанон 3?9 х+3 у — 4 2) =; 3) у = 4; 4) х = -3; 5) х = -3 + 74 у = 4 + Ь вЂ” 3 2 5.24. 5х — у — 17 = О, 5х — у + 9 = О, х + 5у — 19 = О, *+5у+7=0. 5.25. х — у /3+3 /3 — 1=0,* — у /3+ /3 — 1=0, х+ уг/3 — З~/3 — 1 = О, х+ у~/3 — ъ/3 — 1 = О. 5.26. (3, 11). 5.27. 1) ~/ГЗ; 2) 1; 3) 2; 4) 0; 5) 6; 6) 11.
5.28. [Св — Сг[/~А~ + Вв. 5.29. 2х — у — 14 = О, 2х — у+ 6 = О. 5.30. (7, 6) или ( — 3, — 2/3). 5.31. (3, 5) или ( — 37, 45). 5.32. ( — 1.5, 0.5) и ( — 0.5, 1.5). 5.33. Пара прямых: Агх+ Вгу+ Сд — — хЛ(Авх+ Вву+ Св), где Л = й (А,+В,)/(Ав+Вв). 534. 1) (-2, 3); 2) ( — 5, 4). 5.35. х — Зу + 7 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
