1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 69
Текст из файла (страница 69)
15.51. 1) Общие соображения: в силу решения задачи 15.50 А = Я э ... Яэ ~, где матрищ и Ям ..., Яь соответствуют элементарным преобразованиям строк матрицы А, переводящим ее в единичную матрипу. Подобрав Я„..., Яы затем находим Я ',..., Яь '. На данном примере ниже показано, что процесс можно сократить 1 1 на один шаг. Упрощаем матрицу А = 2 .
Умножим вторую строку на — 1/2, Это равносильно умножению А слева на матрицу 1 0 1(2 . Получим 0 1~2 0 2 = 0 1 — — В. (14) МатРица В элементаРная. Вычисляем 0 1 2 — — 0 2 — — Я. Умножая обе части равенства (14) на Я слева, получим искомое разложение = ЯВ = 15.73. Диагональная матрица 61аб(1, 2, ..., и) невырождена. Используя зту матрицу, мы можем применить результат задачи 15.69, откуда следует диагонэльносгь данной матрицы А.
Остается доказать равенство всех диагональных элементов А. Если А— Л 0 матрица второго порядка: А = „, то умножим ее слева и 0 Л 0 — 1 справа на матрипу Я = 1 0 . Приравнивая АЯ и ЯА, убедимся, что Л~ —— Лэ. Аналогичным образом, подбирая Я для диагональ- ной матрицы А произвольного порядка, проверим равенство любых двух диагональных элементов А. 15.81. Обратную матрицу ищем методом Гаусса, исходя из матрицы 3 А)Е () (см.
задачу 15.53). Процесс упрощения начинаем с нижней строки. При этом элементы матриц А и Е, расположенные Решения 361 ниже главной диагонали, не меняются. В итоге из единичной матрицы должна получиться верхняя треугольная. 15.118. Пусть А — данная матрица перестановки. Рассмотрим всевозможные матрицы А . Это — матрицы перестановок (см. залез чу 15.108).
Число различных матриц перестановок одного порядка конечно. Поэтому существуют натуральные числа р, 9 такие, что р>диАл=А";отсюдаАл г=Е. 16.26. 2) Пусть Ь вЂ” отличный от о столбец матрицы А. Все столбцы А пропорциональны Ь. Если а — строка из коэффициентов пропорциональности, то А = Ьа.
16.27. В = А з(АВ), С = (СА)А 1. Применяя теорему об оценке'ранга произведения матриц (задача 16.25, 1)), получим неравенства гй В < гй АВ < гй В, гй С < гй СА < гй С, откуда и следуют утверждения. 16.35. Уравнение АВ = 0 эквивалентно уравнению (ЛАТ)(Т ~В) = О, где Я, Т вЂ” любые иевырожденные матрицы подходящего порядка. Подберем Я, Т так, чтобы А' = $АТ = 11 й Е„О где ń— единичная матрица порядка т = гйА. Обозначим В' = = Т гВ. Легко проверить, что первые т строк произведения А'В' совпадают с первыми т строками матрицы В'. Поэтому равенство А'В' = О возможно, лишь если первые т строк матрицы В' нулевые.
Следовательно, гй В' < и — т. Но гй В' = гй В, гй А' = гй А = т, поэтому гйА+ гйВ = гйА'+ гйВ' < и. Другое решение задачи получим, если будем интерпретировать столбцы В как решения системы уравнений Ах = о. Тогда данная задача сводится к оценке максимального числа линейно независимых решений этой системы.
18.17. 4) Ранг данной фундаментальной матрицы равен и — т = = 4 — т = 2, так что ранг искомой системы уравнений: т = 2. Будем искать два независимых уравнения вида агхг + агхг + азхз + алх4 = = О. Столбцы данной матрицы им удовлетворяют: аг + аг + аз + а4 = О, аг + 2аг + аз + Зал = О. Столбцы фундаментальной матрицы этой системы уравнений 1 — 201 дают коэффициенты искомой системы из двух независимых уравнений: — хг + хз = О, хг — 2хг + х4 = О. Ответ не однозначен. 19.30. Проверим для системы уравнений (Аг А) х = Аг Ь условия теоремы Фредгольма. Пусть уо — решение сопряженной однородной системы у (АтА) = о.
Тогда уе (А А) уо — — О, откуда (уоАг') (уоА ) = О, что возможно, только если (уоА ) = о. Умножая последнее равенство на Ь, получим при любом столбце Ь: уа (Аг Ь) = О, т.е. действительно условия теоремы Фредгольма 332 Ренгенил выполнены. Отсюда следует совместность системы уравнений (АтА) х = Ат1г » 19.31.
Допустим противное. Тогда система уравнений 1 агьхь = ым = О (у = 1,..., п) имеет нетривиальное решение хе,..., хе. Если хо— максимальная по мсдулю компонента этого решения, то хе ф О, и у-е уравнение системы дает а + 2,' агь(х~ь/х~) = О, откуда ввиду лаз |х~ь/х~! < 1 получаем ~азг! < 2 ~азь~, что противоречит условию. ьфу 19.34. Будем искать прямую Ах+ Ву+ С = О, содержащую три данные точки. Рассматриваем равенства Аа1 + ВЬг + С = О, Ааг + ВЬг + С = О, Ааз + ВЬз + С = О как систему уравнений относительно неизвестных А, В, С с матрицей коэффициентов аз Ьз 1 М= азЬг1 аз Ьз 1 Любое нетривиальное решение системы удовлетворяет условию Аг + + В э~ О, тзк как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице. Поэтому нетривиальные решения системы и только они соответствуют прямым, содержащим три данные точки. Условие гй М = 3 необходимо и достаточно для того, чтобы система уравнений нетривиальных решений не имела, т.
е. оно необхсашмо и достаточно для того, чтобы три данные точки не лежали на одной прямой. 19.35. 1) Будем искать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки, в виде Ах+ Вр + С = О. Рассмотрим систему уравнений для определения А, В, С: Аа1 + ВЬ1 + С = О, А,+ВЬ +С=О. Ее матрица есть = М. Каждое нетривиальное решение аз Ь1 1 аг Ьг 1 системы удовлетворяет условию Аг + В ф О, так как последний ко- эффициент в каждом уравнении равен единице. Поэтому нетривиальные решения системы и только они соответствуют прямым, со.
держащим две данные точки. Если точки (аы Ь1) и (аг, Ьг) различны, то гйМ = 2 и система уравнений имеет одно линейно независимое решение, т. е. существует единственная прямая, содержащая данные точки. Решения збз 2) Для того чтобы три точки с координатами (х, у), (аы Ь|), (аз, Ьз)лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (см.
решение задачи 19.34) условие а Ь 1 =О. Это и есть искомое уравнение. Заметим, что если данные точки различны, то хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от О, т. е. полученное уравнение действительно определяет прямую. 19.42. 1) Будем искать всевозможные плоскости, содержащие три данные точки. Эта задача приводит к системе уравнений Ааз + ВЬз + Ссз + В = О, Ааз + ВЬз + Ссз + В = О, Ааз + ВЬз + Ссз + В = 0 относительно неизвестных А, В, С, Ю. Так как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице, то калсдое нетривиальное решение системы уравнений удовлетворяет условию А + В + С ф О и действительно дает плоскость, содержащую три данные точки. Нас интересует случай, когда фундаментальная система решений содержит единственное решение — в этом случае существует единственная плоскость, ссдержащая данные точки.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы аг Ьз сг 1 гк аз Ьз сз 1 =3. аз Ьз сз 1 20.21. Пространство нечетных многочленов степени не выше 5 имеет размерность 3; представим данные многочлены их координатными столбцами в базисе 1, сз, Зз. Приведем соответствующую расширенную матрицу к треугольному виду: О 1 1 — 1 0 1 1 — 1 Теперь ясно, что многочлены 2г+ гз, зз — гз, $+ сз образуют базис в пространстве нечетных многочленов степени не выше 5. Продолжаем элементарные преобразования расширенной матрицы: ~~~~~Э Многочлен И вЂ” гз + 2гз имеет в базисе 21 + зз, 1з — гз, 1 + зз координатный столбец (4, 2, — 3)т.
20.26. Пространство кососимметрических матриц порядка 3 имеет размерность 3; базис образуют матрицы Реп»епил 364 010 -1 О О ооо 001 0 00 000, 0 01 -1 О О О -1 О 0 а Ь Матрица — а 0 с имеет в этом базисе координатный столбец — Ь вЂ” с 0 131 (а, 6, с)т. Так как 1 5 0 = 13 ~ О, то вторая система является -1 2 3 базисом. То, что первая система является базисом, можно специально не проверять — этот факт обнаружится в ходе дальнейших вычислений.
Матрица перехода Я ищется из уравнения «» = ГЯ, т. е. 131 1 0 — 1 150 = — 2 — 1 2 Я. — 1 2 3 3 4 — 2 Для решения этого матричного уравнения составим матрицу )( Г ! «» Й. Элементарными преобразованиями строк приведем «левую половину» к единичному виду (этим будет автоматически проверено, что первая система является базисом); при этом «правая половина» преобразуется в искомую матрипу Я. Имеем 1 0 — 1 131 100 9 40 9 — 2 — 1 2 1 5 0 0 1 0 — 3 — 11 — 2 3 4 — 2 — 123 001 8 37 8 Искомая связь координат имеет вид: (д —— 951~+405з+9сз, бэ = 3с1 11с2 2сз сз = 8с1 + 37сг + 8сз. 21.7.
4) Составим системы уравнений, определяющие данные подпространства Р и Я. Имеем (см.введение к гл. 8): 101 211 312 хд 1 0 1 х1 хз 0 1 — 1 хз — 2х1 хз 0 0 0 хз — хз — х1 Х1 1 0 2 Хз хз - 01 -3 хз — Зхз хз 0 0 0 х1 — хз — хз первое подпространство задается одним уравнением хз — хз — х1 = О, второе — одним уравнением х1 — хз — хз = О. При этом мы замечаем также, что 63шР = ббш Д = 2. Базис в Р образуют, например, векторы а» и аз, базис в Д образуют, например, векторы Ь1 и Ьз. Найдем размерность и базис суммы Р+ Я. Имеем 1041 1041 2131 0111 3110 0031 ббш(Р+ Я) = 3, т.
е. сумма Р+ Д совпадает со всем трехмерным пространством; базис суммы образуют, например, векторы аы аз, Ьм Решения 36о чэ Пересечение Р й Я задается системой уравнений хе+ хз — хз = О, хе — хз — хз = О. Матрица этой системы элементарными преобразованиями строк приводится к виду 1 1 2 2 — 1100 1011 0121 411 2 611 4 — 1 0 0 -1 403 1 !! ~(Б!! = 1001 0101 0010 0000 — 1 0 — 1 0 4 0 1 3 0 0 1 — 1 1 1 — 1 1 б) Составляем и упрощаем с помощью элементарных преобразований столбцов матрицу — 1 0 — 1 0 4 0 1 3 0 0 1 — 1 0 — 1 — 1 0 0 1 4 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 — 1 1 т т — ~ — ~ 1 1 — 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 О 0 0 1 0 1 0 0 0 0 в) Видно, что число независимых столбцов матрицы А' равно 3, это первые ее три столбца.
Вместе со вторым столбцом В' они являются базисными столбцами в матрице ~!.А' ( В' '8. Поэтому векторы ае, аз, аз образуютбазисв'Р,авекторыаг, аг, пз бз — бвзисвР+ Я (т. е. сумма совпадает со всем пространством). Число независимых столбцов матрицы Бв равно 3, поэтому Йпп Я = 3, и йпп(Р й Я) = с(пп Р + сБхп Я вЂ” с1пп(Р + Д) = 2. Ранг матрицы равен 2, значит, Йш(Р П Я) = 3 — 2 = 1, что, впрочем, можно было определить и раньше по формуле 61ш(РОД) = ОипР+с1ппЯ вЂ” 61ш(Р+ Д). Базисный вектор пересечения имеет координатный столбец, удовлетворяющий условиям хе — хз = О, хз = 0; можно взять столбец (1, О, 1)т. 21.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
