1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 66
Текст из файла (страница 66)
38.3. Написать матрицу 2-формы ы в базисе е пространства 4',4, если дано ее выражение через 1-формы, составляющие базис, биортогональный е: Ц 61=Е1ЛЕ; 2) = Е ЛЕз+ЕЗЛЕ4. 3) ы = Е' Л Е' + Е' Л Е' + Е' Л Е'+ Ег Л Е' + Е' Л Е'. 38.4. Найти внешнее произведение двух 1-форм, заданных координатными строками: 1) С79, С78, 2) С96, С98,. т т. т т. 3) С174~ С166~ 4) С166> Сьгз. т т . т т 38.5. Найти внешнее произведение трех 1-форм, заданных координатными строками: т т т, м т т т. ~ т т т 1) С1г, С18, С14, '2) С99, Сьг, С81, '3) СЗЗ, С194, С118,' Т Т Т . е1 Т Т Т . ~ Т Т Т 4) С17г, сг64 сг18', 5) сг97, сг98, сг67, '6) сг66, сгы, сг67. 38.6. 2-форма задана матрицей, 1-форма задана координатной строкой.
Найти их внешнее произведение. 1) Аг64, сзт,, 2) Аг64, ст66, 3) Агзг, сзз' 4) А499, с16г, 5) А4зг сг94 38.7. Пусть и, и1, о и и — внешние формы степеней соответственно р, р, 1Е и г. Доказать, что: 1) (Ли) Ли = Л(и Ло); 2) (и+и1)Ли=иЛо+и1Ло; 3) (и Ло) Лв = и Л (и Лге); 4) и Л и = ( — 1)Рви Л и.
38.8. Доказать, что значение ц-формы на системе векторов х1,..., зе фактически зависит только от д-вектора х1 Л... Л хе. 38.9. Пусть Е1,..., ЕР— 1-формы. Найти значение р-формы Е1 Л... Л ЕР на системе векторов з1, ..., з,. 38.10. 2-форма в ь4 задана строкой ее существенных компонент ер, а векторы з и у — координатными столбцами 5, ц. Найти значение 2-формы на паре т, у: 1) ер = С 9, 5=с174~ К = С186р т 2) ер = Сг69, й = С171, 71 = С177.
38.11. Доказать, что для линейной зависимости векторов а1, ..., а необходимо и достаточно, чтобы а1 л... л а„= О. 3 38. Пооивентоори и внешние ферми 345 '6: 38.12. Пусть е1, ..., е„— базис в Е„. Доказать, что: 1) бивекторы е; Л е1 для всех пар г, у таких, что 1 < у, образуют базис в пространстве бивекторов пространства Е„. 2) р-векторы е;, Л... Л е;, для всех сочетаний индексов 11, ..., 1р (11 «...
ер) обРазУют базис в пРостРанстве Р- векторов пространства Е„. 38.13. Базису е = (е1, ез, ез, е4) пространства Е4 сопоставим базис е = (е1 Л ег~ е1 Л ез, е1 Л е4, ез Л ез, ез Л е4, ез Л е4) соответствующего пространства бивекторов, а базису е' — аналогично построенный базис е'. Найти матрицу перехода от е к е', если матрица перехода от е к е' есть Я. 38.14. Внешнее произведение и""'"-' векторов х1, ...
..., х„1 из Е„имеет 71 существенных компонент. Доказать, что при замене базиса в Е„с матрицей перехода Я строка а = = (а1, ..., а") из существенных компонент а' = и1 "" 1 ьь1 -'" преобразуется по формуле а' = аЯ(беФ Я) 38.15. Используя результат задачи 38.8, доказать, что линейное пространство р-форм может быть отождествлено с сопряженным к линейному пространству р-векторов. 38.16. Доказать, что в Ез каждый бивектор разложим. 38.17.
Доказать, что для разложимости бивектора й1 в Е4 необходимо и достаточно выполнение равенства и1?из4— 13 24 4 14 23 0 38.18. Пусть а1, аз, аз и а4 — линейно независимые векторы. Разложимы ли бивекторы: 1) а1 Л аз + аз Л а4; 2) аз л аз + а1 Л а4 + а1 Л аз; 3) а1 Лаз+ аз Л а4+ аЗ Л аз+ а1 Л а4? 38.19. Разложим ли бивектор в Е4, задаваемый в некото:~й 'м базисе столбцом существенных компонент а: 1) а = С279, '2) а = С269', 3) е = Сз?8, '4) а = С281? й 38.20.
Доказать, что надпространство, порождаемое рвектором, имеет размерность г < р, причем равенство достигается для разложимых р-векторов и только для них. 38.21. 1) Пусть разложимый бивектор в базисе е1, ..., е„ имеет компоненты иб. Доказать, что векторы 11 = и11е лежат в пространстве, порождаемом этим бивектором.
2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для разложимых р-векторов. Гл. Ц. Тенеоры 38.22. Может ли размерность подпространства, порожда- емого бивектором в пространстве С4, равняться 1? 3? 38.23. В некотором базисе пространства С4 бивектор и определен столбцом существенных компонент а. Найти линей- ное подпространство, порождаемое этим бивектором: 1) а= сзгд' 2) а= сзео, 3) а= со76; 4) а = сзао 38.24. Доказать, что разложимый р-вектор, определяю- щий подпространство Ср, может быть найден по этому под- пространству с точностью до числового множителя.
38.25. Подпространство С2 в пространстве С4 задано си- стемой линейных уравнений с матрицей А. Найти компоненты бивектора, определяющего Сз.. 1) А = Аоод; 2) А = Аооз; 3) А = Аьое. 38.26. Подпространства С1 и Сз в пространстве Се поро- ждены соответственно вектором х и бивектором и. Вектор за- дан координатным столбцом Е., а бивектор — столбцом суще- ственных компонент а. Проверить, что С1 С Сг, и найти такой вектор у, что и = х д у: 1) Е, = ( — 2, 6, 1 1)т а = (10, 1, 3, 2, — 4, — 1)т; 2) Е, = (1, 2, О, 1), а = (2, 1, 3, 2, 4, -1)т. 38.27. Подпространства С1 и,С2 в пространстве Се поро- ждены соответственно вектором х и бивектором и. Вектор за- дан координатным столбцом с, а бивектор — столбцом суще- ственных компонент а. Проверить, что .С| й Сз = (о), и найти З-вектор, порождающий С =,С1 9 Сз.
Найти уравнение подпро- странства С: 1) с (2 2 1 1)т а=(2,1,3,2,4,-1)т; 2) с=(1,0,1,1)т, а=(9,5,1,4, — 1, — 1)т. 38.28. Пусть 1-формы Г1, ..., Гь линейно независимы и для 1-форм д, ..., д" выполнено равенство Г~ Л д~ + ... ь ...+ 7'"Дд~ = О. Доказать, чтод'= 2; а"Р для всех?=1,..., й, 1=1 причем а'7 = а~' (лемма картава). 38.29. 1-формы 71, Р и д1 заданы координатными строка- ми <р1, уз, Ег. Существует ли такая 1-форма д2, что 11 Л д'+ + Р Лд~ = О? Найти все такие формы, если они существуют: 1) ер = с172) (Р = с173~ Е, = с166~ т з т 1 т .
т 2 т ~ т 2) ер = с167, ер = сг66, Е, = с166', Е 38. Подивеитпоры и внпиние формм 347 т г т 1 т 3) ср = с1ве 'Р = сггв 1 = сггг' 4) ф = С171~ ЯЭ = С1ав, е. = С122. 1 Т 2 'Г 1 Т 38.30. Доказать, что для каждой 2-формы и1 существует базис Е1,..., Е" в пространстве 1-форм такой, что форма ы имеет канонический вид ю = Е1Л Ег + Езд Е4 +... + Егт 1д Ег" (2р < и).
38.31. 2-форма задана своей матрицей в некотором базисе. Привести ее к каноническому виду, описанному в задаче 38.30: 1) Агы', 2) Аезг', 3) Аего, '4) Аега. РЕШЕНИЯ 1.46. Введем на плоскости базис АР = а, АВ = Ь. Имеем: РК =~М+СК = Ь вЂ” -а, ВР = В7~+СТ= а — -Ь, РМ = ЛРК, ВМ = 1дВХ. Найдем неизвестные Л и р. Так как АМ = АР+ РМ = а+ Л (Ь вЂ” -а) = ~1 — -Л) а+ ЛЬ, 5) ~, 5) АМ = АВ 4 ВМ = Ь+ р ~а — — Ь) = ра 4 ~1 — -дд) Ь, 8) дд 8) 3 то, приравнивая коэффициенты при а и Ь, имеем 1 — -Л = р, Л ж 5 3 16 = 1 — -р, откуда Л = —, р = —. Окончательно, 8 5' 25 !РМ!: !МК! = 3; 2, !ВМ!: !МР! = 16: 9.
2.19. Параллелограмм строится на векторах а = 2ед + 2ег, Ь = = — ед + 4ег. Длины диагоналей параллелограмма — это длины векторов а+ Ъ и а — Ъ. Имеем: а + Ъ = ед + бег, а — Ъ = Зед — 2ег; (а+ Ь! = !ед!г + 36!ег|г + 12 (ед, ег), !а — Ь|г = 9!ед!г + 4~е~)~— — 12(ед, ег). Поэтому !а+ Ь|г = 50, так как (ед, ег) = 1; !а — Ь! = 10. Итак, длины диагоналей параллелограмма равны бдд'2 и д/ГО. Один из углов параллелограмма — это угол р меясду вектора- миаиЬ; сову= ' .Имеем(а,Ь) = — 2(ед! +8!ег! +6(ед,ег) = (а, Ъ) г г (а! 1Ь! = 10, !а!г = 4!ед!г + 4!ег!г + 8 (ед, ег) = 20, !Ь!г = !ед!г + 16!ег!г— — 8 (ед, ег) = 10; сов ддд = 1/д/2.
Итак, острый угол параллелограмма равен 45'. 2.24. По определению Ь = х+ у, где вектор х коллинеарен вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. Иначе говоря, Ь = Ла+ у, где (а, у) = О. Умножая обе части векторного равенства скалярно на а, имеем (а, Ъ) = Л!а(г + (а, у) = Л!а!г, (а, Ь) (а, Ъ) откуда Л = — '. Итак, х = — 'а. !а!г — !а(г 2.34. Пусть вектор с имеет координаты х, у, г. Из условия ортогональности векторам а и Ь имеем: х — у+ г = О, 5х+ у + г = О.
Выражая из первого уравнения г = у — х и подставляя во второе, име- Регпенил 349 ем: 2р+ 4х = О, откуда р = — 2х, г = — Зх. Условию ортогональиости векторам а и Ь удовлетворяет бесконечно много векторов с с координатами (х, — 2х, — Зх). Из условия )с] = 1 имеем ]х] = 1/~/Г4, откуда х = х1/~/Г4. Задача имеет два решения: (1/Л4, — 2/э/Г4, — 3/~/Г4) и (-1/~/Г4, 2/,/Г4, 3/,/Г4).
3.9. Площадь параллелограмма равна Я = ][ВА, ВС]] (если плоскость рассматривать в пространстве). Имеем ВА = Зег, ВС = = — 2ег + 2ег, ][ем ег)] = 3, [ВА, Вс'] = 6 [ег, ег — ег] = 6 [ег, ег) + + 6 [еы ег) = б [е„ег). Искомая площадь равна Я = 6][ем ег]] = 18. 3.29, 1) Если векторы аы аг, аг компланврны, то, например, аг = Лад + раг. Так как (Ьг, аг) = (Ьг, аг) = О, то и (Ьг, аг) = О, что противоречит равенству (Ьг, аг) = 1. Пусть теперь векторы ам аг, аг некомплвнврны. Докажем, что в этом случае взаимная тройка существует. Так как (Ьг, аг) = (Ъг, аг) = О, то Ьг = Л[аы аг].
Скаляр Л находим из условия (Ьг, аг) = 1. Имеем Л([аы аг], аз) = 1, откуда Л = 1/(ам аг, аг), а Ьз = [ам аг]/(ам аг аз) Аналогично находим Ъ| —— [аг аг]/(а„аг, аз) Ьг = [аг, а,]/(а„аг, аз) 2) Формулы описаны выше. 3) По формуле задачи 3.26, 4), (Ъ|, Ьг, Ьг) = 1/(ам аг, аг).
Поэтому знаки чисел (аы аг, аг) и (Ьы Ьг, Ьг) совпадают. Значит векторы Ьы Ьг, Ьг образуют базис той же ориентации, что и ам аг, аг. — 2 — 2 г— 4.11. Имеем: ЕР = -ВР = — [АР— АВ/, ЕС = ЕР+РС = 3 3 2 — 1— = -АР+ -АВ. Поэтому базисные векторы второй системы коор- 3 3 дииат выражаются через базисные векторы первой системы твк: 1 2, 2 2 е', = -ег + -ег, ег = — -ег + -ег. Далее, АЕ = АВ+ ВЕ = АВ + 3 3 ' 3 3 1 г + — ~АР— АВ); поэтому начало второй системы координат имеет 3~ /2 1Л в первой системе координаты \ †, -~. Теперь остается записать: ~3' 31 1, 2, 2 2, 2 1 х = -х' — -р'+ —, р = -х' + -р' + —.
3 3 3' 3 3 3 5.20. Если бы три точки А, В, С лежали по одну сторону от искомой прямой, то они принадлежали бы одной прямой, параллельной искомой. Но точки А, В, С не лежат на одной прямой; значит, две из них лежат по одну сторону от искомой прямой, третья — по другую. Если А и В лежат по одну сторону от прямой, С вЂ” по другую, то искомая прямая проходит через точки Е (2, 3) и М ( — 1, 2) — середих — 2 р — 3 ны отрезков ВС и АС соответственно; ее уравнение — 1 — 2 2 — 3' т.е. х — Зр+7 = О. Решения 350 )А+ 2В+ 2С) 2 9 А .~ВУь,.С П' )7А+ 4В+ 4С! 4 ВУА9 АВ9 9 А СЛ Л49 Разделим (1) на (2): 2(А + 2В + 2С! = (7А + 4В + 4С).
(2) (3) Аналогично разбираются два других случал расположения точек А, В, С относительно прямой. Задача имеет три решения: х — Зу + 7 = О, Зх+ 4у — 18 = О, 2х + + 7у — 12 = О. 5.34. Проведем через точку А(1, 2) прямую, перпендикулярную прямой Зх — у+9 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
