1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Выписать матрицы транспонированных тензоров Ь и с, если Ь; н = аь и; с;,и = ащ;. в Зб. Алгебраические операции с тпензорами 339 36.34. Пусть а, 5 — тензоры типа (1, 1). Выразить тензор с = 5 ® а через Н = а З 5. 36.35. Не используя сокращенных обозначений, выпишите все компоненты тензоров, заданных в пространстве Ез. 1) хЩ 2) х('9"); 3) х59"); 4) хеа,ь, 5) х'а;ь, 6) хна,'.; 7) х1"а;'); 8) х('а); 13) д'ать; 14) 5'аг; 15) 5'а~в; 16) атьб'. 36.36. Тензор аб задан матрицей: 1) Аш, 2) Атт; 3) Аз4; 4) Атвт. Найти компоненты тензоров: а) а(6); б) аМ. 36.37.
Тензор а; ь задан матрицей: 1) Авве, '2) Авы, 3) Атза. Найти компоненты тензоров: а) а61)ь, б) а;~ в), в) а(гав), г) аб ь). 36.38. Тензор аьт, задан матрицей: 1) Авв4; 2) Авв4. Найти компоненты тензоров: а) аы, б) а „), в) а(„). Я) сз 61) 36.39. Тензор а; в задан матрнцей: 1) Авве', 2) Авы' 3) Атзо. Найти компоненты тензоРов: а) а5т)ь, б) а,) ь); в) а~;В)ь). 36.40. Тензор а'„т, задан матрицей: 1) Авв4, '2) Авв4.
Найти компоненты тензоров: а) а„,; б) а~ы), в) а(„тр 36.41. Тензор а,ув задан матрицей: 1) Атзв', 2) АтттНайти компоненты тензоров: а) а5 ь), б) а(, в). 36.42. Тензор типа (О, 3) задан матрицей: 1) Аттв; 2) Атзв, 3) Атзе, 4) Авве, 5) Атзз. Выяснить, является ли тензор симметричным (антисимметрич- ным), и если да, то по каким индексам.
36.43. Тензор а' задан матрицей' А: 1) Авв; 2) Азот Вычислить инварианты: а) а';; б) а1~еа~~), в) а~,ат)а~~). Сравнить найденные инварианты с коэффициентами характеристическо- го многочлена матрицы А. Гл. Ц. Тевзоры 36.44. 1) Доказать, что тензор е;,;„(см. задачу 35.21) кососимметричен по любой паре индексов. 2) Доказать, что тензор е;, „;„кососимметричен по любому подмножеству множества индексов. 3) Доказать, что тензор 5", "'." (см. задачу 35.20) кососимметричен по любой паре верхних индексов.
4) Доказать, что тензор Б".,'"'."„кососимметричен по любому подмножеству множества верхйих индексов. 5) Доказать утверждение 4) для нижних индексов. 36.45. Пусть сч и ЬΠ— компоненты соответственно симметричного и антисимметричного тензоров. Вычислить свертку сч Ь*~. 36.46. Для тензора Ь'", """, определенного в задаче 35.20, и произвольных тензоров а1' " 1" и Ь;,,;„доказать, что: 1) Ф'"" о''"' '" = а(""'! 2) 5'-'""'Ь-, = Ь й-1ь л - л, и -.ч О1- ядр 36.47. Пусть амьЯ~~" = 0 для любого вектора С'. Доказать, что а5 ц = О.
Оь); ь Ьь) 36.48. Доказать, что а: а ' = а'.а", а.а = а'.а~. 36.49. Вычислить: 36.50. 1) Пусть тензор симметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрирования по этим индексам тензора не меняет, а операция альтернирования дает нулевой тензор. 2) Пусть тензор антисимметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрирования по этим индексам дает нулевой тензор, а операция альтернирования тензора не меняет.
36.51. 1) Доказать, что для симметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество 1 а~,"ы = — (сч ь+ ам + а ти. 3 2) Доказать, что для антисимметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество 1 ау,~ = — (а; ь+ аь0+ а м). З 37. Тенворы в евквидовом пространстве 341 36.52. 1) Тензор типа (О, 3) симметричен по двум первым и симметричен по двум последним индексам. Доказать, что он симметричен также и по первому и третьему индексам.
2) Тензор типа (О, 3) антисимметричен по двум первым и антисимметрнчен по двум последним индексам. Доказать, что он антисимметричен также и по первому и третьему индексам. 3) Пусть тензор типа (О, 3) симметричен по двум первым индексам и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он нулевой.
36.53. 1) Привести пример тензора типа (О, 3), для которого ай ь) = О, но не симметричного по трем индексам. 2) Привести пример тензора типа (О, 3), для которого а16ь1 = О, но не антисимметричного по трем индексам. 3) Доказать, что для ненулевого тензора а типа (О, 3) возможно одновременное выполнение равенств аб ь) = 0 и ай ь~ = О. 36.54. Доказать, что любой тензор типа (О, 2) или (2, 0) можно разложить в сумму симметричного и антисимметричного тензоров. 36.55.
Разложить в сумму симметричного и антисимметричного тензоров тензор типа (О, 2), заданный матрицей: 1) А4о; 2) А1в; 3) А2з4. 36.56. Из символа Кронекера с помощью тензорных операпий получить тензоры: 1) БД; 2) Б",'"'" (см. задачи 35.18, 35.20). 36.57. 1) Пусть симметричный тензор а типа (О, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга г. Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов Гп..., Г„, таких, что а= ~„, 1а®~а. а=1 2) Сформулировать и доказать обратное утверждение.
3) Квадратичная функция ~о в с.2 задана матрицей Аев. Представить ее как сумму квадратов двух линейных функций. Единственно ли зто представление? $37. Тензоры в евклидовом пространстве 37.1. Векторы е1, е~2 заданы своими координатами (1, 0) и (сова, япсе) относительно некоторого ортонормированного базиса еп е2 двумерного евклидова пространства.
Выписать матрицы: а) метрического, б) контравариантного метрического, в) 342 Гл. Ц. Тензоры дискриминантного тензоров в базисах: 1) ег, ег; 2) е~, ег. 37.2. Доказать, что в произвольном базисе евклидова пространства дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: е;, „;„= О, если среди значений индексов есть равные, и е;, з„= ( — 1)~<""'"1~т~/бее Г, если индексы попарно различны. Здесь à — матрица метрического тензора, Ф(е~ ...
4„) — число нарушений порядка в перестановке (е~, ..., 4„); о = 1 для правых базисов, ее = — 1 для левых базисов. ЗТ.З. Доказать, что во всех правых ортонормированных базисах дискрнминантный тензор имеет следующие компоненты: е;,,;„= О, если среди индексов есть равные, и е;, = ( — 1)а~~""'"1, если е~... 4„попарно различны.
Здесь И(е~ .. л„) — число нарушений порядка в перестановке (е~, ..., 4„). 37.4. Какой тензор получается, если у метрического тензора поднять один индекс? Оба индекса? 37.5, Какой тензор получается, если у символа Кронекера опустить индекс? Поднять индекс? 37.6. Привести примеры свертывания с метрическим тензором, встречавшиеся в курсе линейной алгебры. 37.7. 1) Тензор а* определяет линейное преобразование в евклндовом пространстве Е„. Найти тензор, определяющий сопряженное преобразование.
2) Сформулировать условие, при котором тензор а' определяет самосопряженное преобразование. 37.8. Метрический тензор и тензор а; заданы соответственно матрицами: 1) Ам, Аз; 2) Аш, Ать; 3) Агев, Ашо. Найти матрицы тензоров; а) а'; б) а,'.~; в) а0. 37.9. Верно ли утверждение: если матрица тензора а; симметрична, то симметричны и матрицы тензоров: 1) а,~; 2) аб? 37.10.
Метрический тензор и тензор а' заданы соответственно матрицами: 1) Аи, .44о; 2) Агат, .4гзг. Найти матрицы тензоров: а) а,-; б) а,'~. 37.11. Метрический тензор и тензор а'ь заданы соответственно матрицами: 1' З8. Поливеитвры и внешние формы 343 1) Азь, Авзо' 2) Азз, Авы; 3) А2от Агз2. Найти матрицу тензора: а) а; ь; б) а*~„; в) а"ь; г) ао". 37.12. Метрический тензор и тензор аь' заданы соответственно матрицами: 1) Аьг, Аб97 2) А19, Авэ4.
Найти матрицы тензоров: а) а; ы, б) ач"'. 37.13. Упростить выражения: 1) (або" +6,'а~.д'ь)дь,, 2) 6'бьдма~", 3) а; ду"дыд". 37.14. Известно, что а'~ = дпф а~ ь. Вырази~ь а~ ь через а'~. 37.15 (р). Пусть у — линейное преобразование евклидова пространства, у' — сопряженное преобразование. У тензора, соответствующего произведению преобразований вид', опускают индекс.
Показать, что полученный тензор имеет тип (О, 2) и симметричен. 37.16. В двумерном евклидовом пространстве Ез вектору г~ сопоставляется вектор доз ь(~. Доказать, что этим определено линейное преобразование пространства Ез, и выяснить его геометрический смысл.
37.17. В трехмерном евклидовом п1оостранстве паре векторов е*, п~ сопоставляется вектор ~~ = д 'еи ~*ту'. Доказать, что вектор ~ есть векторное произведение векторов С' и г~. 37.18. В четырехмерном евклидовом пространстве векторам х, у, е с компонентами е, О~, ~~ сопоставляется линейная функция 1 с коэффициентами х~ = е; ы~Щ". Доказать, что Е(х) = Е(у) = Е(з) = о.
37.19. В четырехмерном евклидовом пространстве векторам х, у, е с компонентами С', О', ~ сопоставляется вектор и с компонентами д™еп ь~'т~ ~". 1) Доказать, что вектор и ортогонален векторам х, у, е. 2) Доказать, что вектор и, соответствующий тройке х, у, з, отличается множителем — 1 от вектора и, соответствующего тройке у, х, е. $ 38. Поливекторы и внешние формы 38.1.
Функция Гв от двух векторов на трехмерном векторном пространстве сопоставляет любым векторам х и у смешанное произведение (а, х, у). Доказать, что 1, — 2-форма. 344 Гл. Ц. Тензоры Выразить ее матрицу в ортонормированиом базисе через координаты вектора а. 38.2. Найти связь между векторным произведением двух векторов и их внешним произведением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
