1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 63
Текст из файла (страница 63)
В каких случаях этим определен инвариант? 35.4. Пусть Ь вЂ” билинейная функция, В = 6 Ьсз ~~ — ее матрица в произвольном базисе пространства С„. Сопоставим этому базису число: 1) С(Е1В; 2) ЬЫ+...+Ьии, 3) Ь11; 4) с(е1ВТВ; 5) К8В; 6) вгйпсгесВ. Как изменяется каждая нз этих величин при замене базиса? В каких случаях она определяет инвариант? 35.5. Пусть | — линейная функция на линейном пространстве,С„и (а1, ..., а„) — строка ее коэффициентов в произвольном базисе. Сопоставим этому базису: 1) число а1+... + а; г оо. Определение тензоро. Тензорные обозначения 329 2) упорядоченный набор чисел а1, ..., а„.
Как изменяются данные величины при замене базиса? Какие из них являются тензорами? Инвариантами? 35.6. 1) Какого типа тензор в Е„определяет билинейная функция? Как найти компоненты этого тензора? 2) Какого типа тензор в Е„определяет квадратичная функция? Как найти компоненты этого тензора? 35.7. Линейные функции Г, 8 имеют в базисе е пространства Е„коэффициенты а1, ..., ап и 51,..., б„соответственно. ! 1оказать, что функции: 1) г'г; 2) 18 определяют тензоры в Е, указать их типы и выписать для каждого компоненты в базисе е. 35.8. Линейные функции 1, я имеют в базисе е прострэиСтВа А". КОЭффИцИЕНтЫ а1, ..., а„и 51, ..., бп СООтВЕтСтВЕННО. Сопоставим каждой паре векторов х, у из .Сп число: 1) Г(х)я(у); 2) Е(х)Г(у).
Показать, что каждая из полученных функций определяет тен:юр в Е„, указать его тип и выписать компоненты в базисе е. 35.9. Каждой паре векторов х, у линейного пространства Е„(п > 3) сопоставлено число Г (х, у), определяемое через компоненты С~, ..., С" и 11~, ..., и" этих векторов, заданные в базисе е, одной из следующих формул: 1) 1(х, у) = ~1цг; 2) Г(х, у) = ~~'11', 1 Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е. 35.10.
Функция 1: е„— 1 к (и > 2) определяется через компоненты с1, ..., с" вектора х, заданные в базисе е, одной из формул: 1) ~ (х) = ~1 + ~г 2) 1'(х) = ф)г + 2~1(', 3) г"(х) = (с1 + ... + с")г; 4) 1 (х) = ~ (с')г. 1 Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е. 35.11. Пусть Е„' — пространство всех линейных функций, определенных на линейном пространстве Е„, а йн я.„' -+ й— линейная функция на Е„'. Показать, что ~р определяет тензор типа (1, О) на Е„.
330 Гл. Ц. Уевзорм 35.12. Даны тензоры а;, а', С', и', 6;. Величины с, д, д, определены в каждом базисе формулами: 1) с = сч ~'~р', 2) Н = а; Я~; 3) д = а'Ь;~1; 4) Ь = 6;г'. Опираясь на закон преобразования компонент данных тензс ров, показать непосредственно, что эти величины являются ив вариантами. 35.13. Даны тензоры а', с., 6;. Величины с', 4 определе ны в каждом базисе формулами с' = а'~1 и и', = а~6; соответ ственно. Опираясь на закон преобразования компонент данны~ тензоров, показать, что с' есть вектор, а и'; — ковектор. 35.14.
Тензор типа (1, 1) имеет в некотором базисе компоненты 1, если 1 = у; б,* = О, если 1ф у. Изменяются ли его компоненты при переходе к другому базису? Какой геометрический смысл имеет этот тензор? 35.15. Тензор типа (О, 2) имеет в некотором базисе компоненты ~1, если 1 = у; 60 = ( О, если 1 ф у.
Как изменятся его компоненты при переходе к другому базису? Какая билинейная функция соответствует этому тензору? 35.16. Тензор типа (1, 0) имеет в некотором базисе компоненты /1, если 1 = 1э,. ( О, если г Ф 1е (гэ — фиксированное целое число, 1 < ?э < и). Найти компоненты данного тензора в базисе е' = еЯ. 35.17. Тензор типа (О, 1) имеет в некотором базисе компоненты 1, если 1 = ге' 0;= О, если 1 ~ 1о (1е — фиксированное целое число, 1 < го < и).
Найти компонен- ты этого тензора в базисе е' = еЯ. з Ж Определение тпензора. Тензорнме обозначения 331 35.18. Каждому базису пространства .С„(п > 2) сопоставлены числа 1, еслибы=йфу=1; -1, если з = 1 ф з =?е; 0 в остальных случаях. б'„~ —— Ц Будет ли такое соответствие тензором? Сколько нулевых компонент у этого тензора при и = 3? 35.19. Тензор 0 типа (О, 2) имеет в некотором базисе е линейного пространства Е„(п > 2) компоненты 0м = б'„'~м (дс, ?о — фиксированные целые числа, 1 < го < и, 1 < зо < и, символ Яз' определен в задаче 35.18). 1) Выписать явно все компоненты тензора 0 в базисе е при и = 3.
2) Найти компоненты тензора 0 в базисе е' = еЯ. 35.20. Каждому базису пространства е".„(и > й > 1) сопоставлены числа; 1, если (дм ..., 1ь) — четная перестановка попарно различных чисел 10, ?ь; — 1, если (10 ..., 1ь) — нечетная перестановка попарно различных чисел и, ..., ?ь; 0 в остальных случаях. ф1- «й з1 -Й Будет ли такое соответствие тензором? 35.21.
1) Тензор типа (О, п) имеет в некотором базисе компоненты ( — 1)Л'(О - '4, если все числа гм ..., гь различны; ей ...1„= О 1 в остальных случаях (1з (ц ... 1„) — число нарушений порядка в перестановке (1г,..., 1„)). Вычислить компоненты данного тснзора в базисе е' = еЯ. 2) Каждому базису пространства .С„сопоставлены числа е;,;„.
Будет ли это соответствие тснзором типа (О, и)? 35.22. В четырехмерном пространстве дан трехвалснтный тензор. Сколько компонент он имеет? Сколько слагаемых входит в выражение новой компоненты через старую при записи закона преобразования компонент? Сколько сомножителей будет в каждом слагаемом? Гл. Ц. Тензори 35.23. В пространстве Ез дан тензор типа: 1) (1, 1); 2) (2, 0); 3) (1, 2).
В развернутой форме, не используя сокращенных обозначени1 суммирования, написать закон преобразования его компонент 35.24. В двумерном пространстве задан тензор типа (р, о) Упорядочим его компоненты так, чтобы они составили стол бец а высоты 2г+~.
Записать закон преобразования компоненз тензора в виде а' = р'а, где Ъ" — квадратная матрица порядке 2г+ч и; 1)р=1, д=1; 2)р=2, д=О; 3) р=1, й=2, 35.25. Записать в матричной форме закон преобразования компонент тензоров типа: 1) (О, 2); 2) (1, 1); 3) (2, 0). 35.26. Компоненты двухвалентного тензора типа (р, д) образуют в произвольном базисе е линейного пространства Е„ матрицу А,. Сопоставим базису е матрицу А, ~.
Доказать, что это соответствие определяет тензор, и указать его тип, если: Цр=О, д=2; 2) р = 1, о = 1 (обьяснить геометрический смысл полученного тензора); 3) р=2, о=О. 35.27. Тензоры каких типов имеют двумерные матрицы компонент? Трехмерные? Четырехмерные? х-мерные матрицы компонент? 35.28. Трехмерная матрица ))а; Д второго порядка имеет сечение х = 1, состоящее из единиц, а сечение?с = 2 — из нулей.
Выписать еч ь для всевозможных значений индексов. 35.29. Трехмерная матрица ))а; ь)! третьего порядка имеет сечения к = 1 и й = 2, состоящие из единиц, а сечение к = 3— из нулей. Выписать двумерные сечения данной матрицы, соответствующие 1 = 1, г = 2, г = 3. 35.30. 1) Сколько различных двумерных сечений имеет трехмерная матрица третьего порядка? Какой порядок имеет каждое сечение? 2) Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица второго порядка? 3) Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица третьего порядка? э" Ж Определение тензора. Тензорные ооозначениз 333 35.31. Числа бЦ образуют четырехмерную матрицу второго порядка.
1) Выписать все ее двумерные сечения, соответствующие фиксированным нижним индексам. 2) Найти связь между сечениями матрицы ~~д~зД и матрицсй 3дм)! (символы б',зп Ом определены в задачах 35.18, 35.19 соответственно). 35.32. 1) Даны базис е и (р+ д)-мерная матрица А. Докатть, что существует тензор типа (р, д), имеющий в базисе е матрипу А. 2) Доказать, что существует тензор любого наперед заданного типа. 35.33. Пусть 1 — вещественная функция от трех аргументов х е С„, д е .С„, з б С„, линейная по каждому из этих аргументов при фиксированных остальных. 1) Выразить значение данной функции через компоненты векторов х, у, з. 2) Показать, что совокупность коэффициентов полученной формы представляет собой тензор типа (О, 3). 3) Выразить компоненты этого тснзора через значения 1 яа базисных векторах.
35.34. Линейные функции 1, 3, Ь на Сэ имеют в базисе е коэффициенты а1,аэ,аз; А, Вэ, Рз''уы э, ~з соответственно. Сопоставим тройке векторов з, у, з из Сз число; 1) 1(х)я(у)Ь(з); 2) Г(х)Е(у)1(з); 3) Г (з)Г (у)Г (з) + 3 (х) 3 (у)я (з) + Ь (х)Ь (у)Ь (з). Показать, что каждая из построенных функций определяет тензор в,Сз, указать его тип и выписать матрицу в базисе е. 35.35. Каждой тройке векторов пространства Сэ сопоставлено число Г (з, д, з), определяемое через компоненты этих векторов в некотором базисе — г~, г~, гз; т~э, г1э, г13; С1, Сэ, Сз— одной из следующих формул: ~уСз+ ~з„эСп з 2) Е(з, у, з) = 2 ~'тр'С'.
1=1 Указать тип соответствующего теизора и выписать его матрицу. 35.36. Пусть  — линейное пространство билинейных функций на .С„, а <р: С„-э  — линейное отображение. Показать, что у определяет тензор типа (О, 3) в пространстве С„. 334 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
