1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 58
Текст из файла (страница 58)
32.37. Доказать, что если среди линейных комбинаций двух квадратичных функций имеется положительно опреде- ленная, то эти две функции одловременно приводятся к диа- гональной форме. Показать на примере, что это условие не является необходимым. 32.38. В некотором базисе е и-мерного линейного про- странства квадратичные функции 1 и 8 имеют соответственно матрицы Г и С. Пусть в базисе е', заданном матрицей перехода Я от базиса е, функция 8 имеет каноническую форму 2 Я,а ,г н з=1 функция à — диагональную форму 2, ЛзС~ .
Доказать, что: /г з=1 1) йес(à — ЛС) = (бес Я)г(Л1 — Л) ... (˄— Л); 2) векторы базиса е' находятся из системы уравнений (Р— — ЛС) С = о для каждого корня Л уравнения с1ес (г' — ЛС) = О. 32.39. Не находя замены координат, приводящей положи- тельно определенную квадратичную форму 8 к каноническому з 38. Билинейные и квадратичные функции 305 виду, а квадратичную форму 1 к диагональному виду, найти этот диагональный вид формы Г.
1) 1 = хгд + 2хдхг + хгг, 8 = 10хгд + бхдхг + хгг, , 2) Г = 89хдг — 42хдхг + 5хгг, 8 = 41хгд — 18хдхг + 2хгг, ,.42„3) Г = 7хдхг + 31хгг, 8 = хгд + 2хдхг+ 2хгг', 1 1 2 еедт4) Г= 8хд г— 5хдхг+ -хгг, 8 = хд г— хдхг+ — хгг. -адде 2 2 Билинейные и квадратичные функции ,; в комплексном пространстве (32.40 — 32.47) 32.40. Показать, что: 1) если Ь(х, у) — билинейная функция в н-мерном комплексном арифметическом пространстве, то функция Ь(х, у) = = Ь (х, у) является эрмитовой билинейной; 2) если Ъ(х, у) — эрмитова билинейная функция в пространстве С„, то Ь (х, у) = Ь (х, у) — билинейная функция. 32.41. Привести следующие квадратичные формы к кано- ническому виду: 1) 4х~~ — 12дхдхг — 9хгг, 9Д 2) 9хд+ 24(2+1)хдхг+1бхгг, 3) хдхг, 4) Е2Х2 ЕХ Хг + Хгг Е Егеиг.
2Дд 5) (1 + д) хгд + (2 + 22) хдхз + дхг + Зхз, вд 6) хгд+ (2 — 22)хдхг+ 2хдхз+ 24хг+ (2+ 22)хгхз+ (1+ 2)х$ йае 7) — хдг — 4дхдхг — (2 — 22) хдхз + 4хгг — (4+ 42) хгхз + 2дхзг. 32.42. Составить матрицы данных эрмитовых билинейных фарм в дд-мерном пространстве: М 1) -дхду, (дд = 1); 2) -дхддд (дд = 2); 3) Зхдуд + 4дхдуг — 5хгуд + дхгуг (ед = 2); 4) — ЗдхдУд + 2хддг+ 2хгдд + (1 — д) хгУ2 (п = 2); 5) (1+ д) хддг + (1+ д) хгуд — 5хгуг (и = 2); б) (1+ д) хддг+ (1 — д) хгуд — 5хгуг (и = 2); 7) хдуд — Зхгуг+ (2+ 1) хздз — 4хдуг+ (4+ д)хзуд (н = 3); 8) 2хдуд — бхгуг + (1 + Зд(2) хзуз + Зхдуг + Зхгуд + (2— — 52) хддз+ (2+ 52) хзуд + 4дхгуз — 4дхзуг (и = 3); и 9) 2 х,у;.
д=д 32.43. Какие из эрмитовых билинейных форм в задаче 32.42 симметричны? Записать соответствующие им эрмитовы квадратичные формы. 366 Гл. И. Функции на линейном нростпранстве 32.44. Записать эрмитову квадратичную форму, имеющую данную матрицу: 1) А4т, 2) Атг (при е = е~~нз); 3) Агзе, 4) Алэд. 32.45. Эрмитова квадратичная форма записана в ортонормированном базисе тд-мерного унитарного пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная эрмитова квадратичная форма имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид: 1) 2~хд(г+тхдхг — тхгхд+ 2~хг~г (и= 2); 2) ~хд~~+ (3 — 44) хдхг+ (3+ 4т) хгхд + !хг~~ (тд = 2); 3) ~хд!~+ехдхг+ехгхд+ !хг)~ (е = ег 'т~) (н = 2); 4) 3 ~хд ~~ + 3 /хг~~ — 5 ~хз/~ — зхдхг + тхгхд (и = 3); 5) ~хд~~+~хг~~+~хз~~+хдхг+хгхд+тхдхз — тхзхд+4хгхз— — тхзхг (и = 3); 6) 121хд/ — (1+ д) хдхг — (1 — 4) хгхд + 2хдхз+ 2хзхд + (3+ + Зт) хдх4 + (3 — Зт) х4хд + 12 ~хг~ + (1 — 4) хгхз + (1 + т)хзхг— — 2хгхл — 2х4хг + 8 !хз!~ — (1 + т) хзх4 — (1 — т) х4хз + 8 ~хл/~ (тд = 4).
32.46. Восстановить симметричную эрмитову билинейную функцию 1д (х, д) по эрмитовой квадратичной функции 1с (х) = = 1д(х, х). 32.47. Доказать, что в линейном пространстве комплекснык матриц порядка и функция 1д(Х) = Фг (Х . Хг) является положительно определенной эрмитовой квадратичной функцией. Глава 13 АФФИННЫЕ И ТОЯЕЯНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА й 33.
Аффинные пространства В этом параграфе используются следующие основные понятия: вещественное п-мерное аффинное пространство и его пространство векторов, декартова система координат, декартовы координаты и координатный столбец точки, незаеисимал система точек, плоскость в аффинном пространстве, прямая линия, гипгрпяоскость, направляющее надпространство плоскости, проекции точки и вектора на плоскость параллельно другой плоскости, отрезок, выпуклое множество, выпуклвл оболочка множества, симплекс, треугольник, тетраздр, грани и ребра симплекса, параллелепипед, параллелограмм, граница, грани, ребра, вершины, диагонали параллелепипеда.
Единственную точку В аффинного пространства такую, что АВ = х, обозначаем Р (А, х). Система точек Ао, Аг,..., Аг аффинного пространства называется независимой й1нли системой в общем положении), если система векторов АоАЬ АоАг, ..., АоАь является линейно независимой. Рассмотрим плоскость т в аффинном пространстве А. Пусть Ао — фиксированная точка, прингиглежащая плоскости, Ьм..., Ьг — базис направляющего надпространства плоскости, а О— фиксированная точка аффинного пространства.
Радиус-вектором точки А относительно точки О называется вектор ОА. Точка А с радиус-вектором х принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда х=хе+~гЬг+. +гебы Параметры 1ы ..., 1г принимают произвольные значения и однозначно определяются точкой А.
Если ввести декартову систему координат с началом в точке О, то все векторы в уравнении (1) могут быть заменены их координатными столбцами в этой системе координат О, е: х = хо + 11Ь1 +... + 1гЬь. Наконец, записывая уравнение (1) покоординатно в базисе е, мы получим параметрические уравнения плоскости гп в системе коорди- натО,е: хг =хго+11Ьч+ +1ьЬгы 1=1, ", Ь 308 Гл. 13. А4финнме и точечные ееклидоем пространстеа Пусть ш и ш' — две плоскости в аффинном пространстве А с пространством векторов ь', а М н М' — направляющие надпространства этих плоскостей. Если М с М' или М' с М, то плоскости ш и ш' называются нара ельными.
Если ш и ш' не имеют общих точек и не параллельны, то эти плоскости называются скрещивающимися. Различают два случая: если прн этом М П М' = (о),то плоскости называются абсолютно скрещивающимися; если же ш и ш' скрещиваются, а пересечение М й М' содержит ненулевой вектор, но не совпадает ни с одним нз надпространств М и М', то плоскости называются скрещивающимися параллельно надпространству М |1М'. Если прямая сумма направляющих надпространств М и М' плоскостей га и ш' совпадает с пространством векторов ь', то плоскости гп и ш' имеют единственную обп|ую точку. В этом случае определено понятие проекции точки А б А на одну из этих плоскостей параллельно другой,а именно:проекцией точки А на плоскость ш| параллельно плоскости ш (или параллельно М) называется точка пересечения плоскости ш' с плоскостью, имеющей направляющее надпространство М и содержащей точку А.
Отрезком АВ, соединяющим точки А и В аффиниого пространства, называется множество всех точек вида Р(А, 1АВ), 1 ь (О, Ц. Хотя в аффинном пространстве расстояние между точками не определено, тем не менее можно ввести понятие деления отрезка в заданном отношении. Если р и у — некоторые числа, р+ д ф О, то говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении р: у, если уАС = рСВ.
Если отношение р: у отрицательно, то точка С лежит вне отрезка АВ. Серединой отрезка называется точка, делящая этот отрезок в отношении 1: 1. Множество Я точек аффинного пространства называется выпуклым, если для любых двух точек нз Я весь отрезок, их соединяющий, целиком содержится в Я. Выпуклой оболочкой некоторого множества М аффинного пространства называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих М. Выпуклая оболочка независимой системы точек Ао, Аг, ..., Аь называется й-мерним симплексом с вершинами Ае, Ам..., Аь. Нульмерным симплексом является точка, одномерным — отрезок; двумерный симплекс с вершинами Ае, Аг, Аг называется треугольником, трехмерный симплекс с вершинамн Ае, Ам Аг, Аэ называется тетраэдром.
Всякий р-мерный симплекс, вершинами которого являются некоторые точки Во, Вг, ..., Вр из множества вершин данного Й-мерного симплекса, называется р-мерной гранью данного |с-мерного симплекса (О < й < р). Одномерные грани симплекса называются ребрами. Пусть заданы точка Ао аффинного пространства А с пространством векторов ь и система ~м..., 1ь линейно независимых векторов .С. Множество всех точек вида у Яг. Аффинныг просгаранстпеа Р(Ае, Ф1У1+ +1г~ь), 0 < 11 < 1, г =1,, Й (2) называется я-мерньим параллелепипедом П (Аа, гм ..., гг) с вершиной Ае, построенным на векторах ~ы..., Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
