1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Сопряженное преобразование (30.1 — 30.12) 30.1. Пусть аы ..., аь — базис в подпространстве Е с 14. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе е пространства 14 составляют матрипу А. Написать в базисе е: 1) матрицу Р ортогонального проектирования на подпространство С, 2) матрицу Я отражения в подпространстве Е. 30.2, Пусть С с 14 линейная оболочка векторов а~ и аэ. В ортонормированном базисе е пространства 14 даны координатные столбцы этих векторов. Написать в базисе е матрипу Р ортогонального проектирования на подпространство Е и матрицу Я отражения в подпространстве Е: 1) )(1 1 1+е)~, ~)е 1 1 — 1'Ог; 2) ~~~1 1 13г, (~21 О 3)(; 3) (~е 1 1 г~(г, ~(2г О 3 г)~ .
30.3. Дан вектор а,и подпространство Е С 14 задано уравнением (а,х) = О. Найти образвектора х при отражении в Е,и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора а в ортонормированном базисе. 30.4. В ортонормнрованном базисе дан координатный столбец а вектора а. Пусть у — отражение в подпространстве Е С М, заданном уравнением (а, х) = О. Выразить матрицу преобразования р через а, если: 1) а=~)3 -1 2г)~г; 2) а=еда, 3) а=сгз~, 4) а=сэ~э.
30.3. Доказать, что в унитарном пространстве операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следуюгцими свойствами: 1) (Ю+гр)'=р'+Ф', 2) (рФ)'=,Ф*р', 3) ( ~в)'= —, ', 4) если <р имеет обратное, то сг' также имеет обратное, и М*) '=('р ')'. 30.6. В ортонормированном базисе дана матрица линейного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу сопряженного преобразования: 1) Аве~ 2) А~оз; 3) Аию.
280 Гл. 11. Преобразования евклидовых и унитарних пространств 30.7. Пусть А — матрица линейного преобразования в базисе с матрицей Грама Г. Найти матрицу сопряженного преобразования: 1) А=Аоз, Г=Азт' 2) А=Азт, Г=Азв, 3) А=Азин Г=Аззз. 30.8. 1) Пусть вектор х является собственным для преобразования 1о с собственным значением Л и собственным для ~р* с собственным значением сс. Доказать, что Л = д. 2) Доказать, что преобразование 1о*, сопряженное преобразованию <р с собственными значениями Лм ..., Л„, имеет собственные значения Лм ..., Л„.
30.0. Пусть подпространство Е инвариантно относительно преобразования у. Доказать,что Е~-инвариантно относительно сопряженного преобразования 1о*. 30.10. 1) Доказать, что множество значений линейного преобразования ~рунитарного пространства совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования <р'.
2) Доказать, что теорема Фредгольма для комплексных систем линейных уравнений верна также и в следующей формулировке: система Ах = Ь совместна тогда и только тогда, когда — т каждое решение системы линейных уравнений А у = о удовлетворяет равенству у~о = О. 30.11. 1) Доказать, что у каждого линейного преобразования унитарного пространства есть (и — 1)-мерное инвариантное подпространство.
Верно ли зто утверждение для комплексных линейных пространств? 2) Доказать, что для каждого линейного преобразования унитарного пространства найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная. 30.12. В ортонормированном базисе дана матрица А линейного преобразования у. Найти матрицу 5 перехода к ортонормированному базису, в котором у имеет треугольную мат- рицу А', и написать матрицу А' 1) А= 3) А= 1 — г О О 1 О 2 1+12 — 1 1 1 О 1 1+1 — 1 — 1 — 1+1 — 1 — 1 2) А= 1+1 1 1+1 1 — 1 1 — 1 1 Э ЭО. Линейние преобразования унитарного пространства 281 Нормальные преобразования (30.13 — 30.24) 30.13. Найти условие на матрицу преобразования уг в ортонормированном базисе, необходимое и достаточное для того, чтобы ~р было нормальным.
30.14. Для нормального преобразования <р пространства Р доказать, что; 1) Кета = Кегуг*; 2) 1пцо = 1гпсо*; 3) 14 = Кета®1тп<р. 30.15. Доказать, что преобразование <р нормально тогда и только тогда, когда каждый собственный вектор для ~р является собственным и для <р'. 30.16. Пусть Š— собственное подпространство нормального преобразования у. Доказать, что С~. инвариантно относительно уг. 30.17.
Пусть х и у — собственные векторы нормального преобразования <р, принадлежащие различным собственным значениям. Доказать, что х и у ортогональны. 30.18. Пусть у — нормальное преобразование унитарного пространства И. Доказать, что 1) Р— прямая сумма попарно ортогональных собственных подпространств пребрвзования уг. 2) В Р существует ортонормированный базис из собственных векторов уг. 30.19. Пусть у преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Доказать, что оно является нормальным. 30.20. Доказать, что произведение нормальных преобразований является нормальным, если они перестановочны. Верно ли обратное утверждение? 30.21. Доказать, что преобразование у унитарного пространства является нормальным тогда и только тогда, когда для любого инвариантного подпространства Е подпространство Е также инвариантно. 30.22.
Нормальное преобразование задано в ортонормированном базисе матрицей А. Найти матрицу Я перехода к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу А' преобразования в этом базисе: ΠΠ— 3 3 — г2г О 1)А=~!. 2((; 2) А= О О 4; 3) А= — 21 3 21 3 — 4 О О 21 3+г 282 Гл. 11. Преобролованил евклидовнх и унитарннх пространств 30.23. Пусть преобразования у и ф — нормальные, и ~рф = = о. Следует ли отсюда, что 4нр = о? 30.24. Доказать, что: 1) для любой комплексной матрицы сумма квадратов модулей всех элементов не меньше суммы квадратов модулей всех собственных значений (каждое из которых считается столько раз, какова его кратность); 2) для нормальной матрицы упомянутые в первом пункте суммы равны.
Самосопряжеииые и унитарные преобразования (30.25 — 30.44) 30.25. Пусть преобразования ~р и ф самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут н преобразования уф+ + фу и 6рф — Цнр. 30.26. Доказать, что: 1) самосопряженные преобразования можно определить как нормальные преобразования, собственные значения которых вещественны; 2) унитарные преобразования можно определить как нормальные преобразования, собственные значения которых по модулю равны 1. 30.27.
Доказать, что: 1) каждое преобразование у унитарного пространства можно представить в виде у = <р~ +ирэ, где <р~ и <рэ — само- сопряженные преобразования; 2) ~р~ и уэ персстановочны тогда и только тогда, когда р — нормальное преобразование. 30.28. Доказать,что произведение ненулевого самосопряженного преобразования на число а будет самосопряженным тогда и только тогда, когда а вещественно.
30.29. Пусть преобразование у таково, что (~р(х), х) =0 для любого вектора х е Й. Доказать, что у = о, если; 1) <р самосопряженное; 2) у удовлетворяет условию у = — у'. 30.30. Доказать, что (у(х), х) вещественно для любого вектора х Е Й тогда и только тогда, когда у — самосопряженное. 30.31. Пусть преобразования <р и 4 самосопряженные. Доказать, что (1в (х), 4 (х)) вещественно для любого вектора х е И тогда и только тогда, когда ~р и ф перестановочны.
~ 00, Линейние иреобразоеаниа унитарного пространства 283 30.32. Пусть у — неотрицательное самосопряженное преобразование и Фг~р = О. Доказать, что ~р = о. ЗО.ЗЗ. Доказать, что преобразование сг является нормальным тогда и только тогда, когда ~ср(х)~ = ~<р'(х)( для любого вектора х. 30.34. Найти условие на матрицу линейного преобразования у в базисе с матрицей Грама Г, необходимое и достаточное для того, чтобы преобразование было: 1) самосопряженным; 2) унитарным. 30.35. Доказать, что матрица А является матрицей само- сопряженного преобразования ранга 1 в ортонормированном базисе тогда и только тогда, когда найдется такой столбец а, что А =ааг.
30.36. В ортонормированном базисе дана матрица А само- сопряженного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу перехода Я к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу А' преобразования в новом базисе: 1) 7 Зс ~ 21 ~ 4 аЗ+с ~' 3) 5 ~/2(1+с) — Зс — 1 1' ~ ~ ~/3 — с 1 ~' ис2(1 — с) 2 4) Азтт.
30.37. Пусть сг — самосопряженное преобразование. Доказать, что: 1) преобразование гр = (со — сс) с(<р+ сс) определено и является унитарным; 2) ус — с имеет обратное, и ~р = с(ф+ с)(гр — с) 30.38. 1) Доказать, что линейное преобразование <р — унитарное тогда и только тогда, когда со* = со ~. 2) Доказать, что для унитарного преобразования сопряженное — также унитарное. 30.39.
Доказать, что унитарная норма матрицы А (задача 27.3) не меняется после умножения А справа или слева на унитарную матрицу У. 30.40. Пусть линейное преобразование ~р унитарного пространства сохраняет длину каждого вектора: ~уг(х)! = ~х~. Доказать, что оно унитарное.
30.41. Доказать, что линейное преобразование у унитарное, если оно: 1) переводит какой-либо ортонормированный базис в ортонормированный; 284 Гя. 11. Преобразования евхлидових и рнитарних пространств с<но — вта А 1 3+31 ~г7 4+ 31 4ю' — 6 — 21 3) А= — -41 4 — З1 — 2 — 61 6+21 — 2 — й 1 2) сохраняет попарные скалярные произведения базисных векторов некоторого базиса. 30.42. <р — нормальное преобразование, некоторая натуральная степень которого есть тождественное преобразование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
