1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 48
Текст из файла (страница 48)
252 Га. 1Р. эвклидовы и унитарнме пространства столбцы этих векторов составляют матрицу А. Вектор х б Е задан своим координатным столбцом Е,. Найти ортогональные проекции х'и хв вектора х на Е и Ед.. 26.24. В ортонормированном базисе подпространство С задано системой линейных уравнений с матрицей А (строки А линейно независимы). Вектор х задан своим координатным столбцом е,. Найти ортогональные проекции х' и хв вектора х на Е и Е~.
26.25. В пространстве Е выбран базис е с матрицей Грама Г. Подпространство Е натянуто на линейно независимые векторы ад, ..., аь, координатные столбцы которых составляют матрипу А. Вектор х е Е задан своим координатным столбцом ~. Найти ортогональные проекции х'н хв вектора х на Е и Ед. 26.26. В базисе е с матрицей Грама Г подпространство Е задано системой линейных уравнений с матрицей А дстроки А линейно независимы).
Вектор х задан своим координатным столбцом е,. Найти ортогональные проекции х' и хв вектора х на Е и Е~. 26.27. Подпространство Š— линейная оболочка векторов ад, ..., аз. В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец Е, вектора х. Найти ксюрдинатные столбцы с,' и аа ортогональных проекций вектора х соответственно на Е и Е~: 1) ад =((10 5 5('т, е,=(~3 0 0)~г; 2) ад =56 1 55, аз =04 — 1 3Ог, Е,=51 3 — 29г; 3) ад =((2 1 1 2((, й=(~5 3 7 05т; 4) ад =()3 — 2 1 1~(, аз =))1 0 -1 1(), «=)(2 — 1 3 -25г; 5) ад =92 3 0 1(~, аз =ЗО 5 — 2 — 1((, а=(~6 0 4 2~!; 6) ад ='94 3 — 3 2!), аз =((2 9 1 — 45, аз=5 — 1 3 2 — ЗОг, Е=(!2 4 -1 3(); 7) ад =33 1 — 2 -2~~, аз — — (~3 1 — 1 — 3(~, аз = ~~ 3 — 1 0 — 2 'Зг, ~ = ~~ 6 4 -2 — 4 ~~г; 8) ад =!)3 1 1 29г, аз =((4 0 2 15г, аз =)(8 0 2 35г, ~=!1- 3 Г; 9) ад = свод аз = сзоз, Е = сдов' В еб. Геометрия евклидова пространства 253 в'.10) а« =спв, а2 =си«, а= с«оз' "яп 11) а! = с236, а2 = с271~ аа с283 а с232.
''26.28. В ортонормированном базисе подпространство,С еадано системой линейных уравнений с матрицей А, а век"ор х — координатным столбцом Е,. Найти проекции х на С и да С~-: 1) А=)(1 1 1~~, ~=()1 2 З~~т; 2) А=~~ — 1 — 1 2~!' Е,=84 2 6(~г; ою3) А=~~1 1 1 1 1~), а=~~б 4 3 2 1~~г; ~не~ "4)А= й=а7 -5 9 4а ~3 2 4 — 1~~' а='ц — 2 4 2 Оц; кп 5) А=~ 10 3 1 3 а=((8 -5 3 -Ц!'. 6)А= 4 101 8 311 26.29. Для векто ров и подпространств, заданных в зада'е 26.28 найти координаты вектора у, получаемою отражением зектора х в подпространстве С.
26.30. Найти ортогональную проекцию мыогочлена 3514 + — 15ез — 15«2 — 81+ 4 на подпространство многочленов степени «е выше 2 в пространстве многочленов: 1) со стандартным скалярыым произведеыием; 2) со скалярным произведением, определеныым в задае 25.8, 3). 26.31. В пространстве многочленов со стандартнь«м ска«ярным произведением найти расстояние от многочлеыа Ф" до «инейной оболочки многочленов 1, Ф, ..., 1" «: 1) прип=2; 2) прин=3. 26.32. Пусть 1«, ..., ~ь базис подпространства С.
Дока:ать, что ортогональная проекция произвольного вектора х ча С равна сумме его проекций на одномерные подпростран:тва, натянутые на 6, ..., ~ы тогда и только тогда, когда базис >птогональный. 26.33. Пусть для любого вектора х Е Е сумма его ортогочальных проекций на подпростраысгва С«, Со с Е равна ортоональной проекции х на их сумму С«+.С2.
Доказать, что под«ростраыства .С«и .С2 ортогональны. 26.34. Рассматривается пространство фуыкций, непрерыв«ых на отрезке [ — 1, Ц, со скалярным произведением, опреде- 254 Гл. 10. Евппидовн и унптпаттнтве пттостпранстпва ленным в задаче 25.7. Ортогональную проекцию функции 1" на подпространство Рь многочленов степени не выше й, разложить по базису, состоящему нз многочленов Лежандра Р;(1) (задача 25.9). 26.35. Пусть х' — ортогональная проекция х на подпространство. Доказать, что ~х'( < (х), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х' = х.
26.36. Пусть х' — ортогональная проекция х на подпространство .С с Е, а хв — ортогональная составляющая. Доказать, что для любого вектора у Е .С, отличного от х', выполнено )х") < )х — у!. 26.37. Пусть .С;, (т = 1, ..., в) попарно ортогональные подпространства евклидова пространства. Доказать, что сумма квадратов длин проекций произвольного вектора х на эти подпространства не превосходит ~х~~, и эта граница достигается, если х принадлежит сумме подпространств.
26.38. Рассмотрим два подпространства Ст С Сэ. Обозначим через .С' ортогональное дополнение Ст в Ст, а хы хт и х' ортогональные проекции вектора х на подпространства Сы Сг и Ст. Доказать, что: 1) хо = хт +х', 2) (хт) < ~хэ), причем для любого х равенство имеет место тогда н только тогда, когда Ст = Сз. 26.39. Пусть С вЂ” й-мерное подпространство и-мерного евклидова пространства Е. Пусть также ем ..., е„— ортонормированный базис в Е, а е1, ..., е'„ортогональные проекции этих й векторов на С. Доказать, что 2,' ~е';~~ = тс. т=1 26.40 (р).
Пусть ем ..., е„— ортонормнрованный базис в евклндовом пространстве и система векторов ды ..., д„такова, что 2 ~ет — д;~ < 1. Доказать, что эта система вектоРов линейно т=т независима. 26.41, Пусть еы ..., е„— ортонормированный базис в евклидовом пространстве и система векторов ды ..., д„такова, п что 2 соэ(е;, д;) ) (2п — 1)/2. Доказать, что эта система вектот=1 ров линейно независима. З йб. Геометприя евкаидова иростщжкствва 255 Ортогонализация (26.42-26.48) 26.42.
Ортогонализовать следующие системы векторов арифметического пространства со стандартным скалярным произведением: 1) !!1 3 -2!~г, !!3 7 — 2!!г; 2) !!2 1 0 — 1!!, !!3 6 2 6!!; 3) !! 1 3 1 (! , !! 5 1 3 !! , !! 1 6 — 8 !! ; 4) !! 2 1 2 !! , !! 6 2 2 !! , !! 1 4 — 3 !! ; 5) !! 1 2 3 !! , !! 2 1 1 !! , !! 6 — 7 — 2 (! ; 6) !! 1 2 1 2 !! , !! 4 0 4 1 !! , !! 1 13 — 1 — 3 !! ; 7) !! 1 — 1 — 1 1 !! , !! 2 3 3 2 !!т, !! 4 4 0 2 !! , !(1 -5 -5 -1!! .
26.43. В евклидовом пространстве Е выбран ортонормиро- вэиный базис е. В нем заданы координаты векторов базиса а под- пространсгва Е С Е. С помощью процесса ортогонализацви найти в е координатные столбцы векторов ортонормированного бази- са в Е и выписать матрицу перехода от базиса а к этому базису: 1) !!3 1(!т !!9 -7(!т 2) !(1 1 О!(, (!2 0 — 1!!, !!О 0 3!!; 3) !!1 1 -2~Г2!!, !!3 — 1 — 242!!, !!4 2 -~/2!!; 4) !!1 1 1 -1!!, !!3 3 1 -1!!, !!3 1 -1 3!!, !!1 -1 3 3!!'; 5) !(1 2 1 2!), !!2 3 0 1!!, !!3 2 -1 2!!, !!4 1 2 1!!'; 6) )! 1 4 2 3 !! , !! 1 5 0 3 !!г, !! — 1 9 2 7 !! ; 7) !!4 -2 -1 О!!', (!9 -2 -2 О!!', !!-3 -1 11 1!!"; 8) !!1 2 1 3!!, (!4 3 2 6!!, )!4 3 — 7 4!! .
26.44. Ортогонзлизовать и нормировать систему векто- ров, заданных в базисе е своими координатными столбцами. Матрица Греме Г базиса е задана: Ц !!1 3!)т, !!2 4!!т, Г= А„; 2) !!1 2 О!!т !!2 0 3!!т !!1 8 6!!т Г Азат 3) !!1 1 1!!т (!4 2 1!(т !!1 9 8!!т Г=Азев' 4) !!-3 2 1!! !! 8 5 4!!, !!2 4 О!! Г= Азот. 26.45. 1) С помощью процесса ортогонализации доказать, что невырожденная квадратная матрица может быть разло- 256 Гв. 1Р. Евклидовы и унитарные пространства жена в произведение ортогональной матрицы Я и верхней треугольной матрицы ес с положительными диагональными элементами ®В-разложение).
2) Доказать единственность ЯЛ-разложения невырожденной матрицы. 26.46. Получить ЯВ-разложение данной матрицы (задача 26.45): 1 2 0 3) 10 0 0 1 — 1 1 3 3 1 1 3 1 — 1 1 1 — 1 3 — 1 — 1 3 3 12 34 23 21 10 — 12 21 21 ; 5) ; 6) то матрица Грэма произвольного базиса может быть разложена в произведение Г = Втй, где В— верхняя треугольная матрица с положительными элементами на диагонали. (Сравнить это с задачей 25.29.) 26.48.
В евклидовом пространстве известна матрица Грама базиса Г. Найти матрицу перехода к ортонормированному базису, получаемому ортогонализацией Г: )Г= 3 3, 400 4 044 0 048 0 4 О 0 20 4) Г= Объем (26.49 — 26.54) 26.49. Доказать, что детерминант матрицы Грама системы векторов не меняется при ортогонализации этой системы (без нормировки векторов).
26.50. Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в ортонор- мированном базисе составляют матрицу 1) Аз1т при л = 4; 3) Аззз; 4) Азот; 41з; 7) Аазз. 26.51. Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в базисе е 1 3 4 4) 1 — 1 2 — 2~/2 — 2~!2 — ~!2 26.47.
Доказать, ч 5 13 1 2 3 3)Г= 25 8 3814 1 1 1 1 1 1 ) 0 — 1 1 5) Азэз, '6) А З йб. Геометпоия евклидова простпрансепва 257 составляют матрицу А. Матрица Грама базиса е равна Г: 2100 Г 1210 0121 0012 Г=А пи 1) А = Аеог, Угол между вектором и подпространством (26.55 — 26.56) 26.55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
