1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 52
Текст из файла (страница 52)
29.16. Пусть преобразования у и Ф вЂ” самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут также преобразования: з еУ. Самоеоаряженнме и ортаогонаяьнме ареобразоаания 273 ных в ортонормированном базисе матрицами: 17 — 2 2 — 2 14 4 2 414 — 7 4 — 4 4 — 1 8 — 4 — 8 — 1 А= найти матрипу перехода к общему оргонормированному бази- су из собственных векторов и матрицы преобразований в этом базисе. 29.24. Доказать, что любое самосопряженное преобразование ранга г можно разложить в сумму г самосопряженных преобразований ранга 1. 29.25.
Доказать, что любое самосопряженное преобразование можно разложить в линейную комбинацию ортогональ- 1) сир+ Щ при любых а, 8 Е К, 2) уф+ уяр, 3) ~р 1 для невырожденного у. 29.17. Доказать, что произведение самосопряженных преобразований является самосопряженным тогда и только тогда, когда они перестановочны. 29.18. Доказать, что в каждом инвариантном подпространстве самосопряженного преобразования найдется ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования. 29.19.
Найти матрицу перехода к ортонормированному базису из собственных векторов преобразования аз и матрицу преобразования в этом базисе, если у задано в ортонормированном базисе матрицей: 1) Азэ, 2) А1з, 3) Азз, 4) А47, 5) Азее, 6) Азоз', 7) Аззо', 8) Аззо', 9) Азэе; 10) Аззз; 11) Ааза', 12) Аезе, '13) А468, 14) Аазе; 15) Апа', 16) Апз. 29.20. Преобразование у арифметического пространства со стандартным скалярным произведением задано матрицей Аезт. Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования.
29.21. Доказать, что для самосопряженного преобразования размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению Л, равна кратности Л как корня характеристического многочлена. 29.22. Доказать, что два самосопряженных преобразования перестановочны тогда и только тогда, когда имеют общий ортонормированный базис из собственных векторов. 29.23. Для двух самосочряженных преобразований, задан- 274 Гл. 11.
Преобриованил евклидовнх и унитарных пространств ных проектирований на попарно ортогональные одномерные подпространства. 29.26. Самосопряженное преобразование ~р задано в ортонормированном базисе матрицей А. Разложить у в линейную комбинацию ортогональных проектирований на попарно ортогональные подпространства: 1) А=А1т4, 2) А=А47О, 3) А=Азз4. 29.27. Доказать, что самосопряженные преобразования ~р и ф равны тогда и только тогда, когда (~р (х), х) = (ф (х), х) для любого х Е Е. 29.28. Доказать, что самосопряженное преобразование у положительно (неотрицательно) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны (соответственно неотрицательны). 29.29.
Доказать, что положительное самосопряженное преобразование может быть разложено на произведение и сжатий по попарно ортогональным направлениям. 29.30. Разложить в произведение трех сжатий по попарно ортогональным направлениям (иначе — к трем попарно ортогональным плоскостям) преобразования, заданные в ортонормированном базисе матрицами 1) А114, 2) А47О. 29.31. Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование имеет обратное тогда и только тогда, когда оно положительно.
29.32. 1) Доказать, что для неотрицательного самосопряжеиного преобразования у найдется неотрицательное самосопряженное преобразование 41~ такое, что ф2 = ~о. Необходима ли неотрицательность ~р? 2) Доказать,что преобразование 4 однозначно определено. 29.33. Преобразование у задано в ортонормированном базисе своей матрицей. Найти матрицу положительного самосопряженного преобразования 4~ такого, что фз = 1)А=А47; 2)А= 3252~' З)А= 3 19 3 5/2 3/2 ~ 3 3 19 29.34. Пусть собственные значения самосопряженного ' преобразования <р пронумерованы так, что Л1 > Лз » ... Л„.
1) Доказать, что Л1 = птах (у(х), х) ОФееЕ )х) Г йй. Сазеоеопрлжеииые и орглогональиые преобразования 275 2) Доказать, что (<р (т), х)/ф2 = Л1 (или Л„), тогда и только тогда, когда х — собственный вектор, принадлежащий Л1 (соответственио Л„). 2Я.35. Доказать, что диагональные элементы симметрической матрицы заключены между ее минимальным и максимальным характеристическими числами. 29.36.
Пусть А — симметрическая матрица, Л1 и ˄— ее максимальное и минимальное характеристические числа, а п1 и пь — максимальное и минимальное характеристические числа ее диагональной подматрицы1). Доказать, что Л1 > д1 > да > > Л„. 29.37. Пусть у линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что: 1) преобразования у'~р и уу — неотрицательные самосопряженные. 2) Кета'~р = Кепр и 1т~о*ео =1гп~р'. 3) 118р*р=887лр*=йкр. 4) собственные значения и их кратности у преобразований р*~р и уу* совпадают. Ортогоиальиые преобразования (29.38 — 29.51) 29.38.
Пусть преобразование <р изомегпрично, т.е. (ео(х),~р (у)) = (х, у) для любых векторов х и у. Доказать, что у линейно и взаимно однозначно. 29.39. Доказать, что ортогональные преобразования евклидова пространства Е образуют группу относительно обычной операции умножения преобразований. 29.40. 1) Убедиться, что сумма ортогональных преобразований в общем случае не является ортогональным преобразованием. 2) Является ли ортогональным преобразованием произведение ортогонального преобразования на число? 29.41.
Доказать, что для любых двух векторов одинаковой длины найдется ортогональное преобразование, переводящее первый вектор во второй. 29.42. Доказать, что для любых 'двух ортонормированных базисов найдется ортогональное преобразование, переводящее первый базис во второй. ) Подматрица диагональна, если ее главная диагональ — подмножество главной диагонали матрицы 276 Гл. 11. Преобразования евнлидовнх и унитнарннх нросгаравств 29.43. Доказать, что преобразование из задачи 28.23 является ортогональным тогда и только тогда, когда матрица А ортогональна.
29.44. В евклидовом пространстве выбран базис с матрицей Грама Г. Найти условие на матрицу линейного преобраювания, необходимое и достаточное для того, чтобы это преобразование было ортогональным. 29.45. Может ли ортогональное преобразование в некотором базисе иметь матрицу: 1) Апп 2) Аз4? 29.46. Ортогональное преобразование арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы А в столбцы В.
Как связаны матрицы А и В? 29.47. Линейное преобразование 1о арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы А в столбцы матрицы В. Является ли 1о ), в= 8 2 1 — 1 2) А=А44, В=Аз4,' О 1 О 1 — 1 — 3 — 1 — 1 — 6 В= азэ. 29.48. Пусть хы ..., хь и уы ..., уь — векторы н-мерного евклидова пространства, и ортогональное преобразование у таково, что <р(х;) = у;, г = 1, ...,?с, Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда матрицы из попарных скалярных произведений обеих систем векторов равны.
29.49. Пусть С вЂ” инвариантное подпространство ортогонального преобразования у. Доказать, что С вЂ” также инвариантно относительно 1о. Как этот результат связан с задачей 25.55? 29.50. Ортогональное преобразование задано в ортонормированном базисе матрицей А. Найти матрицу В перехода к каноническому базису и матрицу А' преобразования в этом базисе: Д 1 1 ' 4 — 1 — 3 — ~/6 — 3 — 1 ~/6 ~/6 — и'6 2 3) А414; ортогональным: 1) А= 71 1 3)А= Π— 1 4) А = Аззз, 1 3 — 1 — 6 1 О В=А г ВВ. Самосопряженные и ортогон яьнне преобразования 277 00000 — 1 10000 0 01000 0 00100 0 00010 0 00001 0 '9.51. Доказать, что преобразование )р*)р ортогонально то-да и только тогда, когда ортогонально )р. Полярное разложение 29.52.
Почему не является полярным разложением равен- 29.53. Получить полярное разложение мат ицы 4 3 3) / 4) о 2))' 2) 6) ( 11 10 — 2 5 4 — 3/ 5) 29.54. В пространстве Р~ многочленов степени не вьппе 2 ;о стандартным скалярным произведением преобразование д :опоставляет многочлену его производную. Для полярного разюжения д написать в базисе 1, Ф, гг матрицу Я ортогонального и матрицу Ъ" самосопряженного преобразования. 29.55. Доказать, что для произвольного линейного преобзазования )р существует вторая форма полярного разложения: о = )))В, где )р — неотрицательное самосопряженное преобразозание, а  — ортогональное.
29.56. Доказать, что для квадратной матрицы А найдутся "акие ортогональные матрицы Я и Р, что А = ЦИР, где О— циагонвльная матрица с сингулярными числами матрицы А на диагонали. 29.57. 1) Доказать, что каково бы ни было полярное разлокение )р = Вф, ортогональное преобразование В переводит соб:твевный вектор преобразования ~р')р в собственный вектор )р)р'. 2) Доказать, что второй сингулярный базис состоит из соб:твевных векторов преобразования )р)р'. 29.58.
Пусть )р — невырожденное преобразование, и о = В)р =,фгВП где 1д, )р1 неотрицательные самосопряженные, : В, В1 — ортогональные преобразования. '978 Гл. 11. Преобразования евхлидовых и унитарных пространств 1) Доказать, что д = Оь 2) Как связаны ф и фг? 3) Доказать, что собственные значения у1 и ф~ одинаковы, а собственные векторы, вообще говоря, различны. 29.59.
Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование ф в полярном разложении у = дф определено однозначно. 29.60. Доказать, что для невырожденного преобразования полярное разложение единственно. 29.61. Доказать, что линейное преобразование является нормальным тогда и только тогда, когда перестановочны сомножители в его полярном разложении. 29.62. Доказать, что сингулярные числа самосопряженного преобразования равны модулям его собственных значений. 29.63.
Найти сингулярные числа ортогональной матрицы. 29.64. Пусть сеы ..., а„— сингулярные числа невырожденной матрицы А. Найти сингулярные числа А ~. 29.65. Матрица умножена на число а. Как изменились ее сингулярные числа? 29.66. Доказать, что у преобразования ~р и ему сопряженного р" сингулярные числа совпадают. 29.67. Доказать, что сингулярные числа матриц А и В совпадают тогда и только тогда, когда найдутся ортогональные матрицы У и $" такие, что В = УАЪ'. 29.68.
Доказать, что для линейного преобразования ~о отношение )у1х))/~х! при любом ненулевом векторе х заключено между минимальным и максимальным сингулярным числом ~р. 29.69. Доказать, что модули всех собственных значений преобразования ~р принадлежат отрезку ~а„, се~], где а~ и а„— его наибольшее и наименьшее сингулярные числа. 29.70. Доказать, что для квадратной матрицы А произведение сингулярных чисел равно ~ деФ А~. 29.71.
Найти сингулярные числа следующих матриц: 6 — 6 3 1) А2оз, 2) А2зд, 3) А21з, 4) 1 2 2, 5) Ав4в. 4 2 — 4 Э ЗО. Линейные иреобриованил унитарного пространства 279 3 30. Линейные преобразования унитарного пространства Примеры преобразований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
