1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Тогда матрица перехода Б от е к е' будет ортогональной, а матрица В' = Б~ВЯ = Я ~ВЯ вЂ” диагональной. Диагональный вид билинейной (квадратичной) функции можно использовать как промежуточный этап в ее приведении к каноническому виду: надо только умножить на подходящие числа векторы базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Пусть 1(х) и б(х) — квадратичные функции (формы) в и- мерном вещественном линейном пространстве Б, причем функция к(х) положительно определена. Тогда в ь" существует базис, в котором обе формы диагональны, и, более того, к (х) имеет канонический вид.
Если Е (х, у) и С (х, у) — симметрические билинейные функции, порождающие квадратичные формы ((х) и я (х), то искомый базис — ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к Р(х, у), относительно скалярного произведения, определяемого функцией С (х, у). Пусть г и С вЂ” матрицы форм Г и я в некотором базисе е.
Диагональные коэффициенты формы Г в поцходящем базисе являются корнями уравнения с4ес(à — ЛС) = О, а соответствующие базисные векторы находятся нз системы уравне- ний (à — ЛС) Е. = О (б) для каждого корня Л уравнения (5). На практике пару квадратичных форм Г, я приводят к диагональному виду в два этапа: 1) находят базис е', в котором форма я является канонической (например, методом Лагранжа), и преобразуют форму Г к базису е', 2) находят базис е", матрица перехода к которому от базиса е' ортогональна и в котором форма Г имеет диагональный вид: в этом базисе форма к остается канонической. Если Я вЂ” матрица перехода от базиса е к промежуточному базису е', а Т вЂ” матрица перехода от е' к базису е", то матрица перехода от е к ео равна БТ.
Функция Ь (х, у) в комплексном линейном пространстве ь' называется эрмитовой билинейной (полуторалинейной), если Ь(х+ у, э) = Ь(х, г) + Ь(у, э), Ь(х, у+ э) = Ь(х, у) + Ь(х, э), Ь(ох, Бу) = о~3 Ь (х, у) для всех х, у, э б Б и о, Б б С. Эрмитова билинейная функция называется симметричной (эрмитовой), если Ь (х, у) = Ь (у, х) для всех х, у б ь".. Такая функция порождает квадратичную эрмитову функцию 1с(х) = Ь(х, х). Ее матрица эрмитова: В = В. Пусть В, В' — матрицы эрмитовой билинейной функции Ь (х, у) в базисах е, е' комплексного пространства, Я вЂ” матрица перехода 296 Гл. 12.
Функпии на линейном пространстве от е к е', а 1„11 — столбцы ксюрдинат векторов х, у в базисе е. Тогда Ь(х, у) = Е,~В11, й(х) = У, ВЦ В' = ЯгВЯ. Билинейные и квадратичные функции в вещественном линейном пространстве (32.1-32.26) 32.1. Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую ей квадратичную форму в п-мерном линейном пространстве: 1) х1у1 (и = 1); 2) х1у1 (п = 2); 3) 2х1у1 — хгуз — хзу1 — 5хзуз (и = 2); 4) х1уз — Зх1уз + 7хгуз+ хзу1 — Зхзуг + 7хзуз+ хзуз (и = =3) п Н 5) ~; х;уй 6) ~; х1у„;+1; 7) ~; х,у. 1=1 6-Я<1 32.2. Восстановить симметричную билинейную форму в и- мерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу: 1) -Зх~г (и= 1~; 2) -18х1хз + 9хз (и = 2); 3) хз1+4хгхз+ 4хгхз+бхзз+12хзхз+ 7хз з(п = 3); Многочлен, служащий координатной записью билинейной (квадратичной) эрмитовой функции, называется соответственно билинейной (кеаоратичной) зрмитоеой формой.
Квадратичная форма в и-мерном комплексном пространстве привелится к каноническому виду ~ ф где т — ранг формы. Квадратичная эрмитова форма приводится к каноническому вин ду ~ ез ф~~, где ез равны 1, -1 или О. Закон инерции и крите1=1 рий положительной определенности (критерий Сильвестра) квадратичной эрмитовой формы формулируются точно так же, как для вещественной квадратичной формы. Для квадратичной эрмитовой формы й (х) в унитарном пространстве существует ортонормировани ный базис, в котором она диагональна: й(х) = ~ Лз )Цэ.
Если В— у=г матрица формы в ортонормированном базисе, то коэффициенты Л. являются характеристическими числами матрицы В. З М. Билинейные и нвадратпинные функции 297 -7Ф н-1 4) 2х21 — бх1хг — Зхг г(и = 3); 5) 2 х,х;+1. 1=1 32.3. Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу: 1) Ает', 2) Азт; 3) Азот, '4) Агзо', 5) Аезе; 6) Ает1; 7) Азоз; 8) Авзе. 32.4.
1) Восстановить симметричную билинейную функцию по порожденной ей квадратичной функции. 2) Доказать, что любую билинейную функцию Ь(х, у) можно единственным образом представить как сумму Ь (х, у) = =Ьь(х,у)+Ь (х,у), где Ь+(х,у)=Ь+(у,х), а Ь (х,у)= = -Ь (у, х). Доказать, что при этом Ь(х, х) = Ь+ (х, х). 32.5. Как изменится матрица билинейной (квадратичной) функции, если изменить базис е1, ..., е„следующим образом: 1) поменять местами езй и т'-й векторы базиса; 2) умножиты-й базисный вектор на число Л ф 0; 3) вектор е; заменить на е;+ Ле (е ~ у); 4) векторы базиса расположить в обратном порядке? 32.6. Квадратичная функция и линейное преобразование имеют в некотором базисе одинаковые матрицы.
Какой должна быть матрица перехода от этого базиса к другому базису для того, чтобы в другом базисе матрицы квадратичной функции и линейного преобразования также совпадали? 32.7, Квадратичная функция дана в базисе е1, ..., е„. Записать эту квадратичную функцию в базисе е1,..., е'„: 1) 25хг — 14х1хг+ 2хгг, е' = е1+ ег, е~г — — -е1 + ег, 2) Зхгт + 10х1хг+ 9хгг, е1 —— 2е1 — ег, ег — — е1 — ег, 2 1 1, 1 1 3) 4х1 — 12х1хг+ 9хг, е1 — — — е1 — — ег, е~г — — -е1+ -ег; а~ 4 6 ' 4 6 4) х1+ 4х1хг+ 4х1хз — хз, е1 = е1+ ег+ ез, е~г —— 2е1— 2 2 е2+ ез, ез = е1+ 2е2 Зез; 5) х1+ 2х1хг — х1хз — хгг+ 2хгхз+ хз, е1 = 2е1 — ез, е~г —— 2 2 2 = -е1 + 2ег — ез е~з = -ег + ез; 6) 5хг+ 5хгг+ Зхгз+ 2х1хг+ 21т2хтхз+ 21Г2хгхз, е1 — — е1+ +ег — 21/2ез, е~г — — е1 — ег, е~з — — /2е1+ ~Г2ег+ ез; н-1 7) 2 хгхе+1, е'; = е;+е;+1+...
+ е„, е =1, 2,..., н. 1=1 32.8. Привести данную квадратичную форму к кановичеикому вцлу с помощью метода Лагранжа или элементарных 298 Гл. 18. Функции на линейном пространстве преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и от- рицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы: 1) 4хг + 4х1хг + 5хгг', 2) х1 — х1хг — хг, г. 3) — х1хг; 4) 25х21 + 30х1хг + 9хгг, 5) 2хзхг — х21 — 2хгг,' 6) 24х1хг — 16хг1 9хгг. 7) хг+ 4х2хз + хг2+ 2хгхз+ 4хгз. 8) х1+ 2хгхг + 2х1хз — Зхг — бхгхз — 4хз, 2 2 г. 9) 2х21 + 8х1хг + 4х1хз + 9хг г+ 19хзг,.
10) 9х21 — 12х1хг — бх1хз + 4хгг + 4хгхз + хгз, 11) 8хг + 8хг г+ хзг + 16х1хг + 4х1хз + 4хгхз; 12) (р~ х1хг + хгхз+ х1хз', 13) х1+ 2хгг+ 2хзг+ Зх4+ 2х1хг+ 2хгхз+ 2хзх4,' 14) х1 — 2х1хз + хг — 2хгх4+ хз — 2хзхз + х4 — 2хехз+ ха + г г 2 2 2 +хе, 2.
15) х1хг + 2хгхз — Зхзхе; 16) х1хг + хгхз — х1 — хг — хз. 2 2 2 32.9. Выяснить, какие квадратичные формы из задачи 32.8 являются положительно определенными, отрицательно определенными, полуопределенными. 32.10. Привести к каноническому виду данную билиней- ную форму: 1) х1у1 + х1уг+ хгу1 + Зхгуг; 2) х1у| — х1уг — хгу1 + хгуг; 3) 13х1у1 — 5х2уг — 5хгу1 + 2хгуг; 4) — х1уг — хгу1 + хгуг; 5) х1уг + хгу1 + х1уз+ хзу1 + хгуз+ хзуг; 6) х|у|+ 2хгуг+ Зхзуз+ хзуг+ хгуз + х1уз+ хзу1+ 2хгуз+ +2хзуг' 7) х1у| + х1уг + хгу1 + хгуз. 32.11. Доказать, что несимметричную билинейную функ- цию нельзя привести к диагональному виду. 32.12.
Привести квадратичную форму, зависящую от дей- ствительного параметра Л, к каноническому виду при всевоз- можных значениях Л: 1) Зхгз — 2хзхг+ Лхгг, 2) 8х,'+ Лх1хг+ 2хг. 3) 2х|2 + 8х1хг + 4х1хз + бхг г+ Лхзг; З М. Билинейные и квадуап1инные функции 299 4) х~1+ х2~+ 4хз ~+ Ах4+ 4х1хз+ 2х1х4+ 2хзхз+ 2х2х4+ +5хзх4; 5) Зхз ~+ бх1хз + 2х1хз + 4хзхз + Лх2х4 + х~з + хзх4+ х~4. 32.13.
Привести к каноническому вцлу данную квадратич- ную форму в н-мерном пространстве: и и-1 'У 1) х~~ + 2 ~; х1 — 2 ~ х;х;+1,. е1 1=2 1=1 и-1 2) хз~ + 2 ~ ( — 1)'хех1+1, 1=1 3) ~; хе+ ~ х;х", 4) ~ х;х", 1=1 1<1<1<п 1<1<1(п и 5) — ~ 1хз + 2 ~ 1х,х1", 1=1 1<1(1<п 6) 2 ((1 — 1)2 + 1) х2 + 2 2 1х1х . 1=1 1(1<1<а 32.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
