1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Доказать, что для положительной определенности квадратичной функции 1с(х) необходимо и достаточно любое из условий: 1) 1с(е;) ) О (1 = 1, ..., н) дня любого базиса е1, ..., е„; 2) 11(х) приводится к диагональному виду с положитель- ными коэффициентами; 3) к (х) приводится к каноническому визу Я + .. + с~. 32.15. Показать, что для положительной определенности квадратичной функции необходима,но недостаточна положи- тельность всех диагональных элементов ее матрицы в некото- ром базисе. 32.16.
Доказать, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются следующим образом: Ь1 < О, Ьз > О, Ьз < О, ..., з15пйп = (-1)". 32.17. Пусть ранг квадратичной функции 11 (х) в и-мерном линейном пространстве С равен г. Доказать утверждения: 1) в .С существует базис, в котором главные миноры Ьь матрицы функции к(х) отличны от нуля при Й = 1, ..., г и равны нулю при й = г + 1, ..., н. 2) пусть в некотором базисе главные миноры Ьь (й = = 1, ..., т) матрицы функции 1с(х) отличны от нуля. Тогда Зоо Гл. 12. Функции на линей~ом пространстлее 1с (х) приводится к диагональной форме 2 — Сьз (Ьо = 1) и ь=~ Аь-~ 2 к канонической фоРме 2 еьбьз, где еь = з18п — (Й = 1,...,г).
Ьь з 32.18. При каких значениях параметра Л данная квадра- тичная форма положительно, отрицательно определена или по- луопределена: 1) Лхзг — 4хзхз + (Л + 3) хзз., 2) -9хз + бЛхгхз — хгг. 3) Лх~ + 8хзз + хзз+ 1бхзхз+ 4хзхз + 4хзхз, 4) хз~ + 2Лхзхз + 2хгхз + 4хз — Лхзз + 2хзхз; 5) (4 — Л) хз + (4 — Л) хз — (2 + Л) хз з+ 4хзхз — 8хдхз + + 8хзхз? 32.19. Пусть 1с(х) — квадратичная функция в линейном пространстве Е. Является ли линейным подпространством в Е множество всех векторов х из С, для которых 1с (х) > 0 (1с (х) < < 0)? Рассмотреть примеры 1с(х) = хзз+ хз ~— хз з(и = 3) и Ь (х) = х~~ + хз (и = 3).
32.20. 1) В матрице положительно определенной квадра- тичной формы увеличили один диагональный элемент. Дока- зать, что детерминант матрицы увеличился. 2) Доказать, что в матрице положительно определенной квадратичной формы максимальный по малулю элемент по- ложителен. 32.21. 1) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка п функция 1с(Х) = = сг(ХтХ) является положительно определенной квадратичной функцией. 2) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка и функция 1с (Х) = сг (Х ) является квадратичной функцией. Найти ее ранг и сигнатуру. 32.22. Доказать, что функция 1(у, д) = у(з)д(з)11 -1 является симметричной билинейной функцией в пространстве многочленов степени не выше и. Привести ее к каноническому вцлу при и = 3.
Э Яй. Билинейные и квадратпичные функции 301 32.23. Доказать, что ранг билинейной функции равен 1 тогда и только тогда, когда эта функция — произведение двух ненулевых линейных функций. 32.24. Доказать, что для представимости квадратичной функции в виде произведения двух линейных вещественных функций необходимо и достаточно, чтобы либо ранг этой квадратичной функции не превосходил 1, либо ранг был равен 2, а сигнатура равна нулю. 32.25. При каком необходимом и достаточном условии квадратичные функции 1с(х) и — 1с (х) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду? 32.26. 1) Пусть Ь (х, д) — билинейная функция в линейном пространстве Е.
Назовем функцию Ь (х, у) инвариантной относительно линейного преобразования ~р пространства Е, если Ь (у(х), да (у)) = Ь (х, д) для всех х, у Е С. Доказать, что Ь тогда и только тогда инвариантна относительно у, когда их матрицы (В и А соответственно) в некотором базисе удовлетворяют равенству АтВА = В. 2) Найти все линейные преобразования двумерного пространства, относительно которых инвариантна билинейная форма: а) хдуд + хздэ; б) хддд — хэуг. Квадратичные функции в евклидовом пространстве. Пары форм (32.27 — 32.39) 32.27. Квадратичная (билинейная) функция записана в ортонормированном базисе п-мерного евклидова пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид.
п=2: 1) -4х~д + 10хдхэ — 4хз~, 4 3 2) — х — 2хдхз + — хз', 3 4 3) 7хзд+ 4д/3хдхз + Зх~2, 4) — хддд + Зхддз + Зхзуд — 9хзуэ; 1 1 5) — хдуд + -хддз + -хзуд — хзуз; 2 2 п=З: 6) — хд + хдхз — х~з; 7) 2хдз — 4хдхз + 9хз~ + 4хгхз + 2хэ', 8) хдуд — хдд2 — хздд + 2хзуз — хзуз хздэ + хзуз' 302 Гл. 12.
Фднниии на линейном ироетраяетиее 9) 2Х1дг + 2хгу1 — 2х1дз — 2хзуз + 4хгдг + 4хгуз + 4хзуг— — Зхзуз; 10) (р) 2х1+ 4хзхг — 2х1хз — хгг+ 4хгхз+ 2хз, 11) Зх1 — 2х1хг — 2Х1хз + Зхг — 2хгхз + Зхз, 12) ЗХ21 + 8Х1хг — 8х1хз — 7хг — 8хгхз + Зхз,' 13) х1 — х1хг + х1хз + хг + хгхз + хз, 14) 4хг, + 4Х1хг — 12х1хз + хг г— бхгхз + 9хзг, 15) х1дг + хгу1 — 2х1уз — 2хзу1 — х1у~ — хгдг + 2хгдз + + 2хзуг — 4хзуз' 16) х1У2 + х2У1 + х1уз + хзд1 + х2у2 хзуз. п= 4: 17) х21 + 2х1хг + 2х1хз + 2Х1Х4+ хгг — 2хгхз — 2хгх4 + хз — 2ХЗХ4 + Х4; 2.
18) Х21 — 2х1хг+ бхгхз + 8Х1х4+ 4хг г— 2хгх4 — бхзх4+ х~з; 19) 2х — 4х1хг+ 4х1хз+ 6хг — бхгхз+ 2хгх4+ бхз+ 2хзх4+ 1 + 4х4, 20) х21 + 2х1хг + 2х1хз + 2Х1хз — хг г— хз г— х42, 1 1 1 1 21) х1уг + хгу1 + хзу4 + Х4УЗ~ 2 2 2 2 22) Зх1 2— 8х1хг — Зхг г— хгз + 4хзх4 — 4х~д', 23) 2;хг+ 2 х;х", в=1 1(З(2(о н гн — 1 24) 2, '( — 1)ььзх;д", 25) ~; х;хг„ Ь1=1 2=1 го гп н-1 26) ~ хг+ ~ х;хг„;+1, 27) ~ х;х;+ь 2=1 2=1 2=1 32.28. Найти канонический вид, ранг и сигнатуру каждой из квадратичных и билинейных форм задачи 32.27. 32.29. Доказать, что квадратичная форма является поло- жительно определенной тогда и только тогда, когда все харак- теристические числа ее матрицы положительны, и отрицатель- но определенной тогда и только тогда, когда отрицательны.
32.30. Пусть все характеристические числа вещественной симметрической матрицы А принадлежат отрезку [а, Ь]. Дока- зать, что квадратичная форма с матрицей А — ЛЕ положитель- но определена при Л < а и отрицательно определена при Л ) Ь. 32.31. Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все козффициенты ха- рактеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля З Зе. Билинейнне и квадратаичнне функции ЗО3 и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен. 32.32. 1) Доказать, что линейное преобразование ~р евклидова пространства, присоединенное к заданной в нем симметричной билинейной функции Ь (х, д), является самосопряженным. 2) Пусть в некотором базисе е билинейная функция Ь (х, д) имеет симметричную матрицу В, а матрица Грама базиса е равна Г.
Найти матрицу преобразования, присоединенного к функции Ь(х, д). 32.33. В базисе е евклидова пространства задана квадратичная форма. Найти в том же базисе матрицу присоединенного к ней преобразования, если матрица Грама базиса е равна Г: 1) 4хз1+16х1хз+бхзз, Г = Азв; 2) 4х~1 — бх1хз — бхз, Г = Азз; 3) 2х1хз — х~з, Г = Ад', 4) 2хзз+ 4х1хз — 2х1хз хз~+ 4хзхз+ 2хзд, Г = Азо7,' 5) бх1+х~з+4х~з+ 2х1хз+ 4х1хз+ 4хзхз, Г = Азов; 6) х~1 + хз ~+ х~з + хе + 2х1хз + 2х1хз + 2х1х4 2хзхз — 2хзх4 — 2хзх4, Г = А47ь 32.34. Пусть в некотором базисе е и-мерного евклидова пространства с матрицей Грама Г квадратичная функция 1с (х) имеет матрицу В.
Доказать, что ортонормированный базис, в котором 1е(х) диагональна, и ее диагональные коэффициенты в этом базисе находятся как решения обобщенной задачи на собственные значения и собственные векторы: ВЕ, = ЛГЕ, (3 Е Е К„). 32.35. Пусть М вЂ” г-мерное линейное подпространство и- мерного евклидова пространства. Функция 1с (х) равна квадрату длины ортогональной проекции вектора х на подпространство М. Доказать, что функция 1с(х) является квадратичной. Найти диагональный вид, который имеет эта функция в некотором ортонормированном базисе. 32.36.
Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти замену координат, приводяшую эти две формы одновременно к диагональному виду, и записать этот диагональный вид обеих форм. 1) 1 = хз1 + 2х1хз + Зхзз, 3 = 4хз1 + 16х1хз + бхзз, 304 Гл. 12. Функции на линсйнам иространсгаее 5 2) Г= 2хг1 — Зх1хг — -хгг, 8 = 2х1г+ бхгхг+ 5хгг, 2 3) Г= 11хг1 — бх1хг+хгг, 8 = 13хг1 — 10х1хг+Зхгг, 4) 1 = 9хг1 — 10х1хг + Зхгг, 8 = 2х1хг — хгг, 5) Г= хг1 — 2х1хг+ хгг, 8 = 17хгз+ 8х1хг+ хгг, 7 6) 1= хг + 2х|хг + 5хгг, я = 2х1хг — -хгз — хгг, 7) 1= (1+ 4~/6) хг1 + 2уГ6х1хг, 8 = 5хг1 + 4х1хг + хгг,. 8) 1=(1+2т~/аг+а)хг1+2~/а~+ах1хг, 8=(1+тг)хг1+ + 2тх1хг + хгг, где т и а — вещественные параметры, а + а > >О; 9) 1= 5хг1+ 2х1хг+ 4х1хз+ хгг+ 4хгхз+4хзг, 8 = 5хг1— — 2х1хг + 4хгхз + хг г+ 2хзг, 10) Г = 15хг г— 4хзг — 10х1хг — 8х1хз + 22хгхз, 8 = хг1— — 2х1хз + 4хг г+ 4хгхз + 5хзг; 11) (р) 1= 6хг~г+бх1хз+ хг г— бхгхз+ бхзг, 8 = 2хг|+2х1хз+ + хг г— 2хгхз+ 2хз, 12) Г = 2х~~ — 2х1хг — 2х1хз + хг г+ 2хзг, 8 = 9хг1 — 12х1хг— — 24х1хз + 4х~+ 16хгхз + 16х~~; 13) Г = х1 + 7хг г+ 16хз + 19хз~ — 4х1хг + 10х1хз — 10х1х4 — 2бхгхз + 8хгхз — 2хзх4, 8 = -х1 + 2хзхг — 2хг + г г + 4хгхз — 5х~ + бхзх4 — 10Х4> 14) 1 = х1 — 4хгхз + 4хз г— 4хзх4 + 4хг4, 8 = хгз — 2х1хг + + 2хг г— 2хгхз + 2хзг — 2хзх4+ 2х4г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
