1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 61
Текст из файла (страница 61)
34.21. Найти расстояние от точки А до прямой 1: 1) А (О, 3, 2, -5); 1: х4 = 1 + 1, хг = -З, хз = 2 + 21, х4 = -2+ 21; 2) А(2> — 2,1,5); 1: хт=З+Ф) хг= — 1+1, хз=2+З, Х4 = — Ф", 3) А(3, 3, 1, О, О); 1: хз = 2+ 31, хг = 1+24, хз = — 1, х4 = 1+1) хз = -1 — З; 4) А(1, -1, — 1, 1); 1: х1+хг+2хз+1 = О, Зхг+2хз— — х4 — 1 = О, Х4 — хг+хз+х4+2 = О.
34.22. Прямая 14 с направляющим вектором а| проходит через точку Ат, прямая 1г с направляющим вектором аг проходит через точку Аг. Доказать, что: 1) если а) и аг не коллинеарны, то квадрат расстояния между 1т и 1г равен т1еФ Г (АтАг, ам аг)/т1еФГ (ам аг); 2) если а1 и аг коллинеарны, то квадрат расстояния между 14 и 1г равен 41ее Г (А1Аг, аз)/~ац~. 34.23. Найти расстояние между прямыми 1> и 1г. 1) 1т: Х4 =1+4) хг = — 1, хз = — е) Х4 =-2+з; 1г: хз = 4+ Ф, хг = 24, хз = 1+ з, Х4 = 1~ 2) 14. 'Х1=2+Ф, хг= — 1 — 2Ф, хз =2+21, Х4=1 — 1; 1г: х1 =3 — З) хг = 1+21) хз = — 1 — 2з) х4= 2+1; 3) 14: х4 = 3+1) хг = 2, хз = Ф) Х4 = 3+з) хз = — з; 1г: Х1 = 1+21) хг =21) хз= 1 — З) х4=1) хе =2,' 4) 14. Хт =1+1) хг= 21) хз = 1 — 1) х4= — 1+1) хз =1; 1г: х4 =3+1) хг = — 21) хз = — 1 — 1> Х4 =1+1) хз = 2+1; 5) 11'. Х1=1 — 21) хг=О, хз=г) Х4=1+г, хе=2; 1г: х1 =-1+4) хг = — 1+1) хз =О, х4=1, хе =-2 — Ф.
34.24. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость щ, если: 1) А(З, 7, — 2, 1); тп: хз =2+1м хг = 2+Зг, хз = Зт+ + гг) Х4 = — зг,' 320 Гл. 1о. Аффиккв>е и точечке>е евклидовк проетракс>ива 2) А(-3, -1, 4, 7, -3); пк Х1 = 11+83 хг = 2+ 12+ Зз хз =2+Зм Х4 =1+ег+ез, хь =1+32. 34.25. Найти ортогональную проекцию точки А на пло4 костып, если: 1) А( — 3, 2, 2, -2); пп Х1=2+Ф1+Фг, Х2 =4+281 ХЗ = 11> Х4 = — Зг; 2) А(3,2,1,4,— 1); 1п: х1=1+С1, хг=-1+12, хз= = 2+11+12> Х4 = — 2 — 11> хь = 12,' 3) А(0,— 1,5,1,— 2); гп: Х1=1+11, хг=гз, хз=14 + 11+12 х4 = — 2+ез> хь = — 1+32. 34.26, Найти точку, ортогонально симметричную точке .1 относительно плоскости п1, если: 1) А(5,3,— 1,— 1); гп: х1=1+Ф1, хг=гг, хз=-24 + зг, х4 = — 1+ $1; 2) А(3, 5, О, 2, 2); п1: Х1 = Зм хг = 2+Фг, хз = — 3+11 Х4 = 3 — 11 — Зг> хь = 1.
34.27. Пусть пг — плоскость с направляющим подпро. странством м, проходящая через точку Ао, а 11, ..., 74— базис в А4. Доказать, что квадрат расстояния от точки А1 дс плоскости п1 равен йеьГ(АеА1, 11, ..., 14)/деьГ(71, ..., ~ь). 34.28. Найти расстояние от точки А до плоскости 1п: 1) в задаче 34.24, 1); 2) в задаче 34.24, 2). 34.29. Найти расстояние от точки А до плоскости пг, заданной параметрически, если: 1) А(1, 2, 1, 1); пп х1 = — 2>1+412, хг = — 1+ З1 — Зг, ХЗ = — ЗЗ> Х4 = >1 — ег,' 2) А(3, 1, 1, 0); пп Х1 = -2+41, хг = -11+ 232, хз = =е1 ег> Х4= 1 >1 321 3) А(1,2,1,3,0); пк х1=1+11, хг= — 11+12, хз= =1+32, Х4 = — 1 — $2, хь = 31.
34.30. Найти расстояние от точки А до плоскости пг, заданной системой линейных уравнений, если: 1) А(1, О, О, 1); гп: Х1+2хг+ 2хз — Зх4 = 7, х1 — 2хз+ + 2Х4 = — 6; 2) А(1, 2, О, О); пп Х1+хг — хз — Х4 = 1, 2хг — Зх3+ + Х4 = 2, 2х1+ хз — ЗХ4 = О. 34.31. Точки А и В заданы своими координатами.
Найти угол между вектором АВ и плоскостью пг, если: св 3 о4. Точечные ев>сеидовы пространства 321 1) А (1, 2, 2, 3), В (4, О, О, 2); пк х1 = 1 + 11, хг = 2 + + 42> хз = с1 + сг> х4 = 3> 2) А (О, 1, -1, О, 1), В (3, 1, О, 1, 2); пп х1 = с1 + сг, хг = 5, хз = — сг> х4 = — 11+12> хь = 2+11, 3) А( — 1, — 1,1,0,1), В(2,1,1,1,0); пп х1=Ф1+Фз> хг = 2+ сг, хз = 1 — сг> х4 = — 11+ 13> хь = -213.
34.32. Плоскости 1 и 1п из и-мерного точечного евклидова пространства с направляющими подпространствами Е и А4 соответственно проходят: 1 — через точку А, 1п — через точку В. Пусть д1,..., дь — базис в подпространстве .С + А4. Доказать, что квадрат расстояния между плоскостями 1 и п1 равен с1е1Г(АВ, д1, ..., дь)/безГ(д1, ..., д1>). 34.33. Найти расстояние между плоскостями 1 и ш: 1) 1: х1 = 2 — 21, хг = 4+ З, хз = 1 + 1, х4 = 0; пз,' х1 = 1 — 241> хг =1+211+342> хз = 1+с1> х4 = 1+ + 2с1+ 212; 2) 1; х1 = 3+11+ 2Фь хг = — Ф1> хз = 1+ 11 — Зг> Х4 = — 31 — сг, ПП Х1 = 2с1 + Фг, Хг = 1 — 311 + Фг, ХЗ = 8 сг> Х4 1+с1 >2~ 3) 1: Х1 = 2+ 1> хг = 2Ф, хз = 1, х4 = 1> хь = 0; пп Х1 = О, хг = 1+ 41+ сг> хз = 3+2сг> х4 = 2с1, хь = =1+11-зг; 4) 1: Х1 = 1+12> хг = Фг> хз = 11, х4 = 11> хь = 211'> пп х1 =12+213, хг =2+11+213, хз = х4 = 1+11 — 12+13> хь = 2+11 — сг + 21з; 5) 1: 2х1 — хз+ Зх4 = О, 2х1 — 2хг + Зхз — Зх4 = 8; пп хг = — Зхз — 2Х4 = 2, х1 — хз — х4 = 0; 6) 1: х1+хг — хз=1, 2х1+хг — х4 =4; пп х1+хг+ +хз = — 1, х1+хз+х4 = 1, 2х1 — хг — х4 = О.
34.34. В и-мерном пространстве плоскости 1п1 и пзг размерностей Й1 и Йг соответственно абсолютно скрещиваются. Доказать, что: 1) существует единственная плоскость размерности и— — Й1 — >сг, ортогональная к п11 и к гпг и пересекающая каждую из этих плоскостей; 2) существуег единственная прямая, ортогональная к щ1 и к 1пг и пересекающая каждую из этих плоскостей.
34.35. Найти уравнения плоскости максимальной размерности, ортогональной к заданным плоскостям п11 и п12 И псресекающей каждую из этих плоскостей, а также уравнения 322 Гл. 1о. Аффиннне и точечние евелидовн пространен~ив общего перпендикуляра к пц и тз, если: 1) т~ и гпз — прямые в задаче 34.23, 1); 2) пи и пзз — прямые в задаче 34.23, 3); 3) пц и пзз — плоскости в задаче 34.33, 3).
34.36. Найти угол между плоскостями пц: х1 = 2+юг+ + 1з, хз = хз = $м х4 = — 1+ $~ — зз н тз. хг = $1+ 21з, хз = = 3+ ез, хз = 2 — Фг — 2ез, х4 = — Фз. 34.37. В правильном пятимерном симплексе АеА1АгАзА4Аз найти угол: 1) между гранями АеАзАз и АеАзА4, 2) между гранями АеА4Аз и АеАзА4Аз; 3) между гранями АеА1Ази АгАзАзА4Аз. Глава 14 ТЕНЗОРЫ В й 35 используются следующие основные понятия: инвариант, тенэор типа (р, д) (р раэ хонтраеариантный, с раэ коаариантный, (р+ й)-валентный теэиор), ковехтаор, компоненты тенэора, матрица из компонент тенэора, закон преобразования компонент тенэора при замене базиса.
Линейное и-мерное пространство обозначается через э".„. Всюду в этой главе предполагается, что пространство Е„вещественное. Тензор обозначается одной буквой, его компоненты — той же бук~юй с иццексами. Например, компоненты тензора а типа (2, 1) обозначаются через а~~ (предполагвется, что индексы э, э, х принимают всевозможные натуральные значения от 1 до н, где и — размерность пространства). Через а" можно обозначать и сам тензор. Нижние и верхние индексы называются также ковариантными и хонтраеариантными оютветственно. Для элементов матрицы Я перехода от одного базиса к другому принято стандартное обозначение о' (1 — номер строки, у — номер столбца). Через г' обозначаются элементы матрицы Т, обратной к Я.
Компоненты тензора типа (2, 1) при переходе к новому базису изменяются по формуле )~в О „э В правой части равенства предполагается суммирование по индексам э', ь й. Все индексы пробегают натуральные значения от 1 до и. Аналогичный вид имеет закон преобразования компонент произвольного теизора. Говорят, что нижние индексы прсобраэуютсл с помощью элементов матрицы перехода Я, а верхние — с помощью элементов обратной матрицы. Инвариант, т.е. числовую величину, не зависящую от базиса, считают тензором типа (О, 0) (с одной компонентой). Относительным инвариантом веса р называется числовая величина, которая при переходе от базиса е к базису еб умножается на (оес Я)г. Тензоры, все компоненты которых равны О, называются нулевыми.
В некоторых задачах употребляется тензор типа (1, 1), называемый символом Кронекера. Его компоненты во всех базисах определяются формулой ф ) 1 при 1=у', (О при 1 эС ~. 324 Гл. Ц. Тензоры В тех случаях, когда нужно выписать все компоненты какого-либ< тензора, мы пользуемся матричной записью. Скажем о ней под робнее. Предварительно все индексы тензора упорядочим следующиэ образом: сначала все верхние индексы слева направо, затем все ниж.
ние индексы слева направо ). Упорядочив индексы, мы можем сово купность компонент двухвэлентного тензора записать в виде квад ратной матрицы порядка и; при этом первый индекс компоненть полагаем равным номеру строки, второй — номеру столбца. Аналогично, совокупность компонент трехвалентного тензоре можно расположить в виде трехмерной матрицы п-го порядка. Что.
бы записать трехмерную матрицу, поступаем следующим образом. Зафиксировав какое-либо значение й третьего индекса, мы получаем двумерный слой или двумерное сечение трехмерной матрипы — квадратную матрицу Аь порядка и. В матрице Аь компоненты данногс тензора расположены так, что значение первого индекса компоненты равно номеру строки, второго — номеру столбца, а третий нццекс равен й.
Теперь все компоненты данного тензора можно записать в виде (плоской) прямоугольной матрицы А = !) А» Аэ ... А„~)О з) размеров и х пз, образованной из элементов блоков Аы Матрицу А также условно называем трехмерной матрицей. Например, при п = 2 компоненты тензора а',„образуют «трехмерную матрицу второго порядке.» а1~ а~~ а~~э а содержащую два двумерных слоя. Компоненты четырехвалентного тензора в Е„образуют чеп»мрехмерную матрицу порядка п. Зафиксировав какие-либо значения й, 1 двух последних ицдексов, мы получаем квадратную матрицу Аы порядка п — двумерное сечение четырехмерной матрицы. В матрице Аы компоненты данного тензара расположены так, что значение первого индекса компоненты совпадает с номером строки, значение второго — с номером столбца, а третий и четвертый индексы равны соответственно к и й Теперь все компоненты данного тензора можно записать в виде плоской квадратной матрицы А = (! Аы ((О порядка п~, образованной из элементов блоков Аы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
