1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Ц. Тевзоры 35.37. Тензор типа (р, а) в базисе еы ег, ез пространства С задан матрицей А. Найти его матрипу в базисе ем ег, ез, есл~ 1) р = 2 ц = 1 А = Аггв, ез = еы ег —— ез, ез = ег; 2) р = 2, д = 1, А = Аггг, ег = — ем ег — — — ег, ез — — — е; 3) р = О, о = 3, А = Аггз, е~ —— 2ем ег — — — ег, е~з — — Зе; 35,38. Определить, как изменяются компоненты теязор типа (1, 2), заданного в пространстве Е„, при произвольно; перестановке базисных векторов. 35.39. Тензор типа (р, а) в базисе е пространства Ег зада матрицей А. Найти его матрипу в базисе е' = еЯ, если: 1)р=1, я=2, А=Авзг, Я=Аг4; 2)р=О, о=З А=Авзз, Я=Арз' 3)р=О, д=З, А=Азз4, Я=Аг4; 4) р=2, д=1, А=Авз4, Я=Аг4. 3 36.
Алгебраические операции с тензорами Линейные операции, умножение тензоров (36.1 — 36.20) 36.1. Проверить закон преобразования компонент суммы тензоров а'„и 5'„, исходя из закона преобразования компонент слагаемых. 36.2. Как связана сумма линейных преобразований с суммой соответствующих тензоров? 36.3. Пусть А, — матрица линейного преобразования у. В, — матрица билинейной функции Ь в базисе е. Определена ли сумма А, + В,? Будет ли тензором соответствие, сопоставляющее каждому базису е сумму матриц А, + В,? 36.4.
Тензоры а и б одного типа имеют в базисе е матрицы компонент А и В. Найти компоненты тензоров: а) а+ 6; б) 2а+ 36; в) б — 2а в том же базисе, если: 1) А = Аззо, В = Авзг; 2) А = Авзы В =Аззг; 3) А = Аззг, В = Аззз; 4) А = Азвз, В = Аззг. 36.5. Заданы матрицы А, В, С, Р из компонент четырех тензоров. Определить, являются ли тснзоры линейно зависимыми, если: 1) А= Аввг, В = Аззз, С = Авзз, Р = Аззг', 2) А = Авзо, В = Аззм С = Аззг, Р = Авзз; 3) А =Аззз В =Аввз, С =Авзо, Р =Аезг.
36.6. 1) Какова размерность линейного пространства Е тензоров типа (р, д) в двумерном пространстве? В 36. Алгебраичес>гие операции с теизорами 335 2) Указать какой-нибудь базис в Е. 3) Указать еще один базис в Е. 36.7. Базису е двумерного линейного пространства соот- ветствует базис е' в пространстве тензоров типа: 1) (О, 1); 2) (1, 1); 3) (р) (О, 2); 4) (1, 2).
Базис е* состоит из тензоров, имеющих в базисе е одну ком- поненту, равную 1, а остальные — равные О. Как преобразует- «я базис е', если базис е преобразуется матрицей перехода Я? 36.8. Проверить закон преобразования компонент тензо- ра а З 6, исходя из законов преобразования компонент сомно- жителей а'.ы 6'„. 36.9. Найти тип и матрицу тензора а 4З 6, если: тип а матрица а тип 6 матрица 6 1) (1, 0), сдз, (1, 0), сзд' 2) (1, 0), сдз, (О> 1)> сзд> 3) (1, 0), сдз> (1, 0), сзд, 4) (О, 1), с~~в, (О, 1), стзд, о) (О, 2), Адт, (О, 1), 6) (О, 1), стт (О, 2), Адт; 7) (2, 0), Адв, (1, 0), св; 8) (1, 1), Адв, (1, 0), св; 9) (1, 0), св, (2, 0), Адв; 10) (1, 0), св, (1, 1), Адв; 11) (О, 3), Авзо, (0> 1), сзвэ 12) (О, 1), сазе> (О, 3), Авве; 13) (1, 2), Авзд, (О, 1), с~~; 14) (О, 1), св, (1, 2), Авы; 15) (О, 2), А„, (О, 2), Адв' 16) (О 2) Адв (О, 2), Адт; 17) (1, 1), Адз, (1, 1), Адв; 18) (2 0)> Адз (1, 1), Ань 36.10.
Записать матрицу из компонент тензора: 1) а'61; 2) а;6", 3) ад6г", 4) ад6д как кронекеровское произведение матриц из компонент этих тензоров, 36.11. Пусть а, 6 — двухвалентные тензоры с матрица- ми А, В. Какого типа должны быть эти теизоры, чтобы матри- ца их тензорного произведения была (правым) кронекеровским произведением: 1) АЭВ; 2) ВЗА? 335 Гл..Ц. Тензоре4 36.12.
Линейные функции Е и 8 заданы в базисе е коорди- натными строками и и ц. Найти матрицу тензора: 1) ЕЗ8; 2) 8ЗЕ. Какой геометрический смысл имеют эти тензоры? 36.13. Линейная функция Е задана в базисе е координат: ной строкой х, вектор у — столбцом О. Найти матрицу тензо Е З у. Какой геометрический смысл имеет этот тензор7 36.14. 1) Пусть х — вектор, Š— ковектор. Доказать, ч ЕЗх = хЗЕ. 2) Привести пример тензоров а и Ь, для которых а З Ь у~ ф Ь Э а. ( 36.15.
Пусть хм хз, хз — векторы, а Ем 13, Ез — ковекторы. Какие из приведенных ниже выражений имеют смысл'? Если данное выражение есть тензор, указать его тип: 1) х1 Э хз + хз Э хз) 2) х1 З хз З х3 + хз З х3; 3) х1®11 — 211 Зх1, 4) х1 ЭЕ3+Е1 ЗЕ3, 5) х1 ЗЕ3+хзЗЕ~; 6) 11 Эх1Эхз+ хз Зхз ЗЕз; 7) х1 Зхз+ хз З хз — х1 З х1, 8) Е1 З Ез — 3(Ез З Ез). 36.16. Найти компоненты тензоров 1), 3), 5), 7), 8) задачи 36.15, если векторы хм хз, хз и ковекторы Еы Ез, Ез заданы с помощью столбцов и строк соответственно: сяь сдз, сзз, сз, т т т С1о~ сзт 36.17. 1) Пусть а = х З у, а векторы х и у имеют в базисе е компоненты 1, О, 0 и О, 1, 0 соответственно.
Найти компоненты, тензора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где Я = Азов 2) Пусть а = Е З8, аковекторы Еи 8имеютв базисе екоор- динатные строки (1, О, О) и (О, 1, 0) соответственно. Найти ком- поненты тензора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где Я = Азог. 3) Пусть а = х ® Е, а вектор х и ковектор Еимеют в базисе е компоненты 1, О, 0 и О, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тензора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где Я = Азов Сравнить результаты задач 1), 2), 3).
36.18. Разложить тензор в произведение одновалентяых тензоров, если он имеет: 1) тип (2, 0) и матрицу Аз, 2) тип (2, 1) и матрицу Азтз. 36.19. 1) Пусть а — тензор типа (1, 1) и матрица его ком- понент имеет ранг г. Доказать, что найдутся г линейно незави- симых векторов а1,..., а„и т линейно независимых ковекторов з об. Алгебраические операции с теизорами 337 10...,1,таких,чтоа= ~ а соЕ . а=1 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для тензоров типа (2, О). 36.20.
1) Пусть тензор а типа (О, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга г. Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов 14,..., 1„и г линейно независимых г ковекторов $1 ) ) яг таких что а ~ 1а З $а а=1 2) Представить билинейную функцию ЗС~0~ + 2~4уг + + Зажгу' + 2Щ как произведение линейных. Единственно ли такое представление? 3) Билинейная функция 1 в некотором базисе линейного пространства задана матрицей А444.
Представить ее как сумму двух произведений пар линейных функций: Г(х, у) = = 11 (х) 34 (у) + 1г (х) Зг (у). Единственно ли это представление? Свертывание (36.21-36.29) 36.21. Исходя из законов преобразования тензоров а'.ю а', Ь', а;, Ь1г, а',гп,, (4, проверить закон преобразования компонент сверток: 1) а';; 2) а'Ьгь, 3) агЬ6; 4) а'„~ 36.22. Исходя из геометрического смысла тензоров а;, С', а*, Ь;, объяснить геометрический смысл сверток: 1) а4С', 2) аф; 3) ЬД'~г.
36.23. Можно ли свернуть: 1) вектор и ковектор? 2) вектор н вектор? 3) пару ковекторов? 36.24. Записать произведение линейных преобразований в тензорных обозначениях. 36.25. Тензоры а', С', х; заданы матрицами: Агзг, сю4, сю4. Вычислить свертки: у 1) аф; 2) а*ге;; 3) афх;. 36.26. Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из данного тензора типа (2, 2)? 36.27. Тензор а~г задан матрицей: 1) Аем', 2) Аезз Найти матрицы сверток: а) а1г; б) а'г.
Х'л. Ц. Тензорм 36.28. Тензор а'~, задан матрицей; 1) Ае4е' 2) Аеез' 3) Аез4. Вычислить свертки: а) а,'~; б) а'„~.; в) а'„~.; г) а,'.~; д) а,'.~; е) а'.~. 36.29. 1) Каждому базису пространства .С„сопоставлен упорядоченный набор чисел а'~ (все индексы пробегают значения от 1 до и). Известно,что для произвольного вектора с" числа а'„~ С~ являются компонентами тензора типа (2, 2). Доказать,что а*„~, — тензор типа (2, 3). 2) Каждому базису пространства Е„ сопоставлен упорядоченный набор чисел а'„~, (все индексы пробегают значения от 1 до п). Известно, что для произвольного тензора и,"" типа (1, 2) числа а'„~ и~ являются компонентами тензора типа (О, 2).
Доказать, что а'„~ — тензор типа (2, 3). Транспонирование, снмметрирование, альтернирование. Симметричные и антисимметричные тензоры (36.30 — 36.67). 36.30. Можно ли транспонировать тензор: 1) типа (1, 1); 2) типа (2, 0)? 36.31. Один тензор типа (О, 2) получается из другого транспонированием. Как связаны соответствующие билинейные функции? 36.32.
Тензоры 1) а;", 2) а'~; 3) а'~; 4) а'ь заданы соответственно матрицами Анп А|а, Аеге, Ае7о. Найти матрицы транспонированных тензоров. 36.33. 1) Сколько различных тензоров можно получить с помощью операции транспонирования из данного тензора а;, .? 2) Тензор типа (О, 3) задан матрицей Аеге ° Выписать матрицы всех тензоров, получаемых из него транспонированием. Изменится ли ответ, если данный тензор имеет тип (3, 0)? 3) Тензор а с компонентами аОь задан матрицей А7з7. Выписать матрицы транспонированных тензоров Ь и с, если Ь; ь = =овос;ь=ау, 4) Тензор а с компонентами пан задан матрицей Аг1?.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
