1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Матрица А также может быть названа условно четырехмерной матрицей. Например, при и = 2 тензору ауы соответствует «четырехмерная матрица 'Для некоторых тензоров в евклидоэом пространстве употребляется другой способ упорядочивания индексов. О вем сказано ниже, в комментарии к э 37. Описание матричной записи компонент тензора относится к любым тевзорам, у которых все индексы как-то упорядочены. Значокп показывает, что элементы матрицы — числа, а не матрицы, — см. введение к гл. 6.
Гл. Ц. Тензорм 323 второго порядка» содержащая четыре двумерных слоя. В з Зб рассматриваются следующие тензорнме операции: сложение тензоров, умножение на число, умножение тензоров, < оертмвание по одному верхнему и одному низ<снему индексу, свер<пмвание двух тпензоров, транспонирование, сил<метрирование и альтернирование тензора по некоторому множеству нижних или верхних индексов. Вообще говоря, тензор, полученный в результате некоторой алгебраической операции, обозначается новой буквой.
Так, тензор, полученный транспонированием тензора ачп можно обозначить 6<»; при этом для всех компонент выполнено равенство 6<1 = а;. Операция снмметрирования обозначается заключением в круглые скобки тех индексов тензорз„по которым производится симметрирование. Если внутри скобок оказались индексы, по которым симметрировапия нет, эти иццексы выделяются прямыми чертами. Например, тенюр Ь<,ы = а<цй<ь«получается из а;,.ы симметрированием по индек< ам <, Е Аналогичное замечание можно сделать об операции вльеернирования, обозначаемой с помощью заключения в квадратные < кобки индексов, по которым производится альтернирование.
Умножение тензоров обозначается значком З или точкой. Умножение тенюров не коммутативно. Так, если а<у и 6»< — компоненты тензоров а н 6, то можно записать а З Ь = с, 6 З а = д; при этом с<у»< = а; Ьь<, <1<1ь< = 6<,аы. Тензоры с, д получаются один из другого транспонированием. В з 37 рассматриваются тензоры в и-мерном евклидовом пространстве б„. В б„определен метрическп<й тензор д.
Его компоненты в произвольном базисе еы ..., е„определяются через скалярные произведения базисных векторов формулой д;; = (еп е,). 'Гензор д— симметричный типа (О, 2); его компоненты образуют в каждом базисе матрицу Грама Г этого базиса. Матрица Г < определяет симметричный тензор д' типа (2, 0) — контравариантный метрический п<ензор пространства Е„.
Его компоненты обозначаются через д«. Имеют место формулы: д<ьдь = д', д<ьдьу = б1<. В ортонормированном базисе компоненты тензоров д<ь и д<" образуют единичные матрицы. В евклидовом пространстве определены операции поднятпия и опускания индекса. Для того чтобы у тензора можно было опустить индекс, необходимо, чтобы данный тензор имел хотя бы один верхний индекс.
В результате опускания индекса из тензора а получается новый тензор, у которого число нижних индексов увеличено на 1, а число верхних индексов уменьшено на 1 по сравнению с а. Новый 326 Гл. Ц. Тевзоры тензор во всех ортонормированных базисах имеет те же компонен ты, что и старый. Перечисленные требовании однозначно опреде ляют операцию опускания индекса. В неортонормированном базис< компоненты старого и нового тензоров уже не совпадают.
Аналогич. но определяется операция поднятия иццекса. Тензор,полученный из данного тензора в результате поднятия или опускания индекса, обозначается той же буквой, но с иным рас. положением индексов. Если некоторый верхний индекс появился вза. мен нижнего, то на месте исчезнувп|его индекса оставляется пропусэ или ставится точка, а вновь появившийся верхний индекс ставитс~ над ней. Порядок перечисления индексов в преобразованном тензор~ должен остаться тем же, что и в исходном, т. е. при упорядочиваню индексов вновь появившийся верхний индекс занимает место исчез. нувшего нижнего.
Прн этом обычное правило порядка (все верхние индексы раньше всех нижних) может быть нарушено. Точки отме. чают места нарушения. Для того чтобы опустить индекс у тензора а, заданного своими компонентами в произвольном базисе, можно вычислять свертку произведения а З д или д З а и, при необходимости, изменить поря. док индексов в полученном тензоре (транспонировать его матрицу) Аналогично, с помощью тензорных произведений а З д* и д*З а, осущесгвляется подъем индекса.
Поясним сказанное примерами. 1. Опускание индекса у тензора а', В результате опускания индекса должен получиться тензор типа (О, 2). Обычный порядок индексов у тензоров а'. н а,д совпадает, поэтому опускание индекса у тензора а приводит к тензору ау = дц,а . $ й 2. Подъем первого индекса у тензора а,у аналогичен: ~ь ь| а =д аьу=аь д 3. Поднимем второй индекс у тензора а;., т. е. вычислим тензор а;~.
Вычисляя компоненты свертки агьдзь = У; по обычным правилам, индекс ~' считаем первым, ю — вторым. В тензоре а,~ индекс г— первый, д — второй (при тех же значениях компонент). Матрица тензора а,~ транспонирована по отношению к матрице тензора 6~. 4. Аналогично, тензор а'ь может быть вычислен как свертка ан" д~, но при записи его матрицы порядок индексов должен быть таким: в, у, Й.
В некоторых задачах используются ориентация п-мерного евклидова пространства и дискриминантнмй таензор. Приведем их определения. Все базисы пространства Е„могут быть разделены на два класса так, что детерминант матрицы перехода от любого базиса из одного класса к базису из другого класса отрицателен, а детерминант матрицы перехода, связывающей два базиса из одного класса, положителен. В пространстве б„задана орвентвация, если Гл. 14. Тензорм 327 выбран один из двух классов базисов. По аналогии с трехмерным случаем базисы этого класса можно называть правыми, а базисы другого класса — левыми.
Ориентацию пространства можно задать, например, выбрав один какой-нибудь базис в качестве представители правых базисов. Если ориентация выбрана, пространство называется ориентированным. Дискриминантный тензор в ориентированном евклццовом пространстве определяется как тензор типа (О, и), имеющий в некотором правом ортонормированном базисе координаты О, если среди значений индексов есть равные, (-1) !" "'"!, если значения индексов попарно различны. '!ерез Ж(е1 ... 1„) обозначено число нарушений порядка в перестановке (11 ... 1„). Пользуясь законом преобразования компонент, мы можем найти компоненты дискриминантного тензора в любом базисе.
В частности, его компоненты в любом правом ортонормированном базисе те же, что и в исходном. В 3 38 используются следующие понятия: поливектор (р-вектор), онешняз форма степени о (г7-форма), простой (розлолсиммй) нолиеевтор, разложимаа внешняя форма. Теоремы и определения, касающиеся поливекторов, совершенно аналогичны теоремам и определениям, касающимся внешних форм. Поэтому задачи, сформулированные для поливекторов, могут быть поставлены и для внешних форм, и наоборот.
Под внешним произведением внешних форм и и и степеней р и о понимается их тензорное произведение, альтернированное по всем индексам и умноженное на число (р+ д)!/(р(д!). Оно обозначается и Л и. Аналогично определяется внешнее произведение поливекторов. Разложимый р-вектор представим в виде и = х1 Л ... Л хр, где хм .,., хр — векторы. Внешнее произведение линейно по каждому сомножителю. В силу этого для данного р-вектора и множество таких векторов х, для которых и Л х = о, является линейным подпространством ь.
Говорят, что надпространство ь" определяется (или порождается) р-вектором и. В задачах этого параграфа мы, если не оговорено противное, задаем поливекторы (и внешние формы) с помощью их существенных компонент — тех компонент и"-', для которых значения индексов удовлетворяют условию г1 < ев «... 1р (остальные компоненты поливектора и определяются по существенным с помощью условий антисимметрии).
Существенные компоненты мы будем располагать в столбец или строку в лексикографическом порядке: компонента и" " ' располагается перед и" -', если для некоторого з) 1 выполнено !1 = ум...,1, 1 — — у, ы 1, < у,. Например, бивекто- 328 Гл. Ц. Тензори ру (2-вектору) в С4 соответствует столбец существенных компонен (игг игз и14, игз иг4 из4)т, а 3-форме в С, соответствуег строк (Бгз Лгл Лзз Ьз4).
Под значением д-формы 1 на системе д векторов хг,..., х понимается свертка произведения 1®хг З...®х . В частности 2-форма определяет билинейную функцию, матрица которой в лю бом базисе кососимметрячна: с1сг' тГ Рт Матрица Р называется матряцей 2-формы в рассматриваемом баэи се. 8 35. Определение тензора. Тензорные обозначения, пространственные матрицы 35.1. Пусть С1, Сг и ц1, цг — координаты векторов х и у 1 произвольном базисе двумерного линейного пространства. Сопоставим этому базису числа: 1 1 ц р1+б', 2) б1+ 1', 3) Как изменяются эти числа при замене базиса? Проверьте, является ли каждая из данных величин тензором.
35.2. Сопоставим каждому базису в линейном пространстве С„: 1) число 1; 2) упорядоченный набор чисел 1, ..., гг. Будет ли данное соответствие тензором? Инвариантом? 35.3. Пусть у — линейное преобразование линейного пространства .Сз. Обозначим через А = )~ а'. ~~ его матрицу в произвольном базисе и сопоставим этому базису число: 1) де1А; 2) совс1еЬА; 3) К8А; 4) 1(еФА А; 5) а11+агг, 6) а11+агг+озз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
