1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 60
Текст из файла (страница 60)
314 Гл. 1в. Аффиипере и точеиирее евилидовер проерпрапетпва 33.32. Доказать, что две прямые в четырехмерном пространстве, заданные уравнениями х = сгаэ + Фс1эг и х = сгю + + Фсгэм имеют единственную общую точку. Найти координаты этой точки и составить уравнения двумерной плоскости, содержащей данные прямые. ЗЗ.ЗЗ. Точками аффннного пространства являются мно- 4, «р :р,(4(р,(4(=р.(4(-р,(4(.ер р рр точки 21 — 2е и 1 +1 — 1, вторая прямая содержит точки 4 4 3 5+ 10ег + 2ез и -1 — 2гг + 2ез. Доказать, что эти прямые имеют единственную общую точку, и найти эту точку 1многочлен).
33.34. Составить параметрические уравнения прямой в четырехмерном пространстве, содержащей точку с координатным столбцом сгы н пересекающей прямые х = сг1г+ гсгэг и х = српз + есг1о( найти координаты точек пересечения. 33.35. Система точек Аы ..., Аы Вм ..., В независима. Доказать, что существуют непересекающиеся плоскости 1 и п1 размерностей Й вЂ” 1 и у — 1 соответственно такие, что плоскость 1 содержит точки Ам ..., Аы а плоскость т содержит точки Вм, Вз. 33.36. Пусть 1 и пг — плоскости аффинного пространства такие, что пространство векторов аффинного пространства является прямой суммой направляющих подпространств е, и М этих плоскостей.
Доказать,что: 1) проекция любой точки аффинного пространства на плоскость 1 параллельно плоскости гп определена однозначно; 2) проекция любого вектора АВ на плоскость 1 параллельно плоскости пг является проекцией этого вектора на подпространство е'. параллельно подпространству М.
33.37. Найти координаты проекции точки М(5, О, — 3, 4) четырехмерного пространства: 1) на гиперплоскость х(+ хг — хз+ 2хл = 2 параллельно прямой х1 = 1 — Ф4 хг = 3+ 414 хз = 314 х4 = 1 + г; 2) на двумерную плоскость х1 - хг + хз + 1 = О, х1+ хг = х4 параллельно двумерной плоскости хг + хг + хз + х4 = О, х1— — 2х4 — 3 = О. 33.
38. Является лн вьптуклым множество точек в п-мерном аффинном пространстве 1п = 1, 2, ...), координаты хм ..., х„ которых в декартовой системе координат удоалетворяют условию: у з4'. Точечные еехлидоеы нростаранстпва 315 * 1) атхт + ... + а х„ + ао = О; " 2) атхт + ... + а х„ + ао > 0; ., 4) Лтх, + ...
+ Л„х„ > 1, где Л; > О, 4 = 1, ..., и; 5) хд > О, хз > О, ..., х > 0; б) хтхз ... х > О? 33.39. Доказать выпуклость /с-мерного параллелепипеда. 33.40. Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством. 33.41. Найти проекцию четырехмерного симплекса, ограниченного гиперплоскостями хт = О, хз = О, хз = О, х4 = 0 и хт+ хо+ ха+ х4 = 1, на гиперплоскость хт + хо+ ха +х4 — 0 параллельно прямой хт = хг = хз = х4 33.42.
Доказать, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, называемой центром параллелепипеда. 33.43. Для?с-мерного параллелепипеда найти число: 1) различных р-мерных граней; 2) различных диагоналей. 33.44. Определить форму и вершины сечений четырехмер( ио о параллелепипеда — 1 < х, < 1, 1 = 1, 2, 3, 4, гиперплоско' ю х1 + хз + хз + х4 = О. 3 34. Точечные евклпдовы пространства В этом параграфе используются следующие основные понятия: точечное евклидова пространство, расстояние между точками, декартова прямоугольная систпсма координат, ортогональные ороекции точки и вектора на влоскость, правильный симплекс, прямоугольный параллелепипед, й-мерный куб, обеем й-мерного параллелепипеда, сфера, центр и радиус сферы, расстояние между двумя множествами, угол между вектором и плоскостью, между прямой и плоскостью, угол между двумя нлосхостпями.
Декартова система координат О, е называется декартовой прямоугольной системой координат, если базис е ортонормированный. Ортаогональной щюехпией точки А на плоскость ш с направляющим подпространством М называется проекция точки А на ш параллельно Мг.. Аналогично определяется ортогональная проекция Ат Вт вектора АВ на плоскость ш. Правильным симплексом в точечном евклидовом пространстве называется симплекс, у которого длины всех ребер равны между собой. Параллелепипед П(Ас, 'Ут, ..., гь) называется прямоугольным, если система векторов ут, ..., уь ортогональная; тс-мерный прямоугольный параллелепипед называется х-мерным кубом, если длины всех его ребер равны между собой.
316 Гл. 1У. Аффинные и точечные евклидова пространства СФерой с центром в точке Аа и радиусом В > 0 точечного евклидова пространства называется множество точек (А:! )АеА~ = В). Расстоянием между двумя множествами АА и Л точечного евклидова пространства называется величина лем, вел~ ~ Углом между ненулевым векгпором и плоскостью ю называется угол между этим вектором и направляющим подпространством плоскости т.
Углом между прямой 1 и плоскостъи ш называется угол межлу направляющим вектором прямой 1 и направляющим подпрострапством плоскости т. Углом между двумя плоскостями называется угол между направляющими подпространствэми этих плоскостей. В задачах Э 34 координаты векторов задаются в ортонормврованном базисе, а координаты точек — в декартовой прямоугольной системе координат. 34.1. Проверить, что расстояние р(А, В) между точками А и В в точечном евклидовом пространстве обладает следующими свойствами: 1) р(А, В) = р (В, А) для любых точек А и В; 2) р (А, В) < р (А, С) + р (В, С) для любых точек А, В, С; 3) для любой точки С такой, что АС = ЛАЕ1, выполняется равенство р(А, С) = /Л$ р(А, В).
34.2. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника АВС, заданного координатами вергпин: 1) А (- 1, О, -1, 2), В (О, 2, О, 3), С (2, 1, 1, 2); 2) А(1,2,2,-Ц, 'В(3,0,3,-1), С(2,1,1,0); 3) А (О, 1, -1, 2, -1), В (4, 1, 1, 2, 3), С (3, 4, 2, 5, -1). 34.3. Доказать, что множеством точек, равноудаленных от двух заданных различных точек А и В, является гиперплоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку. 34.4.
Найти центр и радиус сферы, описанной около четырехмерного симплекса, заданного координатами вершин: 1)Ае(4, — 2 — 1 — 1) А1(1 1,2 2) Аэ.(3 1 0,0), Аз (О, 2, 3, — 1), А4 (1, — 5, — 4, 2); 2) Ае (3, 3, 1, -1), А1 (1, 3, 3, 1), Аэ (О, 3, 4, -1), Аз (2, 1, 2, 3), А4 (2, 3, О, 1). 34.5. Гиперплоскость гп в четырехмерном точечном евклидовом пространстве содержит тетраэдр, заданный координатами своих вершин: А1(4, 4, — 1, 1), Аэ( — 2, -8, — 5, 1), з о4. Точечные евклидовы пространства 317 Аз (3, 3, 1, 3), А4 (1, -2, 4, 1).
Гнперплоскостып рассматривается как трехмерное точечное евклидово пространство. Найти в зтом пространстве центр и радиус сферы, описанной около данного тетраздра. 34.6. Доказать, что расстояние от точки А до 1с-мерной плоскости щ равно: 1) расстоянию между точкой А и ее ортогональной проекцией на щ; 2) длине ортогональной составляющей вектора АБ (В— произвольная точка из щ) относительно направляющего подпространства плоскости щ. 34.7. Пусть 1 и щ — плоскости с направляющими подпространствами Е и М соответственно, проходящие: 1 — через точку А и щ — через точку В. Доказать, что расстояние между плоскостями 1 и щ равно длине ортогональной составляющей вектора АВ относительно подпространства С+ М. 34.8. Гиперплоскость т задана уравнением а1х1 +...
... + а„х„+ ав = О. Доказать, что: 1) вектор с координатным столбцом (ам..., а )т ортогонален тп; 2) расстояние от точки А (ум ..., у„) до щ равно 34.9. Точка А задана координатами, гиперплоскость т— уравнением. Найти расстояние от А до пт, если: ,1) А (9, 2, — 3, 1), пк Зх1+ хз — хз — 5х4+ 3 = О; 2) А(1, — З,О, — 2,4), пк 2х1 — бхз+хз+Зх4+5хв — 7=0. ~ 34.10.
Составить уравнение гиперплоскости, параллельной гиперплоскости т и расположенной от тп на заданном расстоянии с1, если: 1) пп 5х1+ 2хз — 4хз+ 2х4 = 3, с1 = 2; 2) пк х1 — 4хз+2хз+ 2х4 = 4, с1 = 5; 3) гп: 2х1 — хз — хз + х4+ Зхз = — 5, с1 = 3. 34.11. Найти ортогональную проекцию точки А на гиперплоскостып: 1) А (7, — 1, 6, 1), пп Зх1 — хз + 2хз + х4 = 5; 2) А (1, 2, 8, — 2), пп 2х1 — 2хз + х4 = 11; 3) А(3, О, — 1, 2, 6), пп 5х1+ Зхз — 2хз — х4+ 4хз = — 16.
318 Гл. 1о. Аффиннне и точечные евнлидовн пространства 34.12. Точки А и В заданы своими координатами. Найти ортогональную проекцию вектора АВ на гиперплоскость гп, 1) А( — 3,0,1,3), В(5,2,2,3), пк 2Х1+хг — Х4=3; 2) А (3, 3, -8, -3, 4), В (3, 2, -1, -2, 2), пк Х1 + хг— — 2хз+ хе+ хз = 5. 34.13. Найти отношение длины ортогональной проекции произвольного ребра и-мерного куба на его диагональ к длине диагонали.
34.14. Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно гиперплоскости ш: 1) А(5, 5, 3, 3), ш: 2х1+ Зхг + хз+ 2Х4+ 2 = О; 2) А(3, 5, — 3, 5), пк хг — Зхг+4хз — бх4 — 2 = 0; 3) А(3, 6, 3, 8, 1), пк Х1 — хг — 2Х4+2хз — 3 = О. 34.15. Найти ортогональную проекцию точки А на прямую 1: 1) А(1,— 5,2,0); 1: хе=4+1, хг=З+2с, хз= — 3 — ~, хе=7+ЗЗ; 2) А( — 2,1,4,2); 1: Х1= — 3+21, хг = 3 — Ф, хз =-1+1, хе = -3+1; 3) А (2, 4, 3, -1, 1); 1: Х1 = 2 — 21, хг = -1 + 31, хз = = — 1+ 21, х4 = 2+ З, хз = — Ф. 34.16.
Точка А не принадлежит плоскости ш. Доказать, что существует единственная прямая, проходящая через точку А, пересекающая ш и перпендикулярная к ш. 34.17. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А на' прямую 1: 1) А(1,— 3,— 2,4); 1: х1=4+ЗЗ, хг=2+1, ха=3+1, х4 = — 1 — з; 2) А (1, -3, -1, 3); 1: х1 = 2 + $, хг = 1 — 2З, хз = -1 + +21, Х4=1; 3)А(4 О 1 1) 1)> 1: х1=1, хг=З вЂ” 2Ф, хз= — 2+1, х4= 3+2$, хз=а 34.18. Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно прямой 1: 1) А (4, 1, -1, -1), 1 — прямая задачи 34.15, 1); 2) А (2, 5, — 3, — 2), 1 — прямая задачи 34.15, 2).
34.19. Найти угол между вектором, заданным координатным столбцом а, и гиперплоскостью ш, если: 1) а = (О, 1, О, 1)~, пк Зх1 — хг+ хз — бх4 = 2; З о4. Точечт>тве евклидовы ироетирвттетпва 313 2) а = (1, -1, 1, 1)~, пп Зхт — хг+ 2хз+ 2Х4 = 5; ,3) а= (1, — 3,2, — 1, — 1)~, пк хт+хг — 2хз+ЗХ4 — хе =1. '34.20. Найти угол между прямыми 14 и 1г, если: 1) 11.' х4 = 4+1) хг = — 2$) хз = 1 — 1) Х4 = 2; 1г. 'Хт = 3) хг = г) хз = 5+ е) х4 = — 1~ 2) 11. Хт = 1+1) хг = 2+1) хз = 3+1) х4 = 21, хз = 1г: хт = в, хг = 5, хз = -1+8, х4 = 3 — 21, хз = = 2$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
