1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Линейные функции бо, бм ..., б„определены на пространстве РОО равенствами бь(р) = — „(й = О, 1, ..., и). 1'(р) С=Со Доказать, что функции бо, бд, ..., б„линейно независимы. 31.28. Функции бо, бм ..., б„определены так же, как в задаче 31.27. Доказать, что произвольная линейная функция, заданная на пространстве Р1"1, может быть разложена в линейную комбинацию функций бь (й = О, 1, ..., и). 31.29.
Пусть в базисе ем ег, ез линейная функция Г выражается через координаты ~м (г, Сз вектора х формулой Г (х) = = (~ + 2сг + Зсз Какой формулой выражается Г (х) через координаты х в базисе е~ — — ег + ео, е~ — — еэ + ез, ез — — ез + е~? 31.30. Доказать, что всякую ненулевую линейную функцию 1 на Е„подходящим выбором базиса в Е„можно привести к виду Г (х) = (и где 5 — первая координата вектора х.
10 — !п5 290 Гл. 12. Функции на линейном нуостуанетее 31.31. В базисе е линейная функция ( имеет строку ко- эффициентов и. Найти ее строку коэффициентов и' в базисе е' = еЯ, если: 1) ге=сэг~ Я=Аго~; 2) ге= се4 Я=Агог', т 3) ж= сев, Я = Агоз; 4) ге= сы, Я = Агее т т 31.32. Функции ~он ~рг, ~рз, определенные в задаче 31.23, а также функции ее, бм Бг, определенные с помощью формул ЫР) = — ь, ?е = О, 1, 2, ~ь( ) ю=г образуют пару базисов в пространстве Р<4*.
Выписать форму- лы перехода от первого базиса ко второму. Биортогоиальиый базис (31.33 — 31.42) 31.33. 1) Многочлены 1, 1, ..., 1" образуют базис в пространстве Р(">. Найти соответствующий биортогональный базис. 2) Многочлены 1, 1 — 1е,..., (1 — 1о)" образуют базис в пространстве Р1"~. Найти соответствующий биортогональный базис. 31.34.
Как преобразуется биортогональный базис, если данный базис преобразуется матрицей перехода Я? 31.33. 1) Пусть базису ег, ег, ез пространства Ез биортогонален базис Гм Гг, Гз пространства Е~. Найти базис, биортогонэльный базису е~ = ег + ег, ег — — ег+ ез, е~э — — ез. 2) В четырехмерном арифметическом пространстве столбцы матрицы Аезз образуют базис. Найти строки коэффициентов элементов биортогонального базиса.
31.36. Построить базис пространства Р(г1, биортогонэльный базису из функций ум ~рг, <рз, определенных в задаче 31.23. 31.37. Найти базис пространства Р("1, биортогональный базису из функций уы <рг, ..., <Р„+~, построенному в задачах 31.21, 31.22. Вычислить координаты произвольного многочлена в найденном базисе. 31.38. Построить базис пространства Р(г~, биортогональный базису из функций бэ, бг, бг, определенных в задаче 31.32. 31.39.
Пусть ем ..., е„— базис в пространстве Е„, а (и ..., 1' — биортогональный ему базис в Е*„. Доказать, что для всех х Е Е„выполнено равенство 292 Гл. 1З. Функции на линейном пространстве 31.48. Подпространство Л/ в Сз задано в некотором базисе как линейная оболочка векторов с координатными столбцами (О, О, 1, 1, 1)~ и (О, 1, О, О, 1)~. Найти в том же базисе координатные строки всех линейных функций, обращающихся в О на ЛГ.
31.49. Подпространство Л/ с Р(е) задано как множество всех многочленов вида (1 — 1)(1 — 2)~ р(1), где р Я Е Р(з). Найти множество линейных функций, определенных на Р(е) и обращающихся в О на ЛГ. 31.50. Пусть Гм ..., ть и т" линейные функции на линейном пространстве Е, и Л/ — множество таких векторов из Е, что 11 (х) =...
= Гь (х) = О. Доказать, что 1 раскладывается по Гм ..., ~ь тогда и только тогда, когда Г (х) = О для всех х нз Лт'. 5 32. Билинейные и квадратичные функции В этом параграфе используются следующие основные понятия: билинейная и квадратпичная функции, сиымгтричная билинейная функция, матрица билинейной или квадратичной функции (билинейной или квадратпичной формы), диагональная и каноническая формы билинейной (квадратичной) функции, положительно и отрицательно определенные квадратпичкые функции, главные (угловые) миноры симметрической матрицы, ранг и индекс квадратпичкой функции (формы), присоединенное преобразование билинейкой функции в евклядовом пространстве; эрмитэва билинейная (полуторалинейная) функция (форма) в комплексном пространстве, эрмитова симметпричная (эрмятова) функция, квадратичная эрмитпова функция (форма) .
Пусть С вЂ” вещественное или комплексное линейное пространство. Функция двух переменных Ь (х, у) со значениями в поле, над которым определено пространство .С, называется билинейной функцией в пространстве С, если Ъ(х+ у, г) = Ь(х, г) + Ь(у, г), Ъ (х, у+ г) = Ь (х, у) + Ъ (х, г), Ь (стх, Ву) = ттВЪ(х, у) для любых векторов х, у, г иэ С н чисел тт,;9. Билинейная функция Ъ называется симметричной, если Ъ(х, у) = = Ь(у, х) для любых векторов х, у й .С. Пусть Ь симметрична.
Тогда функция й(х) = Ь (х, х) называется квадратичной функцией, порожденной Ь. По данной квадратичной функции порождающая ее симметричная билинейная функция восстанавливается однозначно. Пусть ем ..., е„— базис в С. Числа Ь,. = Ь(е;,е ) (1,1 = = 1,..., и) называются коэффицигнтпами, а матрица В = ))Ь; )!— матприцей билинейной функции в этом базисе.
У симметричных у Ы. Билинейные и кеадрагличнме функции 293 функций и только у них матрицы симметричны (В = В ). Мок»рицей квадро«личной функции называется матрица порождающей ее симметричной билинейной функции. Значения функций Ь(х, у) и Ы (х) выражаются через координатные столбцы й и 11 векторов х и у по формулам и Ъ(х, у) = йтВц = ~ ЬЯ;тангэ а,1=1 и й(х) = к*Вы = ',> Ьг,б,б,. а,1=1 (2) Формой степени п» от переменных С1, ..., ('„называется однородный многочлен степени т от С1, ..., ~„.
Ввиду этого выражения (1) и (2) билинейной и квадратичной функций в координатах называются соответственно билинейной и квадрагличной формами. Матрица из коэффициентов В = ((6,1'9 называется также матрицей билинейной (квадратичной) формы.
Пусть Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису е', а В и В'— матрицы билинейной функции в этих базисах. Тогда В' — БТВБ (3) Билинейная форма е«~,«11 ° =1 и квадратичная форма п г егс, »=1 называются диагональными. Если коэффипденты г1,..., г„диагональной формы равны х1 или О, то она называется канонической. Для каждой симметричной билинейной (квадратичной) функции в вещественном и-мерном линейном пространстве существует базис, в котором соответствующая билинейная (квадратичная) форма является канонической. Привести билинейную (квадратичную) функцию к диагональному или каноническому виду — значит, найти такую форму и соответствующий ей базис (или формулы замены координат). Употребительно также выражение «привести билинейную (квадратичную) форму к диагональному или к каноническому виду».
Закон инерции квадратичных форм состоит в том, что число положительных коэффициентов р и число отрицательных коэффициентов д в канонической квадратичной форме не зависит от базиса, в котором функция й приведена к каноническому виду. Эти числа 294 Гл. 12. Функции на линейном пространстве называются полооссительным и отрицательным индексами инерции Е Не зависят от базиса и числа г = р+ о и о = р — о, называемые соответственно рангом и сигнагпурой квадратичной функции.
В произвольном базисе Вй В = т Для приведения квадратичной формы к каноническому виду применяется метод выделения квадратов (метод Лагранжа). Можно использовать также элементарные преобразования матрицы квадратичной формы. При этом после каждого элементарного преобразования строк матрицы необходимо выполнить такое же преобразование столбцов. Для того, чтобы получить матрипу перехода к каноническому базису, нужно проделать те же элементарные преобразования со столбцами единичной матрицы.
Квадратичная функция 1с(х) называется полооссительно (отрицательно) определенной, если 1с(х) > 0 (соответственно )с(х) < 0) для всех х из Е, отличных от о. Если 1с(х) > 0 (1с(х) < 0) для всех х е Е, то функция 1с(х) называется полуопределенной — неотрицательной (соответственно, непололсительной). Такие же термины применяются для квадратичной формы, служащей координатной записью квадратичной функции.
Для положительной определенности квадратичной формы с матрицей В = ()бсу 9 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры схь матрицы В были положительными: ь ... ь йсг= ........... >О, 1=1,...,п (4) ь ... ь (критерий Сильвестра) . Пусть Ь (х, у) — симметричная билинейная функция в евклидовом пространстве Е. Линейное преобразование со пространства Е называется присоединенным к функции Ъ (х, у), если для всех х, у й Е: Ь (х, у) = (х, ~р (у)). Присоединенное преобразование является само- сопряженным. Преобразование, присоединенное к билинейной функции, называется также присоединенным к квадратичной функции 1с(х) = Ь(х, х).
Для любой симметричной билинейной функции Ь (х, у) (и квадратичной функции )с(х)) в свклидовом пространстве Е„существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид: ь / и Ь (, у) = ~ Л;Е,т ~ Ц*) = ~ ЛД,' с=1 а=с Векторы такого базиса являются собственными векторами присоединенного преобразования, а коэффициенты Л, — его собственными значениями. С помощью ортогональной матрицы перехода можно привести к диагональному виду билинейную н квадратичную функцию в произвольном конечномерном линейном пространстве Е. Для этого в Е следует ввести скалярное произведение, относительно которого исходный базис е является ортонормированным, и найти ортонорми- у Яз. Билинейные и квадратичные функции рованный базис е' из собственных векторов присоединенного преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
