1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Доказать, что для любой комплексной матрицы КЗАтА = КЗА, 27.21. Выбрать из банка унитарные матрицы, не являю- щиесяК вещественными ортогональными матрицами. 27.22. Написать какую-нибудь унитарную матрицу третьего порядка. 27.23. Описать все треугольные унитарные матрицы. 27.24. Может ли унитарная матрица четвертого порядка содержать строку: 1) )~4 — 4 г — г~(; 2) ~~ — О 0 — )~; ' 27.25.
Пусть А и  — вещественные квадратные матрицы порядка н. Из них можно составить комплексную матрицу С = = А+ гВ и вещественную матрицу порядка 2п .=~4% Доказать, что 264 Гл. 10. Еоклидооаа и унитарааие иространстоа 1) С эрмитова тогда и только тогда, когда В симметрична; 2) С унитарна тогда и только тогда, когда О ортогональна. Ортогональность 27.26. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортого- нальном дополнении надпространства, заданного системой ли- нейных уравнений; 1) ха+зхз=О; 2) ха + зхз + (1 — з)хз = 0; — зха + (2+ з)хг — хз = 0; 3) однородная система с матрицей Аззз1 4) однородная система с матрицей Аззз, 5) однородная система с матрнцей Аззз. 27.27. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортого- нальном дополнении надпространства, натянутого на следую- щие векторы: 1) )(1 а((; 2) 5-а 1 1+зи'; 3) ~~1 -з 1((, '3а 1 0((; 4) столбцы матрицы Аззз; 5) столбцы матрицы Аззз, 27.28.
При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке заданных век- торов комплексного арифметического пространства со стан- дартным скалярным произведением: 1) (~1 з'5, (~1 1)(; 2) ))2 — а з(), )(4 — з 2 — За 3; 3) !)1 а 1(), 32 — з а — 1 20; 4 ) )) 1 з 1 )! )( а 1 0 (! )( — 1 0 1 0 . 5) 0 1+ а 2 + з 1 — а ((, )! — 2 4+ а 1 — а (), () 1 2 + з 2 — з ~( . 27.29. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти ортогональную проекцию вектора х на линейную оболочку векторов аа, ..., аа: 1) х=!)1 — а)(, а=((1 — 10; 2) х=)(2+а 0 2 — а(~, а=3-1 з 1+а)); 3) х=((2+з а 2 — ай, аа =(~1 а 1~), аз ='Иа 0 — а~~; 4) х=))1+з 1+а 1)(, аа =() — 1 а 1)( аз =!|1+а 1 — а 0)(; 5) х = сазе, аз = саз4, аз = сазз.
Глава 11 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВНЛИДОВЫХ И з'НИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ В втой главе использукггся следующие основные понятия: преобразование, сопрязюенное данному линейному преобразованию, самосопряженное преобразование, ортогональное преобразование, нормальное преобразование, унитарное преобразование, полярное разложение линейного преобразования, сингулярные числа преобразованил, сингулярные базисы преобразования. Определения ортогонального проектирования и ортогонального отражения даны во введении к гл. 10. Везде, где не оговорено противное, отражение и проектирование будут предполагаться ортогональными.
Преобразование ~р' называется сопряженным линейному преобразованию ю, если для любых векторов х и у выполнено равенство (~о(х), у) = (х, у'(у))- У каждого преобразования существует единственное сопряженное преобразование. Его матрица в базисе е определяется по матрице А преобразования ю формулой А* = Г гА Г, если пространство евклидова, и формулой А' = Г зАтГ в унитарном пространстве. Г здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если базис ортонормированный, эти формулы принимают, соответственно, вид А' = Ат и А* = Ат.
Линейное преобразование у как в евклидовом, так и в унитарном пространстве называетсн самосопряженным, если ю = ~р*. В ортонормированном базисе его матрица симметрична в случае евклидова пространства и эрмитова в случае унитарного. Все корни характеристического уравнении самосопряженного преобразования вещественны, и существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Самосопряженное преобразование ю называется положительным (неотрицательным), если (у(х), х) > 0 (соответственно > О) для любого ненулевого вектора х.
Линейное преобразование ~р евклидова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение: М(х) ~о(у)) = (х, у). В унитарном пространстве преобразования, сохраняющие скалярное произведение, называются унитарными. В ортонормироваином базисе матрица ортогонального преобразования является ортогональной, а унитарного преобразования — унитарной. Сопряженное для ортогонального или унитарного преобразования является ему обратным.
266 Гл. 11. Преобразования евклидовых и унитарных пространств Если х — ортогональное преобразование, то найдется ортонормированный базис, в котором его матрица имеет следующий вид: на ее главной диагонали расположены либо числа +1 и — 1, либо подматрицы второго порядка, а остальные элементы матрицы равны нулю. При этом подматрицы второго порядка имеют вид ! сова — вша вше сова то есть, являются матрицами поворота плоскости в ортонормированном базисе.
Базис, в котором матрица ортогонального преобразования имеет описанный выше вид, называется каноническим базисом. Линейное преобразование, перестановочное со своим сопряженным, называется нормальным. Соответственно, матрица А называется нормальной, если ЛлА = ЛЛП.
Самосопряженные и унитарные преобразования являются нормальными. Если вг — нормальное преобразование унитарного пространства, то существует ортонормированный базис из собственных векторов у. В частности, это относится к унитарным преобразованиям. Для евклидова пространства аналогичное утверждение не верно. Например, у ортогонального преобразования в общем случае базиса из собственных векторов нет. Линейное преобразование х евклидова пространства может быть разложено в произведение Оф, где 0 — ортогональное, а ф— неотрицательное самосопряженное преобразование.
Такое разложение у называется полярным разложением. Собственные значения преобразования ф носят название сингулярных чисел преобразования ~о. Ортонормированный базис из собственных векторов ф и его образ при преобразовании 0 — это сингулярные базисы преобразования ~о. В некоторых задачах решение не единственно, например, искомый базис определен не однозначно. В таких случаях приводится один из возможных ответов. В З 28 и 8 29 пространство предполагается евклидовым, а в З 30— унитарным. 5 28.
Примеры линейных преобразований евклидова пространства. Сопряженное преобразование Примеры (28.1 — 28.9) 28.1. Пусть аы ..., аь — ортонормированный базис в подпространстве с, С Е. Координатные столбцы этих векторов в ортонормнрованном базисе е пространства Е составляют матрнпу А. Написать в базисе е матрицу 1) ортогонального проектирования на пространство х,; 2) матрицу отражения в подпространстве .С. З 88. Примеры преобразований евклидова пространства 267 28.2. Пусть ап ..., аь — базис в подпространстве Е С Е. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе е пространства Е составляют матрицу А. Написать в базисе е матрицу: 1) ортогонального проектирования на подпространство Е; 2) матрицу отражения в подпространстве Е.
28.3. Пусть ам ..., аь — базис в подпространстве Е с Е. Координатные столбцы этих векторов в базисе е пространства Е составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е. Написать в базисе е матрицу: 1) ортогонального проектирования на подпространство Е; 2) матрицу отражения в подпространстве Е. 28.4.
1) Дан вектор а, и подпространство Е С Е задано уравнением (а, х) = О. Найти образ вектора х при отражении в Е и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора а в ортонормированном базисе. 2) Пусть даны вектор х и вектор у длины 1. Найти (и — 1)- мерное подпространство, при отражении в котором х переходит в вектор Лу (Л ) О). Чему равно Л? 28.5. Найти матрипу отражения в (и — 1)-мерном подпространстве, переводящего вектор х в вектор у. Векторы заданы своими координатными столбцами Е, и ц в ортонормироваином базисе: 1) 5 = !! 1 2 !!, ц = !! 2 1 !! 2) ~= !! — 1 2 !!, ц = !! 1 — 2 !! 3) 5= !!1 1 1 !!т, ч = !!1 -1 1 !!т; 4) 5 = !! 2 1 -2 !!, ц = !! О 3 О !! 5) 5= !! 1 О 2 1 !!, ц= !! 2 -1 1 О !! 28.6.
Выяснить геометрический смысл преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей: 1) (1/2)Аззз; 2) (1/3)Азез, 3) (1/18)Аззсд 4) Аззо', 5) Аззд. 28.7. Рассматривается четырехмерное евклидова пространство и ортонормированный базис е в нем. Во всех случаях поворот производится в направлении от первого из указанных векторов ко второму. Написать матрицу: 1) поворота на к/2 в линейной оболочке Е векторов ез+ ез и е1 — е4 (векторы Е~ неподвижны); 2) поворота на к/4 в линейной оболочке Е векторов е1 + ез и ез — ез (векторы Е~- неподвижны); 268 Гл. 11. Преобразования евклидовых и унитарних пространств 3) поворота на х/6 в линейной оболочке Е векторов ег — еэ и ез — ев (векторы Е.с неподвижны); 4) поворота на я/4 в линейной оболочке Е векторов е1 + ео и ез+е4 и на я/4 в линейной оболочке Е векторов ез — ев и Е1 — ЕЭ.
28.8. Пусть /и ..., / и дп ..., д — две системы векторов в и-мерном евклидовом пространстве. Их координатные столбцы в ортонормированном базисе составляют, соответственно, матрицы г и С. Найти матрипу преобразования т у(х) = ~~ (х, /1)д1. 1=1 28.9. В подпространствах А, В С Е выбраны ортонормированные базисы ам ..., аь и бы ..., 6 . Вектор х е Апроектируется на В, а затем полученная проекция проектируется на А. Этим определено преобразование подпространства А. Найти его матрипу в базисе ам ..., аь. Доказать, что собственные значения этого преобразования принадлежат отрезку (О, Ц. Сопряженное преобразование (28.10 — 28.37) 28.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
