1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть х' — ортогональная проекция вектора х на подпространство Е. Доказать, что угол вектора х и подпространства С равен углу между х и х', если х' ф о, и равен к/2, если х' = о. 2) А = А404, взо р и = 4; 3) А = Азот, Г = А424. 26.52. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах 11, ..., уп, не превосходит произведения длин его ребер: 1'0 1)= е2ГУ " У )~!И' - !У !' и равенство имеет место тогда и только тогда, когда ребра попарно ортогональны.
, 26.53. Для квадратной матрицы А порядка ек 1) доказать неравенство Адамара п п !с1еФА! < Ц~~~ !овь! ); Я=1 1=1 2) выяснить условия, при которых неравенство Адамара выполнено как равенство; 3) выписать неравенспю Адамара для матрицы Апь Чем объясняется такая большая разница мел~ну правой н левой частью? 26.54. 1) Пусть е1, ..., е„— базис в евклидовом пространстве, и е'„'+, ..., е'„' — ортогональные проекции векторов ее+1,... ..., е„на ортогональное дополнение линейной оболочки е1, ..., еы Доказать, что 'е'(е1, ..., е„) = Ъ'(е1, ..., еь) 1'(е~,'+1, ..., е'„').
2) В п-мерном евклидовом пространстве дано подпространство Е и линейно независимые векторы а1, ..., ар. Обозначим а~, ..., ар ортогональные проекции этих векторов на Е. Доказать, что ЙеФГ (а1, ..., ар) > с1еФГ(а~1, ..., ар). 3) Доказать, что объем параллелепипеда е'(11, ..., 1 ), построенного на векторах ?1, ..., 1„, не превосходит произведЕНИя ОбЪЕМОВ Ъ'(11, ..., ?Ь) И Р'(~~,+1, ..., уп). 258 Гл. 10.
Евнлидовы и рннтарнне пространства Отражение (26.59-26.62) 26.59. Пусть ненулевые векторы х и а заданы их координатными столбцами Е и а соответственно, подпространство,С определяется уравнением (а, х) = О. Найти образ у при отражении вектора х в подпространстве с,: 1) Е,=!)1 18, а=81 08, базис ортонормированный; 2) С = сжо, а = с1ы, базис ортонормированный; 3) с=01 13, а=51 03, базис с матрицей Грама Арб 4) Е='82 2 1 — 1~(, а=31 1 0 08, базис с матрицей 4004 0440 0480 4008 Грама 26.60. В ортонормированном базисе подпространство л". задано системой линейных уравнений с матрицей А, а вектор х — координатным столбцом Е, Найти образ у при отражении вектора х в подпространстве Ю: 1) А=(~1 1 1)(, Е,=~~1 2 3~! 2) А=~~ 1 1, )~, Е,=~14 2 6~) 3) А=~)1 1 1 1 1~(, Е„=(~5 4 3 2 1(~; а =~в7 -5 9 4 и- 3 2 4 -1~~' Е,=в' — 2 4 2 Ов 4) А= 5) А= 26.56.
Пусть х' — ортогональная проекция вектора х на подпространство ь",и угол вектора х и подпространства Е равен ~р. Доказать, что сов~р = )х'~/)х!. 26. 57. Доказать, что сумма углов вектора х с подпространствами с. и Е~- равна я/2. 2 26.58. В ортонормированном базисе векторы х и /ы ..., /в заданы их координатными столбцами 5 и ~ры ..., ~рь. Найти угол между вектором х и подпространством Ю, натянутым на х н /ы ..., /ь: 1) Е, =8'1 2 1 28, ср1 ='85 0 — 4 28, сро =03 1 — 5 08 2) Е = )! 1 1 3 3 () , ярд = ~( -4 4 2 3 ~( , сро = () -5 2 1 0 )~ ; 3) Е,=~)2 6 2 6)~, ср1=~~0 — 1 — 1 1)~, ~р, =!)1 О 1 -Ц), р, =))-3 1 1 О~). з 26. Геометария ееилидова пространстааа 259 10 3 1 3 : 6) А= 4 1 0 1, Е,=~(8 -5 3 — 1(~ .
8311 26.61. При каком необходимом и достаточном условии вектор х можно перевести в вектор у с помощью отражения в (и — 1)-мерном подпространстве д".? Как найти такое подпространство, если условие выполнено? 26.62. Подобрать (и — 1)-мерное подпространство с, так, чтобы вектор х при отражении в нем перешел в данный вектор у. Векторы заданы в ортонормированном базисе их координатными столбцами Е и гр 1) Е,=))1 2~~, дд=)~2 1)~; 2) Г,=сдэз, й=сдэг, 3) Е=сдео, дд=сдзз 4) Е=сзоз дд =одев Линейные функции на евклидовом пространстве (26.63 — 26.?4) 26.63. Найти коэффипиенты линейной функции, присоединенной к данному вектору.
Вектор задан координатным столбцом а в базисе с матрицей Грама Г: 1) а=~)1 1 1)~, Г=Азэ4', 2) а=(~1 1 — 1~~, Г=Азез, 3) а=5 — 2 1 0'5, Г = Азег. 26.64. Найти координатный столбец вектора, присоединенного к данной линейной функции. Функдцдя задана строкой коэффициентов др в базисе с матрицей Грама Г: Ц др=))4 О 4)~, Г=Аэ4; 2) ср=~(4 О 2)~, Г=Азз', 3) ср = 0 3 5 3 Й> Г = Азот. 26.65. В пространстве квадратных матриц порядка и со скалярным произведением (Х, У) = ЕгХтУ найти вектор (матрицу) С, присоединенный к функции: 1) Е'(Х) =сгХ; 2) Е" (Х) = Е х6, 3) п=4и Е'(Х) равно элементу произведения матрицы А444 на Х, расположенному в первой строке и первом столбце.
26.66. В пространстве многочленов степени < 3 со стандартным скалярным произведением линейная функция сопоставляет многочлену р(Е) его свободный член р(0). Найти вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции. 26.67. В базисе е переставлены векторы. Как изменится его биортогональный базис? 260 Гл. 10. Евклидова и унитарние пространства 26.68. В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением столбцы «и ..., «„составляют базис. Найти соответствующий биортогональный базис: 1) «,=~~2 0~~', «,=~~0 3~)~; ) =!! !!' «.=!Р Ц!' 3) «1 =()1 3(( «а=~(2 5(~ 4) «,=)~11 Ц)', « =)~11 О~)", «з=))1 О О(!'.
26.69. В евклидовом пространстве в базисе е с матрицей Грама Г даны координаты векторов базиса Ь. Найти координаты векторов биортогонального базиса Ь'. 1) !)1 3)), ((2 5~), Г= Аш,' 2) 1~1 -Ц)', )~11~~~, Г=Аз,; 3) ~~1 0 0(~, ~~1 1 ОО, ~~1 1 10, Г= Азат; 4) 00 1 1(), )!1 2 10, ~! — 1 1 1)(, Г=Аззз. 26.70. В пространстве многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением найти базис, биортогональный базису 1, 1, Р.
26.71. Доказать, что координаты вектора х в базисе е можно вычислить по формулам ~' = (х, е,*), 1 = 1, ..., и, где е,' — векторы базиса, биортогонального е. 26.72. Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве можно вычислить по формуле 1х, у) = ( 01 +." ... + ("и„*, где (1, ..., «„— координаты вектора х в базисе е, а 01, ..., 0*„— координаты вектора у в биортогональном базисе е'. 26.73.
1) Найти матрипу перехода от базиса е к его биортогональному базису е*. 2~ Используя полученный результат, доказать, что Г ° = =Г 26.74. Пусть Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису Г. Найти матрицу перехода от базиса е", биортогонального е, к базису Г', биортогональному Г. й 27. 'Унитарные пространства Определение 27.1. Будет ли комплексное двумерное линейное пространство унитарным, если в нем задать скалярное произведение следующей функцией от координат векторов: г е7. Унитарные пространства 261 2) хгуг+хгуг; 4) хгу«+ хгуг.
«'.1) хгуг + хгуг; ." 3) хгуг+хгуг; 27.2. 1) Доказать, что функция Р(Х, У) = егХ~У может быть принята за унитарное скалярное произведение в пространстве комплексных матриц размеров т х и. 2) Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения.
3) Рассматривается пространство комплексных квадратных матриц порядка и, и каждой паре матриц сопоставлено число Р(Х, У) = егХФгУ. Может ли такая функция быть принята за унитарное скалярное произведение? 2Т.З. Унитарной нормой матрицы называется ее длина при скалярном произведении, определенном в задаче 27.2, 1). Доказать, что унитарная норма равна квадратному корню из суммы квадратов модулей всех элементов матрицы. 27.4.
Пусть е — базис в комплексном линейном пространстве Е. Доказать, что в Е существует одно и только одно унитарное скалярное произведение, относительно которого базис е — ортонормированный. 27.5. Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два унитарных скалярных произведения (х, у)1 и (х, у)г. Доказать, что для любых вещественных положительных чисел Л и р функция (х, у) = Л(х, у)1+ р(х, у)г — также унитарное скалярное произведение. 27.6. Доказать, что в унитарном пространстве равенства из задачи 25.13 выполняются не для любых пар векторов.
27.8. Доказать, что треугольник со сторонами х, у и с в унитарном пространстве прямоугольный, если )с! = (х(соз(х, е), и может не быть прямоугольным, если )е~ = (х~ соя(л,х). 27.9. Доказать, что в унитарном пространстве из (х, у) = 0 следует (х)г + )у~~ = (х + у(~. Что можно сказать о произведении (х, у), если последнее равенство выполнено? 2Т.Т. Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (х, у)г = (х, у)г и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (х, х)г = (х, х)г. Доказать, что скалярные произведения совпадают. 262 Гл.
10. Евиаидовы и унитарные простпранства Скалярное произведение в координатах (27.10-27.25 1) !!1 г!!, !!21 1!!, Г=!! 2) !!1+1 1!!, !!1 1 — г!!, Г=~ . !); 3) сао, С40 Г =.4в7, 4) саа, с4е, Г = Аэе ,' О 5) !!2+1 0 1+21!!, !!2 — 1 1 2+1!!, Г=И вЂ” 1 2 — 1и 2 1 О б) !!1 1 1!!, !!1 0 1!!, Г= -1 2 — 1 О 1 2 7) !! — 1 2+1 1!!, !!1 — 4 1+1!!, Г= 1+1 3 1~~ 2 1 — 1 О 8) !! — 2 1+а 1!!, !! — 2+а 1+1 1!!, Г= 1+1 3 Π— 1 2! 27.13. В задаче 27.12 для каждой пары векторов найтг длину первого вектора. 27.14.
Доказать, что эрмитова матрица Г может служит. матрицей Грама в унитарном пространстве тогда и тальк тогда, когда для любого ненулевого столбца Е выполненс К'ГХ > О. 27.15. Доказать, что квадратная матрица Г порядка и мжет служить матрицей Грама в и-мерном унитарном прострагстве тогда и только тогда, когда найдется такая невырождевная матрица Я, что Г = Я Я. 27.10, В комплексном арифметическом пространстве сс стандартным скалярным произведением найти скалярные пр— изведения векторов ) !! '!!' !!' !!' ) !!1'!!', !! '!!' 3) !!1+21 — 1+21!!, !!2 — 1 2+1!!; 4) !!1 г 1!!, !!г 1 4!! 5) !! 1+1 1+ г 1+ а !!, !! 1 — 4 1 — 1 1 — 1!!; б) С222, С223, '7) С221, С2И.
27.11. В задаче 27.10 для каждой пары векторов найтг длину первого вектора. 27.12. Найти скалярное произведение векторов унитарнсго пространства по их координатам в базисе е и матрице Гр.- ма Г этого базиса: з э7. Унитарные пространства 263 27.16. Выбрать из банка эрмитовы матрицы (за исключением вещественных симметричных) и среди них те, которые могут служить матрицами Грама в унитарном пространстве.
27.17. В матрице Грама некоторого базиса в унитарном пространстве все ненулевые элементы по модулю равны 1. Доказать, что базис ортонормированный. 27.18. В матрице Грама некоторого базиса: 1) ко всем элементам главной диагонали прибавили вещественное число ее; 2) к некоторым элементам главной диагонали прибавили положительное число ее; 3) переставили две строки; 4) переставили две строки, а также два столбца с теми же номерами, что и у строк. Осталась ли матрица эрмитовой, может ли она быть матрицей Грама какого-либо базиса? 27.19. Доказать, что детерминант матрицы, составленной из попарных скалярных произведений некоторой системы векторов — вещественное неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда эта система векторов линейно зависима. 27.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
