1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Это не будет каждый раз оговариваться. й 25. Скалярное произведение. Матрица Грама. Определение евклидова пространства (25.1 — 25.19) 25.1. Пусть и — фиксированный ненулевой вектор в геометрическом пространстве. Сопоставим произвольной паре векторов х, у: 1) смешанное произведение (и, х, у); д 2) скалярное произведение (х+и, у+и); 3) (и, х)(п, у); 4) /и/(х, у); 5) /х/!у!. Можно лн принять такую функцию за скалярное произведение? 242 Гл. 10. Евклидовн и унитараые пространства 25.2.
Может ли скалярное произведение в вещественном и-мерном линейном пространстве задаваться следующей функцией от координат векторов: 1) х1у1+2хзуз, а) п=2; б) и=3; 2) х1уг+хз, и=2; 3) Зх1У1 + 2х1уз+ хзу1 + хзуз, и = 2; 4) 2х1у1+х1уз+хгу1+2хзуз, и=2; 5) х1у1+2х1уз+Зхзу1+хзуз+хзуз, и= 3. 25.3 (р). На плоскости нарисован эллипс с полуосями 2 и 1. Пусть дан вектор х. Рассмотрим вектор хо, сонаправленный с х, начало которого — центр эллипса, а конец лежит на эллипсе.
Положим у(х) = ~х)Дхо(, и 1о(о) = О. Теперь произвольной паре векторов можно сопоставить число Р(х, у) = у (к+у) — у (х — у). Доказать, что этим определено скалярное произведение. Найти его выражение через координаты векторов в канонической системе координат эллипса. 25.4. 1) Доказать, что функция Р(Х, У) = ФгХ~У записывается через элементы матриц формулой (1) из введения и может бьггь принята за скалярное произведение в пространстве вещественных матриц размеров т х и. 2) Евклидовой нормой матрицы называется ее длина при этом скалярном произведении. Доказать, что евклидова норма равна квадратному корню из суммы квадратов всех элементов матрицы. 3) Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения.
25.5. Рассматривается пространство квадратных матриц порядна и, и каждой паре матриц сопоставлено число: 1) Р(Х, У) = ~гХУ; 2) Р(Х, У) = 1гХ~гУ; 3) Р(Х, У) = бе~ХУ. Может ли такая функция быть принята за скалярное произведение? 25.6. Пусть Р фиксированная квадратная матрица порядка т. При каких условиях на эту матрицу функция Г (Х, У) = ' = йгХ~РУ является скалярным произведением в линейном пространстве матриц размеров т х п? 25.7.
В линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке [ — 1, 1], функциям у и у сопоставляется число З во. Скалярное произведение. Мап1рииа Гуама 243 1 (У р) = У(~)Ий)~1 — 1 Доказать,что этим определено скалярное произведение. 25.8. В линейном пространстве многочленов степени не выше и двум многочленам р и д сопоставлено число Р(р, о).
Доказать, что этим определено скалярное произведение: 1 1) ~(р Ч) = р(~ИМ)Ф -1 2) г' — сумма произведений производных порядка к, вычисленных в точке ФО, Р (р, И = ,',' '"'МЧ'"'(1.); й=е 3) Р— сумма произведений коэффициентов при равных степенях, Р(р ю) =~~,ай%' й=о 4) à — сумма произведений значений р и д в т > и различных точках, э.. ПЪ ~(р ч) =,>,р(~й) я(~й); й=1 (Убедиться, что требование гп > и необходимо.) 25.9. Доказать, что в евклидовом пространстве из задачи 25.8,1) многочлены Лежандра ~й РО(~) =1, Рйф = —,,— „(Р— 1)" (й=1, ..., и) образуют ортогональный базис. Найти длины (нормы) этих многочленов. 25.10.
Пусть е — базис в линейном пространстве Е. Доказать, что в Е существует одно и только одно скалярное произведение, относительно которого базис е — ортонормированный. 25.11. Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (х, у)1 и (л, у)з. Доказать, что для любых положительных чисел Л и д функция (х, р) = = А (х, р)1+ д(к, у)з — также скалярное произведение. 244 Гл.
10. Евклидовм и унитарные пространства 25.12. Дано линейное пространство С вЂ” прямая сумма подпространств л.1 и л",2, в которых заданы скалярные произведения (х, у)1 и (х, у)2. Пусть х = х1+х2 и у = у1+у2, ГдЕ Х1, у1 Е 1;1, Х2, у2 Е л,2. ДОКаЗатЬ, ЧтО фуНКцИя (Х, у) = = (хп у1)1+ (х2,у2)2 есть скалярное произведение на Е. 25.13. Пусть ~х~ длина вектора х в евклидовом пространстве.
Доказать, что: 1 1) (х, у) = -(!х+у/~ — /х — у!~); 1 2) (х, у) = -Ох+у( — )х) — (у! ). 25.14. Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (х, у)1 и (х, у)2, и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (х, х)1 — — (х, х)2.
Доказать, что скалярные произведения совпадают. 25.15. В пространстве многочленов степени ( 3 со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами $, с~ и Ф вЂ” с~. Найти 1) углы треугольника; 1) длины его сторон. 25.16. Доказать, что треугольник в евклидовом пространстве прямоугольный тогда и только тогда, когда длина одной из сторон равна длине другой стороны, умноженной на косинус угла между этими сторонами. 25.17. Доказать, что медиана треугольника в евклндовом пространстве короче одной из сторон, между которыми она лежит. 25.18.
Доказать, что сумма углов произвольного треугольника в евклндовом пространстве равна 77. 25.19. Пусть л. конечномерное линейное пространство. Доказать, что выбор определенного изоморфизма ь" на его сопряженное л.' равносилен заданию скалярного произведения в л',.
Скалярное произведение в координатах (25.20 — 25.44) 25.20. В арифметическом пространстве со стаццартным скалярным произведением найти скалярные произведения 1) !)1 1 1 1(( и(~1 2 5 8)(; 2) !)1 2 1 4)( и)~1 -1 1 0~~ 3) !) — 1 2 1 -45 иО4 — 1 — 2 1О 4) с171 и С172~ 5) с174 и с175.
25.21. Найти угол между ребром и диагональю и-мерного куба, З 25. Скалярное произведение. Матрица Грама 245 25.22. Найти длины векторов и косинусы углов между ними в задаче 25.20. 25.23. Пусть в некотором базисе квадрат длины любого вектора т равен сумме квадратов его координат. Доказать, что базис ортонормированный. 25.24. Нарисовать на плоскости какой-либо базис с матрицей Грама Аиь Описать все множество таких базисов. 25,25.
Найти скалярное произведение векторов, если заданы их координаты в некотором базисе и матрица Грама Г этого базиса; 1 — 2 1 1) ((1 1 1(~г, )~1 3 Ц)г, Г= — 2 5 — 4 1 1 — 4 6 1 2 3 оц, 2) ~(-1-11)~г, (~0 1 3)~, Г= 2 5 8 3 8 14 3) сао, сзз, Г=Азе,' 4) саз сзе1 Г=А 17~ 5) 81 ". 1!! сзез> Авзо 25.26.
Найти углы между векторами, заданными их коордйнатами: 1) )~1 1 1 15, '80 2 0 2~(; базис ортонормированный; л, 2) ~(2 1 ~/2 1~~, 'ОО 2 0 28; базис ортонормированный; 3) 85 0 2 1(~, (~2 1 2 18; базис ортонормированный; ~' 4) ((1 ОО, '50 1$ базис с матрицей Грама(! 4~~; 5) сип сзз базис с матрицей Грама Аее, 6) с1е, с1о; базис с матрицей Грама Аее. 25.27. Найти длины векторов в задаче 25.25. 25.28. При каких значениях параметров е, ее данные матрицы могут служить матрицами Грама в евклидовом пространстве: 1) Аео, 2) Ат7, 3) А7е. 25.29. Доказать, что в и-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка и может служить матрицей Грама какого- либо базиса тогда н только тогда, когда найдется квадратная матрица Я с детерминантом, отличным от нуля, такая, что Г = 25.30.
Доказать, что в и-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка и может служить матрицей Грама какого-либо базиса тогда и только тогда, когда она положительно определена, то есть Г = Г и с~ГЕ, ) 0 для любого столбца Е,~о. Мф Гл. 10. Еекаидоем н унитарные пространства -и: 25.31. Пусть à — матрица Грама некоторого базиса е. Доказать, что матрицами Грама некоторых базисов являются также матрицы: 1) Г 1; 2) Г~; 3) Г", где й целое. 25.32.
Пусть Г1 и Гэ — матрицы Грама базисов е1 и еэ. Доказать, что при любых положительных коэффициентах матрица Г = а|Г1+сеэГа также есть матрица Грама некоторого базиса. 25.33. В матрице Грама некоторого базиса все элементы равны либо О, либо 1, либо — 1. Доказать, что базис ортонормированный. 25.34. Доказать, что максимальный по модулю элемент матрицы Грама расположен на главной диагонали. 25.35. Может ли третья строка матрицы Грама некоторого базиса в четырехмерном пространстве быть строкой: 1) ~(1 1 1 Цф 2) (~ -1 -1 -1 -1~); 3) ~~1 О 1 Оф 4) ~~0 1 0 1~(; 5) ~!— 25.36.
Найти матрицу Грама стандартного базиса пространства квадратных матриц второго порядка1) со скалярным произведением, определенным в задаче 25.6, если Р равно: 1) А17; 2) А24. 25.37. В пространстве многочленов степени не выше двух со стандартным скалярным произведением найти матрицу Грама стандартного базиса.
25.38. В пространстве квадратных матриц порядка и со скалярным произведением задачи 25.4 найти матрипу Грама стандартного базиса. 25.39. Дана матрица Грама базиса е. Найти матрицу Грама его биортогонального базиса е'. 25.40. Пусть любые два различных вектора из системы хы ..., х„образуют угол я~3. Доказать, что эти векторы линейно независимы. 25.41. Даны две системы векторов хы ..., хр и уы ..., рр, и из скалярных произведений с;~ = (х;, у~ ) составлена матрица С. 1) Доказать, что с1еФ С = О, если хоть одна из систем линейно зависима. 2) Верно ли обратное утверждение? ) См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
