1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Доказать, что треугольники правильные, и найти Л. 24.40. Сумма различных натуральных чисел пм пз, пз, пс равна 18. После того как их увеличили в одинаковое число Л раз, получились числа ис+пз+из+и4, из+из — пз — п4, и, — из+из — п4, ис — 2из — из+ Зп4 Найти пм пз, пз, п4, Л 24.41. Последовательность (х„) задана рекуррентной 2 1 формулой: х„с1 = -х„+ -х„1 (п = 1, 2, ...); хо = а, х1 = Ь. Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел. 24.42.
Найти собственные значения и собственные векторы (собственные функции) дифференцирования Р как линейного преобразования каждого из следующих линейных пространств вещественных функций (и — фиксированное натуральное число): 1) пространство всех многочленов степени не выше и; 2) пространство всех тригонометрических многочленов вида 1 (с) = ао+а1совс+ Ь1 зшс+...
+а„совпс+Ь„зшпс; 3) линейная оболочка системы функций е~'~, ..., е~"~, где Лм ..., Лв — попарно различные числа. 4) пространство всех функций вида е~вср(с), где р(с) — любой многочлен степени не выше и, Ле — фиксированное число (Л Ф 0). 24.43. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования Рз в пространствах функций задачи 24.42. 24.44. Проверить, что функции вида у = еср(с), где р(Ф)— многочлен не выше второй степени, образуют линейное пространство с".. Убедиться в том, что <р — линейное преобразование пространства с., и решить для ~р задачу на собственные значения и собственные векторы: 1) св (у) = ув — 2у'+ у, т. е. ~р = Рз — 2Р+ с; 2) ~р Рз 2Рз.
3) ~в Рз ЗРз+ЗХЭ+а з 2в'. Собственные венгворы и собственные значения 223 24.45. Проверить, что функции вида у = е '(ассмо+ бяпФ) образуют линейное пространство М и что преобразование ~р = =р(ьг), где р(с) — данный многочлен, Р— дифференцирование, является линейным преобразованием пространства М. Решить для <р задачу на собственные значения и собственные векторы, если: ц р (г) (1 + 1)г. 2) р (г) ~з 1 24.46. В линейной оболочке функций сов2Ф, яп2Ф, 1сов2~, ~яп2~ задано линейное преобразование ~р = р(В), где р(1)— многочлен, П вЂ” дифференцирование. Решить для ~р задачу на собственные значения и собственные векторы, если: 1) р(~) = ~з+4; 2) р(~) = с4+81з, 24.47.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования ~р пространства вещественных многочленов р(г) не выше второй степени, если: 1) р(р) =1р', 2) ~р(р) =(ср)', З) р(р) =1'ро-Ср'+гр. 24,48. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования дифференцирования в пространстве функций, бесконечно дифференцируемых на всей числовой прямой. 24.49. Пусть,С вЂ” множество функций у(1), бесконечно дифференцируемых на отрезке (О, я) и таких, что у(0) = =у(к) = О.
1) Проверить, что Š— линейное пространство. 2) Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования <р пространства Е, заданного формулой 1о(р) = уо. 24.50. Пусть А,  — квадратные матрицы, и матрица А С~ .> В ~ диагонализнруема. Доказать, что матрицы А, В диагонализируемы. Показать на примере, что обратное утверждение неверно. 24.51. Зафиксируем вещественный многочлен ро(1) степени т (гп>1).
Любой многочлен р(Ф) можно разделить на ро(с) с остатком, т. е. однозначно представить в виде р(г) — я(~)ро(~) + г (г) (4) (степень остатка г(с) меньше степени ро(г)). Преобразование ~р пространства Р всех вещественных многочленов определим формулой гр(р(с)) = г(Ф). 224 Гл. 9. Линейние оепображенил и преобразоеания 1) Показать, что преобразование ~р линейно и <рз = 1о.
2) Найти собственные значения и собственные векторы преобразования <р. 3) Доказать, что формула (4) дает разложение пространства Р в прямую сумму собственных подпространств. 24.52. Пусть ~р — операция взятия остатка от деления на многочлен ро(8) (см. задачу 24.51) в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования у в этом базисе, если: 1) ре(г) =~; 2) Ро(е) = г +1; 3) ро(е) =(г — 1) .
24.53. В пространстве Я„„„квадратных матриц порядка п рассматривается операция транспонирования т: А — э Ат. Проверить, что т — линейное преобразование и т = а Най- 2 ти собственные значения и собственные векторы преобразования т. Разложить пространство Я „„в прямую сумму собственных подпространств преобразования т. 24.54. Множество комплексных матриц порядка п рассматривается как вещественное линейное пространство А4 размерности 2п'. и — т 1) Проверить, что операция и: А — > Аи = А эрмитова сопряжения матрицы является вещественным линейным преобразованием пространства А4,причем ~1~ = и 2) Найти собственные значения и собственные векторы преобразования и. 3) Показать, что преобразование и не является линейным, преобразованием комплексного пространства С„„„.
24.55. Пусть А — матрица второго порядка. Формула у (Х) = АХ определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка (задача 23.47). Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования ~р. В случае, когда эта система является базисом, записать в нем матрицу преобразования у: 1) А=Ало', 2) А=Аээ; 3) А = Аэо (в пространстве комплексных матриц). 24.56.
Решить задачу на собственные значения и собственные векторы для преобразования ~р(Х) = ХВ пространства матриц второго порядка, если: 1) В = Азеб 2) В = Аы (пространство вещественное); 3) В = А4э (пространство комплексное). в ев'. Собственные векторы и собственные значения 225 24.57. Преобразование пространства матриц второго по- рядка определено формулой со(Х) = АХ вЂ” ХА, где А — фик- сированная матрица. 1) Показать, что преобразование со линейно, и найти его матрицу в стандартном базисе.
2) Решить для преобразования ~р задачу на собственные значения и собственные векторы, если: а) А = А1ев, б) А = Азз (пространство вещественное); в) А = Ахо (пространство комплексное). 24.58. Пусть А — невырожденная матрица второго поряд- ка. Показать, что формула ~р(Х) = А 1ХА определяет линей- ное преобразование пространства матриц второго порядка. Ре- шить для преобразования дз задачу на собственные значения и собственные векторы, если: 1) А = Азз; 2) А = А1з.
24.59. Найти собственные векторы и собственные значе- ния преобразования сдвига в пространстве многочленов от двух переменных, определенного в задаче 23.50, если: 1) а=1, Ь=О; 2) а=1, Ь= — 2. 24.60. Решить задачу о собственных значениях и собствен- ных векторах для линейных преобразований пространства од- нородных многочленов степени п от двух переменных, опреде- ленных в задаче 23.51. 24.61. Пусть А — матрица второго порядка, (х*, д') = = (х, у) А. Преобразование сз пространства многочленов р (х, у) степени не выше п определим формулой ~р (р (х, у) ) = р(х*, у*).
Показать, что <р — линейное преобразование. Найти его соб- ственные векторы и собственные значения, если п = 2 и А=~)О О)~ 2) А=~~1, О~1' 3) А=~~О -1)! 24.62. Пусть К (х, у) = до(д) + хд1 (у) + хздз(д), где де(д), д1(у), дз (у) — непрерывные функции на отрезке [ — 1, 1]. По- казать,что преобразование ~р, определяемое формулой 1 ~р(р(х)) = К(х, у)р(у)ду, (5) -1 является линейным преобразованием пространства многочле- нов р(х) степени не выше 2. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования ~р, если; кеб Гл. У.
Линейние отображения и преобразования в '1) К(х> у) Зхгу+5*уг. 2) К(х, у) = уг+2х(у — 1)+(1 — Зуг) хг. 24.63. Показать, что формула <р(Г" (х)) = К(х, у)~(у)ау о определяет линейное преобразование ~р пространства тригоно- метрических многочленов вида: 1) асовх+ Ьв1пх, если К(х, у) = в1п(х+у); 2) а+Ьсов2х+св1п2х, если К(х, у) = совг(х — у). Найти собственные значения и собственные векторы преобразования ~р. 24.64. Найти собственные значения и собственные вектояг пг ры оператора Лапласа Й = — + — в пространстве многозхг 6уг членов р(х, у) с вещественными коэффициентами. 24,65.
Пусть ~р, ~Ь вЂ” подобные преобразования линейного пространства Е (см. формулу (5) введения к З 23). Доказать, .что: 1) характеристические многочлены преобразований у и уг совпадают; 2) если х — собственный вектор преобразования ~р, то ю 1(х) — собственный вектор преобразования ф, отвечающий тому же собственному значению; 3) если в Г, существует базис, в котором матрица преоб- разования <р диагональна (треугольна), то аналогичный базис существует и для ф, 4) Показать на примере, что совпадение характеристиче- ских многочленов двух линейных преобразований не влечет подобия этих преобразований. Инвариантные подпространства.
Перестановочные преобразования (24.66-24.112) 24.66. Доказать, что 1) цлро и 2) множество значений линейного преобразования являются инвариантными подпространствами. 24.67. Доказать, что собственное подпространство линейного преобразования инвариантно. 24.68. Пусть <р — линейное преобразование линейного пространства Е, М вЂ” подпространство в .С, инвариантное относи- ~ 34. Собственные векторы и собственные значения 227 тельно ~р, и р(с) — многочлен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
