1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 38
Текст из файла (страница 38)
23.48. Пусть хм ..., х„— столбцы матрицы Х = = (!х1...х„(! размеров т хи, и У = )!х1...х„1'3. Отображение ~р: Я „„-+Я „(„1) определим равенством у(Х) = 1'. 1) Доказать, что отображение у линейно, найти его ядро и множество значений. 2) Вычислить матрицу отображения р в стандартных базисах пространств. 3) Показать,что у является одним из отображений, определенных в задаче 23.47, для подходящей матрицы В. 23.49. Пусть М1,...,̄— фиксированные матрицы порядка т, х = (хм..., хо)т.
Отображение у: ߄— ~ Я >„„определим формулой ~р(х) = х1М1+ ... + х„М„. Доказать линейность отображения 1о. Найти ядро, множество значений, ранг и вычислить матрицу А отображения у в стандартных базисах, если и=4, М1 =Апн Мз = А1з, Мз =Анн М4 =Аао. 23.50. В линейном пространстве вещественных многочленов р(з, у) от двух переменных з, у преобразование у определено формулой <р(р(з, у)) = р(х+ а, у+ б) (а, о — фиксированные числа). Показать, что <р определяет линейное преобразование пространства многочленов не выше второй степени, и вычислить его матрицу в базисе 1, з, у, хз, зу, уз. ~ ео.
Основные свойство линейнмх отойроэкений 203 23.51. Показать, что однородные многочлены степени и п вида р(х,у) = '~ аьх" "у" образуют линейное подпространь=о ство 'Н~") пространства всех многочленов от двух переменных. Преобразование ~р определено одной из следующих формул; 1) у(р) = х —; 2) у(р) = у —; др др ду' дх 3) у(р) = х — — у —. др др дх ду' Доказать, что ~р — линейное преобразование пространства Я~"), и вычислить его матрипу в базисе х", х" 1у, ..., ху" ', у". Найти ядро и множество значений преобразования у. Матрицы линейных отображений и преобразований в разных базисах.
Подобные матрицы (23.52 — 23.77) 23.52. Пусть еы..., е„— базис в линейном пространстве С, а (п...,ӄ— произвольные векторы из линейного пространства Е. Доказать, что существует единственное линейное отображение ~р: с", — > Е такое, что у(ее) = Д (г = 1,..., п). 23.53. 1) Пусть ап...,аь — линейно независимые векторы линейного пространства с"., а Ьы..,,Ьь — некоторые векторы пространства Е.
Доказать, что существует линейное отображение ~р:.С-~.б такое, что р(ае) = Ь; (1 = 1,...,Й). В каком случае отображение у единственно? 2) Пусть аы...,аь — векторы из с„а Ьы ..,Ьь — векторы из Е. Сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых: а) существует линейное отображение у: С -+ Е такое, что со(ае) = Ь; (1= 1,...,1с); б) зто отображение единственно. 23.54. Пусть А — невырожденная матрица порядка и, В— матрица размеров т х и. Доказать, что существует единственное линейное отображение и-мерного арифметического пространства в т-мерное, при котором образами столбцов матрицы А являются соответствующие столбцы матрицы В. Найти матрицу зтого отображения: 1) в стандартных базисах пространств; 2) в базисе пространства Я из столбцов матрицы А и стандартном базисе пространства Ет; 3) в базисе пространства Я из столбцов матрицы А и ба- 204 Гл.
9. Линейные оеаобралсенил и преобразования зисе пространства Я из столбцов матрицы В (при условии, что т = п и В невырождена). 23.55. Пусть А и  — невырожденные матрицы порядка п. Доказать, что существует единственное линейное преобразо- вание п-мерного арифметического пространства, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В.
Найти матрицу этого преобразования: 1) в стандартном базисе; 2) в базисе из столбцов матрицы А; 3) в базисе из столбцов матрицы В. 23.56. Линейное преобразование ~р двумерного арифмети- ческого пространства переводит вектор а; в вектор Ь; (1 = 1, 2). Вычислить матрицу преобразования у в стандартном базисе, если: Ца, (1 1)т аг ( 1 2~т Ь (2 0)т Ьг ( 3 1)т. 2) а1 = (4, — 3)т, аг = (2, 1), Ьз = ( — 2, — 2)т, Ьг = (4, 4)г; 3) а~ = ( — 5, 3)т, аг = (-3, 1)т, Ьг = (4, 15)т, Ьг = (О, 1)т; 4) а1 = (1 1)т аг = (1, 3)т, Ь1 = (О, ъ'2)т, Ьг=(-Л,2 2)".
23.57. Матрицы А, В составлены из координатных столб- цов векторов ам аг, аз и Ьы Ьг, Ьз в некотором базисе е трех- мерного линейного пространства .С. Для приведенных ниже случаев проверить, что существует единственное линейное пре- образование у пространства Е, переводящее векторы а; в Ь; (1 = 1,2,3). Вычислить матрицу преобразования 1о: а) в базисе е; б) в базисе ам аг, аз, если: 1) А = Агьь, В = Агьь', 2) А = Агьз, В = Агьо,' 3) А=А„,, В=А„,; 4) А=Агго, В=Аггг. 23.58. Показать, что существует и единственно линейное отображение у: Я -+Я, переводящее столбцы данной мат- рицы А в соответствующие столбцы матрицы В.
Найти мат- рипу отображения ~р: 1) в стандартных базисах пространств Я и Я 2) в базисе пространства Я, состоящем из столбцов мат- рицы А, и стандартном базисе пространства Я а) п=2, т=З, А=Азз, В=Аыо; б) п=З, т=2, А=Агге, В=Азо4; в) п=2, т= 5, А =Азе, В =А1т~; г) п=4, т=2, А=А4ьг, В=Аьоь; д) п= 3, т=4, А =Аггг, В= Азот е) п=4, пг=З, А=А4з4, В=Аыз. В УЯ. Освоение сеойстеа линейних отображений 205 23.59. Выяснить, существует ли линейное преобразова- ние у, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В.
В случае существования вычислить мат- рицу ~р в стандартном базисе: 1) А=Аз, В =Азз; 2) А=Аз, В=Атг, 3) А = Агтт, В = Агтв; 4) А = Агтз, В = Агто. 23.60. При линейном отображении ет; Я.„— + Я, столбцы матрицы А переходят в соответствующие столбцы матрицы В. Выяснить, является ли отображение ~р инъективным, сюръек- тивным, найти размерность ядра и ранг отображения у.
Вы- числить образ вектора а, если: 1) А=Атгз, В=Аге, а=(1,7, фт. .„. 2) А = Азог, В = .4гзо, а = (3, 1) 3) А=А4гг, В=Азы, а=(4, — 4, — 3, 12,2)~; 4) А=Агез В=А4го, а=(16,5, — 6)т. 23,61. Показать, что существует единственное линейное преобразование комплексного арифметического пространст- вава С„, переводящее столбцы данной матрицы А в соответ- ствующие столбцы матрицы В. Вычислить матрипу этого пре- образования в стандартном базисе, если: 1) и=2, А =Аог, В = Аоз' 2) о=2, А=Аэе, В=Ага; 3) в=2,А=Ага, В=Аот; 4) п = 3, А = Азтз, В = Азте. 23.62. Линейное преобразование ~р имеет в данном базисе матрипу А, а координатные столбцы новых базисных векто- ров образуют матрипу Я.
Вычислить матрицу преобразования в новом базисе, если: 1) А=Азв Я=Азз', 2) А=Азт, Я=Ага,. 3) А=Азв В=Азо; 4) А=А4о, Я=Аци; 5) А=Агво, Я=Агоз,' 6) А=Агап Я=Агвг; к 7) А=Агав, Я=Агв4, 8) А=Агав, Я=Агав, 9) А = Аевв, Я = Аето', 10) А = Аеты В = Аезо. 23.63. Линейное преобразование комплексного арифмети- ческого пространства имеет в стандартном базисе матрипу А. Новый базис задан матрицей перехода Я.
Вычислить матрицу преобразования в новом базисе: 1) А =Авт, Я =Ао4; 2) А = Атв, Я = Аво (е = ег"из). 3) А = Агвз, В = Азтв' Ю6 Гл. У. Линейние отображения и преобразования 4) А =Агзд Я =Азез (ы=ег"'Уз) 5) А=А4гг Я=А4гз; 6) А=А4г4, Я=А4гз. 23.64. Линейное отображение п-мерного арифметического пространства в т-мерное задано в стандартных базисах матрицей А, столбцы новых базисных векторов Г = Цм...,~„) и 6 = (ды..., д ) составляют соответственно матрицы Я и Т. Вычислить матрипу отображения в базисах 4' и и: 1) п= 3, т=2, А=Аздг, Я=Агзо, Т=А4г,' 2) п=4, т=2, А=Азог, Я=А47о, Т=Азо', 3) п=2, т=3, А=Аыг, Я=Ад, Т=Аггг, 4) и=3, т=4, А= Алоэ, Я=Агав, Т= Аадз.
23.65. Вычислить матрицу линейного преобразования 1о множества векторов плоскости с заданным на ней базисом, если у есть: 1) отражение плоскости в прямой х+ 2у = О параллельно прямой х+ Зу = О; 2) проектирование плоскости на прямую х+у = О параллельно прямой 4х+ 5у = О; 3) сжатие с коэффициентом Л = 2 к прямой Зх — 2у = О параллельно прямой х — у = О. 23.66. Вычислить матрицу линейного преобразования у трехмерного геометрического векторного пространства (в котором задан ортонормированный базис), пользуясь надлежап1ей заменой базиса, если у естес 1) проектирование на плоскость Зх — у= О параллельно прямой х+е=О, х+у+2е=О; 2) отражение пространства в прямой х = у = — 2е параллельно плоскости х+ у+ Зе = О; 3) сжатие с коэффициентом Л = 2 к плоскости х — 2з = О параллельно прямой х = у = е; 4) поворот вокруг прямой х = у = — е на угол я/2; 5) поворот вокруг прямой х+у = О, у — е = О на такой угол, что первая из данных плоскостей переходит во вторую.
23.67. Пусть ез — дифференцирование в пространстве многочлеиов степени не выше т. Вычислить матрипу преобразования ьг, если базис состоит из многочленов: 1) 1+1, З+21г, ЗЗг — 1 (т=2); 2) ез+1 1 е 1 е+ег 1 З+Зг ез (,„ за 3) 1, 1+З, 1+ —,+ —,, ..., 1+ —,+...+ —, (т>1); з УЯ. Основные свойства линейнест отображений 207 4) 1 1+1 1+1+1Р 1+1+. +1™ (т>1); 5) 1, С-1, ~'-~, ..., 1 -~ -' ( >1). 23.68. Вычислить матрипу преобразования дифференцирования в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше и (см. задачу 23.43), если базис состоит из функций: 1) 1, сов1 — япФ, созе+вше, ..., созп1 — вшМ, созна+ + япп1 (и > 1); 2) 1, 1+ совг, ..., 1+соМ+...
+совп1, зш1, ..., зш1+... ... + в1пп1; 3) 2сов~е, 2вш~г, з1п1+сов1, з1п8 — сов1, (япй+соз1)з (и = 2). 23.69. Как изменится матрица линейного отображения, заданная в паре базисов еы ..., е„; 1ы ..., 1, если: 1) поменять местами векторы е» и е ", 2) поменять местами векторы 1ь и 10 3) вектор е; умножить на число Л з1 О, а )ь умножить на дФО; 4) вектор е; заменить на е;+е, а вектор 1ь — на 1ь — ~~ (2~2 к~1)? 23.70. Как изменится матрица линейного преобразования, заданная в базисе еы ..., е„, если; 1) поменять местами векторы е; и е ", 2) вектор е; умножить на число Л ~ О; 3) вектор е; заменить на е;+ е~", 4) перейти к базису е„, ем ..., е„1; 5) перейти к базису е„, е„ы ..., е1? 23.71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
