1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть Е и С вЂ” матрицы из координатных столбцов векторов ум...,1„и дм...,д„. Применяя в нашем случае матричное равенство (3), имеем; С = г'Я. Матрицу Я = Г 'С можно вычислить с помощью элементарных преобразований строк матрицы )! Е ) С Й. Если после элементарных преобразований строк на месте матрицы Е окажется единичная матрица, то на месте С будет искомая матрица Я.
3) Векторы ам, ..,аь заданы своими координатными столбцами в некотором базисе е. Проверить, образуют ли данные векторы базис в щюстранстве, выявить линейные зависимости между ними, найти базис в линейной оболочке системы аы, .., аы Р е ш е н и е. Пусть А — матрица из координатных столбцов данных векторов. Элементарное преобразование строк А равносильно умножению А слева на невырожденную матрицу Т.
При этом все столбцы А также умножаются слева на Т, и линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются. Эти действия можно понимать как замену координат: новые столбцы — новые координаты данных векторов. Данные векторы образуют базис в Г.„тогда и только тогда, когда lс = и и дехА ф О. Обозначим линейную оболочку ам...,аь через Р. Базис в Р состоит из таких векторов а;, координатные столбцы которых являются базисными столбцами матрицы А. Остальные векторы раскладываются по ним с теми же коэффициентами, с которыми соответствующие координатные столбцы раскладываются по базисным столбцам А.
Для отыскания этих коэффициентов матри- Гл. 8. Линейные пространства 178 пу А следует привести к упроп1енной форме с помощью элементарных преобразований строк. Например, пусть векторы аы а», аэ четырехмерного пространства имеют в некотором базисе е координатные столбцы 1 — 1 1 0 Матрицу 112 — 110 101 011 с помощью преобразований строк приводим к виду 101 011 000 000 Очевидно, третий столбец матрицы А равен сумме двух первых. Поэтому третий столбец матрицы А»вк»ке равен сумме двух первых, и аэ = а»+а». Базис в линейной оболочке системы векторов можно найти так же, упрощая матрицу А с помощью элементарных преобразований столбцов.
Эти преобразовании заменяют данные векторы на их независимые линейные комбинации, и их линейная оболочка остается неизменной. Множество решений системы линейных однородных уравнений с и неизвестными можно рассматривать как множество координатных столбцов векторов некоторого линейного подпространства в пространстве ь„. В этом смысле каждая система линейных однородных уравнений с п неизвестными определяек линейное подпространство в С„.
Базис этого подпространства есть совокупность векторов, координатные столбцы которых образуют фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений. 4) Векторы ам...,аь заданы своими координатными столбцами относительно базиса е пространства б„. Найти систему линейных уравнений, определяюшую линейную оболочку Р данных векторов. Р е ш е н и е. Выпишем матрипу А из координатных столбцов векторов ам..., аь. Пусть к8А = г. Для того чтобы вектор с координатным столбцом Е, = (хм...,х„)» принадлежал подпространству Р, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А = ~~А)Ц! также был равен г. Элементарными преобразованиями строк матрица А приводится к ступенчатому виду; при атом последние и — г строк становятся нулевыми. Если такие же преобразования проделать с мат- Гл.
В. Линейные пространства 179 рицей А, то в последних и — г строках на (1+1)-м месте появятся некоторые линейные комбинации чисел хм...,х„. Приравняв их нулю, получим искомую систему линейных уравнений. Составим, например, систему уравнений, определяющую линейную оболочку системы векторов ам аг, аг из предыдущего номера. Матрица 112 — 110 101 011 хг хг хг х4 .и яйгиводится к ступенчатому виду 112 011 000 000 ° э' хг х4 хз — хг+х4 хг + хг — 2х4 Ранг матрицы без четвертого столбца равен 2; для того чтобы ранг всей матрицы тоже был равен 2, необходимо и достаточно выполнение условий хг + хг — 2хг — — О, хг — хз — х4 — — О. Это и есть искомая система линейных уравнений, определяющая линейную оболочку векторов ам аг, аз в базисе е. Суммой конечного числа линейных подпространств М, Л/,..., Р называется линейная оболочка объединения множеств М, Ф,..., Р.
Сумма М+Ф+... +Р конечного числа линейных подпространств называется прямой суммой, если каждое из надпространств М, Ф, ..., Р имеет нулевое пересечение с суммой остальных подпространств. Прямая сумма обозначается так: М ЮЛГЮ .. ВР. Если .С = М ЮФ, то проекцией вектора х б б на линейное подпространство М параллельно линейному надпространству Л/ назы- ваетсЯ слагаемое хг в Разложении х = хг + хг, где хг Е М, хг б ЛГ. Остановимся на основных задачах, связанных с понятиями суммы и пересечения подпространств. 5) Линейные подпространства Р и Я заданы как линейные оболочки векторов ам.,., аь и Ьм, .., Ь1 соответственно. Найти базис суммы Р+Я.
Р е ш е н и е. Подпространство Р+ Я является линейной оболочкой системы векторов ам..., аы Ьм..., Ьь Поэтому задача сводится к задаче 3). 6) Линейные надпространства Р и Я заданы системами линейных однородных уравнений. Найти пересечение Р П Д. Р е ш е н и е. Подпространство РП Я задается системой уравнений, составленной из уравнений обеих данных систем. Размерность надпространства РОЯ можно вычислить по формуле Гроссмана Мш(Р П Я) = 61шР+ вагш Я вЂ” Йш(Р+ Д). 7) Линейные подпространства Р и Я вЂ” линейные оболочки систем векторов ам...,аь и Ьм.,.,Ьь Эти векторы заданы их коорди- 180 Гл.
8. Линейные пространства натиыми столбцами, которые образуют матрицы А и В соответственно. Найти размерность и базис суммы Р+ Я и пересечения РГ~ Я. Р е ш е и и е. Приведем матрицу )(А)В)) к упрощенному вцлу (~А'(В'и при помощи элементарных преобразований строк.
При этом выберем упрощенный вид так, чтобы в число базисных столбцов вошли все базисные столбцы А и столько столбцов из В, сколько потребуется. Тогда векторы, соответствующие базисным столбцам матрицы ))А')В')), составляют базис в Р+ й, а соответствующие базисным столбцам, расположенным в А', составят базис в Р. Для того, чтобы найти размерности Я и Р П Я, упростим теперь матрицу В' с помощью элементарных преобразований столбцов так, чтобы ие менять ранее найденных базисных столбцов (назовем эти столбцы основными). Полный набор базисных столбцов преобразованной матрицы В" соответствует базису в Я, а базисные столбцы В", дополняющие основные, соответствуют базису в Р Г1 Я, Для того чтобы проследить за тем, какие линейные комбинации векторов Ьы...,Ь| они образуют, и таким образом найти исходные координаты базисных векторов подпространства РП й, можно проделать со столбцами единичной матрицы порядка 1 те же злеменчврные преобразования, что и со столбцами В'.
В главе «решения» приведено решение задачи 21.7, 11) указанным способом. 3 20. Примеры пространств. Базис и размерность 20.1. Можно ли подходящим введением операций сложения и умножения на число сделать линейным пространством: 1) пустое множество; 2) множество из одного элемента; 3) множество из двух элементов? 20.2. Доказать, что: 1) если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима; 2) если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима; 3) если векторы аы ..., аь линейно независимы, а векторы ао, аи ..., аь линейно зависимы, то вектор ае является линейной комбинацией векторов аы ..., аь.
20.3. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов в и-мерном пространстве, и если является, то найти его размерность: 1) множество векторов, все координаты которых равны между собой; 2) множество векторов, первая координата которых равна 0; з еО. Примеры пространств. Базис и размерность 181 3) множество векторов, сумма координат которых равна 0; 4) множество векторов, сумма координат которых равна 1.
20.4. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов геометрического пространства, и если является, определить его размерность: 1) множество векторов плоскости, параллельных данной прямой; 2) множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных данной прямой; 3) множество векторов плоскости, по модулю не превосходящих 1; 4) множество векторов плоскости, образующих угол сс с данной прямой (О' ( о ( 90'). 20.5. Доказать, что множество матриц размера т х и образует линейное пространство относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число.
Найти размерность и базис этого пространства Я 20.6. Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка и, линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка и, и если является, то найти его размерность: 1) множество матриц с нулевой первой строкой; 2) множество диагональных матриц; 3) множество верхних треугольных матриц; 4) множество симметрических матриц; 5) множество кососимметрических матриц; 6) множество вырожденных матриц.
20.7. Выяснить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке [а,б] линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число: 1) множество функций, непрерывных на [а,б]; 2) множество функций, дифференцируемых на [а,б]; 3) множество функций, интегрируемых по Риману на [а, б]; 4) множество функций, ограниченных на [о,б]; 5) множество функций таких, что эпр [Дх)] < 1; ]а,ь] 6) множество функций, неотрицательных на [а,б]; 7) множество функций таких, что ~(а) = 0; 8) множество функций таких, что у(о) = 1; 9) множество функций таких, что 1пп 1'(х) = оо; е->а+О 182 7'л.
8. Линейные пространства 10) множество функций, монотонно возрастающих на 1а1б]; 11) множество функций, монотонных на ]а,б]. 20.8. Доказать, что при любом натуральном и данное множество функций образует консчномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис этого пространства: 1) множество миогочлснов степени не вьппе п (обозначаетСя 'Р1")); 2) множество четных многочленов степени не выше и; 3) множество нечетных многочленов степени не выше и; 4) множество тригонометрических многочлснов порядка не вьппс п, т. с.
множество функций вида 7(1) = ао+ а1совФ+ + б1 91п2+... +а„совпв+ б„в1пп1; 5) множество четных тригонометрических многочленов порядка нс выше и; 6) множество нечетных тригонометрических многочленов порядка не выше и; 7) множество функций вида 7'(е) = е '(ад+ а1сов1+ + б1 31п1+... + а„сов п1+ б„в1п п1), где ее — фиксированное действительное число. 20.0. Доказать, что данное множество функций образует бесконечномернос линейное пространство: 1) множество всех многочленов; 2) множество всех тригонометрических многочленов; 3) множество функций, непрерывных на некотором отрезке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
