1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 35
Текст из файла (страница 35)
21.13. Доказать, что для любого линейного подпространства Р конечномерного линейного пространства существует другое подпространство Я такое, что все пространство является прямой суммой Р и Д. 21.14. Пусть С, М, Л/ — три линейных подпространства; Р = (СйЛ)+(Л4пЛ'), Я= (С+М) йЛ/. 1) Доказать, что Р С Я. 2) Возможен ли случай Р ф Я? Привести соответствующий пример. 21.15. Доказать, что сумма линейных подпространств С(Ц, ..., С~~~ совпадает с множеством векторов, представимых в виде х = х4+... + хы где х4 Е С~'~, г' = 1, ..., Й. 21.16. Пусть .С, М, А' — три линейных подпространства. Доказать, что С+ М + Л~ = (С + М) + Л~ = С + (М + М) 21.17.
Доказать, что сумма С линейных подпространств С~ц,..., С(~> тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор х Е С однозначно представляется в виде х = х4 +... + хы где х; Е С(6 (обобщение задачи 21.11). 8 22. Комплексные линейные пространства 22.1. Найти линейную комбинацию столбцов: 1) (1+1)с4 — ась', 2) 21с49+(3+1)сзе — с41' 3 3) (1 — 21)сг49+ -сшг.
2 22.2. Найти линейную комбинацию матриц (2+ 4)Ааа+1Аш+ А97 — 2А94. 3 88. Комплексные линейнне пространстпоа 189 ~' ' 22.3. Найти столбец х из уравнения: 1) (1+4)(х — С44) — (2+4)(х+ с45) = с4з; 2) 20753 С149+ 1х = 0750. лщ 22.4. Выявить линейные зависимости между данными йййлбцами: 1) с26, с29, с43') 2) с26) сзе, с40; 3) с73п 0732) 0133. 22.5. Найти размерность и базис линейной оболочки данФЬй системы столбцов: 1) сз, '2) 027, с39) 3) с26) с43, с44) 4) С134) 0151) 0152; 5) С275, 0215) С276; 6) 0166) 0215) 0196) С!93) Сг!6. 22.6. Доказать, что векторы ем...,е„образуют базис в комплексном п-мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе: 1) п=1, 01=с4, х=с5; 2) п=2, ез=сзп ег=сзб, х=с39; 3) п = 2, е4 = сгб, ег = с40, х = С47; 4) п = 2, ез = сгб ег = С27, х = сзб' 5) п = 3, 01 = 012б, 02 = 0127, ез = с128, х = с273) 6) и = 4, ез = 0766, ег = с207, ез = с274, 04 = с275, х = 0276.
22.7. Найти размерность и базис линейного пространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений: 1) Абох=о; 2) А94х=о; 3) А369х= о; 4) А37)х=о; 5) Абгбх=о. 22.8. Составить систему уравнений, определяющую линейную оболочку данной системы столбцов: 1) С40, С42) 2) С26, С42) 3) 0215; 4) 0128) 0273~ 5) с275) с276, 0274) с2!5. 22.9. Доказать, что каждая из двух систем векторов 1ы ... ..., Гн и 8м ..., и„является базисом в комплексном п-мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ~7~,...,~„' во втором базисе: 1) П=1, Гз=С4) Яз=сб; 2) п=2, 21=сзы зг=с45, 87=с44) 82=сзэ,' 3) п = 3, Г7 = 0729) 42 = 0128) 13 = 0130) 81 = сзгг) 82 = 0126) 83 = 094. 22.10. Найти проекцию данного вектора х двумерного комплексною арифметического пространства на линейное под- 190 Гл. 8.
Линейные пространства пространство Р параллельно линейному подпространству й, где Р натянуто на вектор с44, а Д натянуто на вектор с4е: 1) х = сге; 2) х = с42; 32) х = с4з. 22.11. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств комплексного и-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов аг, ... ..., аь и Ьм ..., Ьр 1) и = 3, аг - — сзз, аг = сгз4, аз = с24з, Ь| = с)зг, Ьг = сыэ, Ьз = сгзе; 2) и= 3, аз = сгзм аг = сгзг, аз — — сгзз, Ь| = сзз4, Ьг= сззз, Ьз = сгзз; 3) и = 4, аг =сше, аз = сгго, аз = егьа а4 = сыз, Ь| =сггм Ь2 = с222) Ьз = с223, Ь4 = с214. 22.12.
1) Доказать, что если в и-мерном комплексном линейном пространстве рассматривать умножение векторов лишь на вещественные числа, то получим 2и-мерное вещественное линейное пространство. 2) В двумерном комплексном арифметическом пространстве рассматривается операция умножения векторов лишь на вещественные числа.
Найти базис в полученном вещественном пространстве и координатный столбец вектора сгг в этом базисе. 22.13. Доказать, что множество многочленов степени не выше и с комплексными коэффициентами можно рассматривать и как комплексное линейное пространство, и как вещественное линейное пространство. В обоих случаях найти: 1) базис и размерность пространства; 2) координатный столбец многочлена 1 — 24+ (3+4)З вЂ” 342 в найденном базисе 1при и = 2). Глава 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАлКЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ й 23. Основные свойства линейных отображений и преобразований Общие понятия, относящиеся к отображениям, введены в З 12, В настоящем параграфе используются также следующие понятия: линейное отображение, лиггейное преобразование, ранг и ядро линейного отображения, изоморфизм, матрица линейного отображения в паре базисов, матрица линейного преобразования в дагогом базисе, сумма и произведение линейных отображений, произведение линейного отображепия на число, подобные линейные преобразования и магприцы.
Пусть ь', Ю вЂ” линсйныс пространства над одним и тем жс полем (оба вещественные или оба комплексные). Отображение у: С -~ Е называется линейным, если для любых векторов х,у б ь" и любого числа и справедливы равенства р( + у)= р(х)+ р(у), р( *) = р(х). (1) Если пространства .С и ь" совпадают, условия (1) определяют линейное преобразование пространства ь". Нередко используют также термины линейный оператор из ь в С и линейный оператор в пространстве С, особенно для дифференциальных и интегральных операторов в пространствах функций. Множество значений ~р(С) = 1т р линейного отображения 1о: ь" -+ — > ь" является линейным подпространством в ь".
Его размерность называется рангом отображения р и обозначается щу. Ядром линейного отображения у называется множество Кег р = (х Е С~у(х) = о). Отображение ~р называется вырожденным, если Ксгр ~ (о), в протинном случае — невмрожденным. Взаимно однозначное линейное отображение пространства ь" на пространство Е называется изоморфизмом С на ь". Если существует изоморфизм ь' на С, то пространства С и ь называются изоморфными. Пусть 1о: ь" — + ь" — линейное отображение, е = (ем..., е„) — базис пространства Е, г = ®,..., 1 ) — базис пространства Е Матрицей линейного отображения р в паре базисов е, 1' называется матрица А = А,, столбцами которой являются координатные столбцы 192 Гя. 9.
Линейные огпображепия и преобразовагюя векторов уг(е1),...,~р(е„) в базисе Г. вГатрицей линейного преобразования 1а в базисе е называется матрица линейного отображения х: Е -+ Е в паре базисов е, е. Если Š— координатный столбец вектора х б С в базисе е, а ц— координатный столбец его образа у(х) й С в базисе Г, то Ч=Аг,. (2) Пусть е и е' — два базиса в пространстве б, Г и Г' — два базиса в пространстве Т., Я н Т вЂ” матрицы перехода от е к е' и от Г к Г' ссютветственно. Если А и А' — матрицы линейного отображения р: С -~ Е в парах базисов е, Г и е', Г',то А' = Т 'АЯ. (3) В частности, если А и А' — матрицы линейного преобразования в базисах е и е', а Я вЂ” матрица перехода от е к е', то А'= Я ~АЯ.
(4) Матрицы А, А', связанные соотношением (4) для некоторой невырожденной матрицы Я, называются подобными (А' А). Линейные преобразования у и ф пространства Е называются подобными если существует такое обратимое линейное преобразование ы, что б =ы 'ри. Пусть линейное отображение у имеет матрицу А в паре базисов е, Г. Ядро отображения у определяется в базисе е системой уравнений АЕ = о. Множество значений отображения р является линейной оболочкой системы векторов, координатными столбцами которых в базисе Г являются столбцы матрицы А.
Ранг отображения д равен рангу его матрицы. Нулевое отобразкение 0: С -+ Е определяется формулой й(х) = = о для всех х й ь". Тождественное преобразование линейного пространства С обозначается ь Естественное влозкение ~р: М -+С линейного подпространства М С Е в ь' определяется равенством ~р(х) = х для х б М. Гомотетия (растяжение, преобразование подобия) пространства С с коэффициентом й ф О определяется формулой у(х) = Лх (х б ь'). Пусть б является прямой суммой ненулевых линейных подпространств ь"' и С", тогда любой вектор х б б однозначно представляется в виде х = х|+ ха где хг б С, хг б С~.
Нроектаированием пространства б на надпространство ь' параллельно надпространству С' называется преобразование к пространства С, определяемое равенством к(хг +хз) = хп Проектирование можно рассматривать и как отображение пространства .С на Е'. Отражением пространства ь" в подпространстве ь' параллельно ьв (илн симметрией пространства ь" относительно б' параллельно ьв) называется преобразование ~р: С вЂ” > С, определяемое равенством у(хг + хз) = х1 — хг. Линейное пространство б векторов плоскости или трехмерного пространства с заданным в нем скалярным произведением в даль- у 28. Основные свойства линейных отображений 193 нейшем упоминается как геометрическое векторное пространство (двумерное или трехмерное).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
