1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 31
Текст из файла (страница 31)
18.20. Дана матрица А, строки которой линейно независимы. Снизу к ней приписали транспонированную фундаментальную матрицу системы Ах = о. Доказать, что детерминант полученной матрицы отличен от нуля. 3 19. Системы линейных уравнений общего вида Системы линейных неоднородных уравнений (19.1 — 19.12) 19.1. Рептить систему линейных уравнений: 1) 2х — Зу=4; 2) хт+хз+2хз+Зх4= 1; 3) 2х+у+з =4, Зх+з = 4; З 19.
Системы линейных уравнений общего вида 167 4) (1/2+ 1) х+ (1/2 — 1) у — 1/2з = 1+ ~/2, х+ (3 — 2~/2)р+ (~/2 — 2) з = 1; 5) х+2у+Зх= — 4, 6) х1+2хз+хз =2, 2Х+ Зу+ 4х = 1, 2х1+ Зхз+ х4 = 1; Зх+ 4р + 5Х = 6; 7) 5х1+4хз+хз+ЗХ4 = — 5, 2х1+ хз + хз + 4Х4 = 2, Зх1+ 2хз+ хз+ х4 = — 3, х1+ Зхз — 2хз+ 2х4 = — 4; 8) Зхг+хз+хз+2х4 = — 2, 5х1+2хз+5х4 = — 2, бх1+хз+5хз+7х4 = — 4, 2х1+ хз + 2хз + 2х4 = — 2; 9) х1+ хз+ х4+ хз = 6, хг + хз + х4+ хз = 8; 10) бх1+ Зхз+ 14хз — 2х4+ хз = 2, 20х1+ бхз + 10хз + 4х4+ 11хз = 20, 13Х1+ 4хз+ 12хз+ х4+ бхз = 11, 4х1+ 7хз + 46хз — 12х4 — 7хз = — 12, х1 — 2хз — 16хз+ 5Х4+ 4хз = 7. 19.2.
Доказать, что: 1) разность двух решений неоднородной системы линей- ных уравнений есть решение соответствующей однородной си- стемы; 2) сумма любого решения неоднородной системы линейных уравнений и любого решения соответствующей однородной си- стемы есть также решение данной неоднородной системы. 19.3. На сколько единиц ранг основной матрицы системы может отличаться от ранга расширенной? 19.4. Пусть система т линейных уравнений с н неизвест- ными несовместна, а ее основная матрица имеет ранг н. К како- му простейшему виду можно привести эту систему уравнений, применяя к строкам расширенной матрицы алгоритм Гаусса? 19.5. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что система т линейных уравнений с и неизвестными имеет единственное решение. 19.6.
Составить систему линейных уравнений по задан- ной расширенной матрице. Решить систему или установить 168 Гл. 7. Системы линейных уравнений ее несовместность. (Нижеприведенные матрицы разбиты на 4 группы по числу столбцов основной матрицы. Внутри каждой группы матрицы упорядочены по числу строк.) 71 = 3: 1) !!Агзг!св4!!; 2) !!Агзг!свв!!' 3) ))Агзв!Сбб)); 4) !)А239!С87!!1 5) !!А241!Сб8((1 6) ))А233!С70!)1 7) !/Агоб!с55!!' 8) !!Агоб!сы!!; 9) !!Агоб!Сто!/; 10) !!А4оо!С182!!; 11) !!Аеов!с24з!!; 12) !Авв!Сгео!!' 13) !/А581!Сгзд!!. п=4: 14) !!А~145!С14!!; 15) ))Авоб!стз!|; 16) !!Ат149)сгз!!; 17) !!Або1!сгб(!; 18) ))Авог!сы!!; 19) !!Аыо!стз!!; 20) !!Авы!с74!!; 21) ))Аыг(ств!!; 22) !!Аыз)сб2!!; 23) !!Аыт!сбз/!; 24) !!Аздд!сво!!; 25) !!А444/С157!!; 26) !!Авго!С244!!; 27) !!А521/сг44!/; 28) !(Авгз!с241!; 29) (/А524!С242!!~ 30) /!Абвт!с245!|~ п= 5: 31) !!Авт4!с1в!!; 32) !(А575!с45)!; 33) )!Авто!сзз!!; 34) !(А581!Стт(); 35) ((А581!Стб!!; 36) $!А422!стг!!; 37) !!Автт!ств!; 38) !!Авв4!стд)); 39) )!Автв!Сво!!; 40) )!Авто!св1!!; 41) !!Авве!Свг)!; 42) ))Авв~дсзв!!; 43) !!Азгг!сгвз!!; 44) ))Авгз!С184!!; 45) !(А524)сгвб!); 46) //А588/с1бб//~ 47) !!Авдо!сыо!!; 48) //А544/с248/!; 49) /!Авзз/сг4т!!.
п= 6: 50) !(А591(С271!!. 19.7, Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице, содержащей параметр. Найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее: 1) !!А223!Свз!!~ 2) !!А224!Свб!!~ 3) !!А225!Сзт!!~ 4) !!.422б!С88!!. 19.8. Описать все линейные комбинации решений данной неоднородной системы линейных уравнений, которые являются решениями этой же системы.
19.9. Описать все такие линейные комбинации решений данной линейной неоднородной системы уравнений, которые являются решениями соответствующей однородной системы. 19.10. Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений равен сумме столбцов ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы. г 19. Системы линейных уравнений общего вида 169 19.11. Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений совпадает с последним столбцом ее основной матрицы.
Указать какое-либо частное решение системы. 19.12. Пусть х, у — столбцы решений систем уравнений Ах = а, Ау = Ь соответственно и о, ~9 — некоторые числа. Какой системе уравнений удовлетворяет: 1) з = ах; 2) з = х+ у; 3) з = ох+ 1гу ~ме Условия совместности системы линейных уравнений (19.13 — 19.20) 19.13. Доказать, что если столбцы основной матрицы линейно независимы, то система линейных уравнений имеет не более одного решения.
19.14. Доказать, что если строки основной матрицы линейно независимы, то система уравнений совместна при любом столбце свободных членов. 19.15. Доказать следующее утверждение: если система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов,то строки ее основной матрицы линейно независимы. 19.16.
Доказать, что всегда имеет место одна из двух возможностей: либо система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система имеет ненулевое решение (альтернатива Фредголь ма) . 19.17. Сформулировать условия (и доказать их необходимость и достаточность), которым должна удовлетворять основная матрица для того, чтобы число решений системы линейных уравнений, в зависимости от столбца Ь свободных членов, равнялось: 1) О или 1; 2) 1 или оо; 3) 0 или со; 4) 1 при всех Ь.
19.18. Система линейных уравнений задана своей расширенной матрицей. Проверить совместность этой системы, пользуясь теоремой Фредгольма и результатом задачи 18.9 для соответствующей сопряженной системы уравнений: 1) ~~Аыл~свв)); 2) ))Апв)сво~~; 3) )1Аевт(с1г1)). 19.19. Система уравнений задана своей расширенной матрицей, содержащей параметр. Применяя теорему Фредгольма, найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее: 1) 9Агвз)св16; 2) ~~Аые~сэ1ц', 3) вАьот)сэ19. 19.20. Система уравнений задана своей расширенной матрицей ~)А644(сгвг)~, зависящей от параметров Лы..., Л„,44. Опи- 170 Гл.
7. Сисгнемы линейных уравнений сать множество значений параметров, при которых система совместна, и решить ее. Эквивалентные системы уравнений (19.21 — 19.29) 19.21. Доказать, что если эквивалентны совместные систе- мы линейных неоднородных уравнений, то эквивалентны и со- ответствующие однородные системы, 19.22. 1) Доказать, что нетривиальные уравнения ~) агхг+...+а„х„= О и Ь|х1+" +Ь„х„= О эквивалентны тогда а1 ...а„ и только тогда, когда гК Ь ' ", = 1.
Ь ... Ь„ 2) Доказать, что нетривиальные~) уравнения агх1+... ... + а„х„= а и Ьгх1+ . + Ь„х„= Ь эквивалентны тогда и тольа1 ... а„а ко тогда, когда гК, " ',, = 1. Ь1 ... Ь„ Ь 3) Сформулировать признак попарной эквивалентности Ь линейных уравнений. 19.23. 1) Доказать, что системы линейных уравнений Ах = о, Вх = о эквивалентны тогда и только тогда, когда =.КА = гКВ, 2) Доказать, что совместные системы линейных уравнений Ах = а, Вх = Ь эквивалентны тогда и только тогда, когда гК В Ь вЂ” — гКА=гКВ.
19.24. Проверить эквивалентность систем уравнений 18.1, 11) и 18.1, 12). 19.25. Проверить, эквивалентны ли системы уравнений, определяемые расширенными матрицами: 1) (Аеоз~сгг) и (Аеоз)сгз); 2) (Агзэ)сег) и (Азао)сг47); 3) (Аеег)сев) и (Алэз)стз). 19.26. Проверить эквивалентность всех систем данной со- вокупности (каждая система уравнений задана расширенной матрицей): (Аео1)с14), (Аеоэ)сег) и (Аыо)стз). 19.27. 1) Допустим, что добавление к данной однородной ' системе линейных уравнений еще некоторого числа линейных однородных уравнений не меняет множества ее решений. До- ) Линейное уравнение нешривиалъно, если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от О.
г 19. Сиетеми линейных уравнений общего вида 171 казать, что добавленные уравнения являются линейными комбинациями уравнений данной системы. 2) Доказать то же утверждение для совместной системы линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3. 2). 19.28. 1) Допустим, что каждое решение однородной системы линейных уравнений (А) является также и решением однородной системы линейных уравнений (Б).
Доказать, что тогда каждое уравнение системы (Б) является линейной комбинацией уравнений системы (А). 2) Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3. 1). 19.29. 1) Доказать, что две однородные системы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнения каждой из них являются линейными комбинациями уравнений другой системы, 2) Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Приложения (19.30 — 19.49) 19.30 (р). Пусть Ах = Ь вЂ” произвольная система линейных уравнений. Доказать, что система уравнений (АтА)х = АтЬ совместна. 19.31 (р). Дана квадратная матрица А = ~(аеД.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
