1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1) Ведущая строка переставляется на новое место. Новый номер ведущей строки равен номеру шага. 2) Ведущая строка умножается на число (а;.) ', в результате чего з 16. Ранг матврицы ведущий элемент становится равным единице. 3) К каждой строке, отличной от ведущей, прибавляется ведущая строка, умноженная на некоторое число Л.
Числовые множители выбираются так, чтобы обратить в О все элементы ведущего столбца матрицы, кроме везущего элемента: для й-й строки (1г ф 1) полагаем Л = — аз . В результате преобразований 1) — 3) у-й столбец матрицы А превращается в з-й столбец единичной матрицы, где з — номер шага. Теперь дадим общее описание одной из возможных последовательностей шагов. Если все столбцы матрицы А нулевые, то А имеет упрощенный вид, т = О. В противном случае, просматривая столбцы матрицы слева направо„находим первый ненулевой столбец.
Пусть его номер равен уы В качестве ведущего элемента первого шага выбираем любой ненулевой элемент этого столбца и выполняем первый шаг преобразования. Теперь в матрице первые уг — 1 столбцов нулевые, а у-й столбец равен первому столбцу единичной матрицы. Если при этом т = 1 или и строках с номерами 2,...,т нет ненулевых элементов, то т = 1 и приведение к упрощенному виду закончено. В противном случае выберем самый левый столбец с номером гг > уг, у которого имеются отличные от О элементы ниже первой строки. Любой из этих элементов может быть взят в качестве ведущего элемента второго шага. Выполнив второй шаг процедуры упрощения матрицы, можно продолжить просмотр остальных столбцов и при необходимости перейти к третьему шагу.
Шаг с номером т будет последним, если т = гл или если в строках с номерами т+ 1,..., т не останется ненулевых элементов. На этом процесс упрощения матрицы заканчивается. Другим употребительным способом упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований строк является метод Гаусса.
Вычисления распадаются на два этапа. На первом этапе, называемом прямым ходом метода Гаусса, мы выполняем, как и в методе Гаусса-Жордана, т шагов. При выбранном ведущем элементе а, ей шаг состоит из трех действий: 1) ведущую строку переносим на з-е место; 2) делим эту строку на а;", 3) из каждой строки с номером, большим чем з, вычитаем з-ю строку, умноженную на некоторое число Л. Множители Л выбираются так, чтобы обратить в О все элементы ведущего столбца, расположенные ниже ведущего элемента. Последовательный выбор ведущих столбцов и ведущих элементов совершаем точно так же, как и в методе Гаусса-Жордана.
После последнего (т-го) шага матрица приобретает так называемый ступенчашый вид. Ведущие столбцы ступенчатой матрицы образуют первые столбцов верхней треугольной матрицы, у которой все диагональные элементы равны 1. Все строки ступенчатой матрицы с номерами, большими чем т, нулевые. Ранг ступенчатой матрицы равен т. При отыскании ранга матрицы достаточно привести ее к ступенчатой форме. Гл. б. Машрицы 152 трицы: О О ' ') 2 2 ' ') О 1 ' ') О О ранг ма 21111 21123 42234 21111 000 010 100 111 223 334 6) 5) 7) 16.5. Указать базисные строки в матрицах 1) — 7) задачи 16.4. 16.6. Указать базисные столбцы в матрицах 1) — 7) задачи 16.4. 16.7. Указать базисный минор, базисные столбцы и базисные строки в квадратной матрице с определителем, отличным от О.
Чему равен ранг такой матрицы? Доказать утверждения 16.8-16.13 16.8. Ранг диагональной матрицы равен числу ее элементов, отличных от нуля. 16.9. Если в матрице равны нулю все миноры порядка Й, то и все миноры порядка Й+ 1 равны нулю. 16 ЛО. Ранг матрицы не меньше ранга любой ее подматрицы. 16.11. Приписывание к матрице нулевого столбца не меняет ее ранга.
16Л2. Приписывание к матрице столбца, равного линейной комбинации ее столбцов, не меняет ее ранга. 16ЛЗ. Если столбцы матрицы В являются линейными комбинациями столбцов матрицы А, то г8В < гйА. Для того чтобы привести ступенчатую матрицу к упрощенному ви,пу, можно использовать обратный вод метода Гаусса. Он состоит из г — 1 шагов. На э-м шаге ведущим столбцом является столбец с номером у„,+ы а ведущей строкой — строка с номером т — э+ 1. При этом из каждой строки с номером, меньшим т — э+1, вычитается ведущая строка с таким множителем А, чтобы обратить в О все элементы ведущего столбца, расположенные выше ведущего элемента. После и — 1 шагов все ведущие столбцы превратятся в столбцы единичной матрицы, а данная матрица А приобретет упрощенный вид. 16.1.
Дать описание всех матриц ранга О. 16.2. Дать описание всех матриц ранга 1. 16.3. Возможно ли, чтобы в матрице не было базисного минора? 16.4. Указать какой-нибудь базисный минор и определить з 16. Ранг матрицм 153 16.14. Оценить ранг матрицы 5А Вф~ через ранги матриц А и В. 16.15. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую высоту, и ранг А не меняется после приписывания к ней любого из столбцов В. Доказать, что г8((А В((~г = г8 А. 16.16.
Доказать следующие свойства ранга матрицы: 1) Умножение какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля, не меняет ее ранга. 2) Перестановка строк матрицы не меняет ее ранга. 3) Прибавление к какой-либо строке матрицы линейной комбинации остальных строк не меняет ее ранга.
4) Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее столбцов. 16.17. Описать способ вычисления ранга матрицы с использованием элементарных преобразований ее строк и столбцов. 16.18. Вычислить ранг матрицы: 1) )(10$2) ~(010)~; 3) Агт', 4) Аго; 5) Атз; 6) Апб 7) Ат; 8) Авт', 9) Аыд, 10) Агог, 11) -4гоь; 12) Агзз' 13) Агы, '14) Агзг' 15) Азов; 16) Азов; 17) А4ов', 18) А4ьг; 19) Аць', 20) Аььз', 21) А,и4; 22) А4ьь', 23) А,дз; 24) Аьвт, 25) Аьзз, 26) Аь44', 27) Аьвг, '28) Авзг, 29) Авзз. 16.19. Вычислить ранг матрицы при всевозможных значениях параметра: 1) Атв,' 2) Азот; 3) Азвь; 4) Азвз; 5) Азов; 6) Авго; 7) Аььь.
16.20. Вычислить ранг матрицы А — Л.Е при всех значениях параметра Л, если: 1) А=Аьт; 2) А=Азы; 3) А =А4зр 16.21. Доказать, что если с1еФ А = О, то строки матрицы А, так же как и ее столбцы, линейно зависимы. 16.22. Матрица А имеет порядок п и содержит нулевую подматрипу порядка и — 1. Оценить ранг А. 16.23. Матрица А имеет порядок и и содержит нулевую подматрицу порядка в.
Оценить ранг А. 16.24. Матрица А имеет порядок и и содержит подматрицу порядка и — 1, имеющую ранг 1. Оценить ранг А. 16.25. 1) Оценить ранг произведения двух матриц через ранги сомножителей. Гл. 6. Матрикм 2) Привести примеры, когда выполнены соотношения: г8АВ < г8А, гйАВ < г8В, г3АВ < тт(гйА,г8В), г8АВ = = г8А, г8АВ = г8В. 16.26. 1) Пусть а — строка, Ь вЂ” столбец. Вычислить ранг матрицы Ьа.
2) (р). Пусть гкА = 1. Доказать, что матрица А равна произведению некоторого столбца на некоторую строку. 16.27 (р). Пусть А, В, С вЂ” матрицы, с1ез А ф 0 и определены произведения АВ, СА. Доказать, что г3АВ = гя В, г3СА = = г8 С. Может ли быть выполнено какое-либо из этих равенств, если бе$А= О? 16.28.
Доказать, что если гяА = г, то минор, стоящий на пересечении г линейно независимых строк и г линейно независимых столбцов матрицы А, отличен от О. 16,29. Пусть матрица А состоит из г линейно независимых столбцов,  — из т линейно независимых строк. Чему равен ранг АВ? 16.30. Матрицы А и В имеют размеры соответственно т х г и т х и, и г8АВ = г. Найти ранги матриц А и В. 16.31. Разложение матрицы А в произведение А = ВС называется скелетююм, если г8А = гйВ = г8С и матрицы В и С имеют полный ранг (т.е. ранг, равный одному из размеров матрицы). 1) Доказать, что всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы М, состоящей из базисных строк А, на некоторую матрипу К (скелетное разложение матрицы по строкам). 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для скелетного разложения матрицы по столбцам.
3) Как связаны между собой различные скелетные разложения одной матрицы? 16.32, Найти какие-нибудь скелетные разложения (см. задачу 16.31) по строкам и столбцам для следующих матриц: 1) Аы; 2) Азз1, 3) Азы, 4) Аюз; 5) А4з4. 16.33. Доказать, что любую матрицу ранта г можно представить в виде суммы т матриц ранга 1.
16.34. Указать, какие из выписанных ниже соотношений возможны. Какие из них выполнены для произвольной пары матриц одинаковых размеров? гг 16. Ранг гтатирицтн 155 1) гК(А+В) =гКА; 2) гК(А+В) = тпах(гКА,гКВ); 3) гК(А+ В) = гКА+гКВ; 4) гК(А+ В) < ппп(гКА,гКВ); 5) гК(А+ В) < гК А+ гК В; 6) гК(А+В) < гКА+гКВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
