1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Элемент группы вида дЬд ~ называется сопряженным с элементом Ь посредством д. Две группы Сг и Сг (с операциями и * соответственно) называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное (биективное) отображение гх Сг -+ Сг, что для любых двух элементов а и Ь из С выполняется равенство у(а Ь) = у(а) * Эг(Ь). Обозначение изоморфизма групп: Сг Ы Сг. Пусть Н вЂ” подгруппа в С.
Левым смежным классом элемента д б С пв подгруппе Н называется множество дН = (дЬ: Ь б Н). Аналогично определяется правый смезсный квасе Нд = (Ьд: Ь б Н). Группа С разбивается на попарно не пересекающиеся левые (правые) смежные классы по подгруппе Н, причем мощность любого смежного класса равна мопшости Н. Отсюда следует теорема Лагранжа: порядок конечной группы делится иа порядок любой ее д.ру В общем случае дН ф Нд; если подгруппа Н нормальна в С, то дН = Нд для всех д Е С. При этом множество С/Н смежных классов группы С по подгруппе Н является группой относительно операции умножения классов, определяемой равенством (аН) (ЬН) = (аЬ) Н. Эта группа называется фактвргруппой группы С пв нормальной подгруппе Н. Пусть ߄— совокупность всех взаимно однозначных преобразований множества Х = (1, ..., п).
Любое преобразование в б Я„определяет переспгаиввку (гы...,г„) чисел (1,...,п) (см. э 14); само преобразование в называстсл подстановкой (или также перестановкой) степени и и изображается двухрццным символом, указывающим образ любого числа Й (1 < Й < и): в = / 1 2 ... и 1 (, гг гг " гч ) ' Умножение перестановок определяется так же, как и для любых преобразований.
Относительно операции умножения множество Я„образует группу — симметрическую группу степени и. 13.1. Образует ли группу относительно операции умножения данное множество преобразований плоскости: 122 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 1) множество всех параллельных переносов; 2) множество всех параллельных переносов на ненулевые векторы; 3) множество всех поворотов вокруг фиксированной точки; 4) множество всех поворотов; 5) множество всех ортогональных преобразований; 6) множество всех ортогональных преобразований второго рода; 7) множество всех ортогональных преобразований, имеющих общую неподвижную точку; 8) множество всех аффинных преобразований; 9) множество всех линейных преобразований; 10) множество, состоящее из тождественного преобразования и симметрии относительно данной прямой; 11) множество поворотов плоскости вокруг центра правильного п-угольника, совмещающих этот и-угольник с самим собой (вращения правильного и-угольника); 12) множество всех преобразований подобия? 13.2.
Образует ли группу относительно операции умножения множество преобразований плоскости, заданных формулами: 1) х*=Лх, у*=Лу; 2) х*=Лу,у*=Л ~х,ЛфО; 3) х' = Лх, у* =у, Л~ О; 4) х* = х, у* = Лх+ у; 5) х* = ах+ Ьу, у* = ох+Ну; 6) х* = ах + Ьу, у' = сх + ау, аа — Ьс ~ 0; 7) х* = ах — Ьу, у* = Ьх+ ау, а~ + Ь ф 0; 8) х* = т(хссах — ув1пу), у* = г(хз1п~р+усозу), г ) 0; 9) х* = а1х+Ь1у+ем у' = а2х+Ьзу+се, агЬ2 — а2Ьз = 1? 13.3. Образует ли группу относительно операции сложения: 1) множество всех действительных чисел; 2) множество всех неотрицательных действительных чисел; 3) множество всех рациональных чисел; 4) множество всех целых чисел; 5) множество всех четных чисел; 6) множество всех нечетных чисел; 7) множество всех комплексных чисел; 8) множество всех чисто мнимых комплексных чисел; 9) множество из одного числа О? 13.4.
Образуег ли группу относительно операции умножения: 1) множество всех действительных чисел; з 13. Понятие о группах 123 2) множество всех положительных действительных чисел; 3) множество всех рациональных чисел; 4) множество всех натуральных чисел; 5) множество всех ненулевых комплексных чисел; 6) множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1; 7) множество всех ненулевых чисто мнимых комплексных чисел; 8) множество комплексных корней и-й степени из 1 (п— натуральное число)? 13.5. Доказать, что в любой группе: 1) единичный элемент е единственен; 2) для любого элемента а обратный элемент а ~ единственен; 3) равенство ах = Ь равносильно х = а г Ь, а равенство ха = = Ь равносильно х = Ьа ~; 4) для любых элементов а и Ь выполняется равенство (аЬ) ~ =Ь га ~. 13.6.
Доказать, что если квадрат любого элемента группы равен единичному элементу, то группа абелева. 13.7. Доказать, что все аффинные преобразования плоскости, при которых данный треугольник переходит в себя, образуют неабелеву группу. Найти порядок этой группы. 13.8. Доказать, что две группы изоморфны: 1) группа комплексных чисел относительно операции сложения и группа параллельных переносов плоскости относительно операции умножения (композиции); 2) группа комплексных чисел, по модулю равных 1, относительно операции умножения и группа поворотов плоскости вокруг фиксированной точки относительно операции умножения; 3) группа ненулевых действительных чисел относительно операции умножения и группа гомотетий с центром в данной точке относительно операции умножения (коэффициент гомотетии отличен от нуля); 4) группа ненулевых комплексных чисел относительно операции умножения и группа преобразований плоскости, заданных формулами х* = ах — Ьу, у* = Ьх + ау (а + Ьг > О), относительно операции умножения; 5) группа действительных чисел относительно операции сложения и группа положительных действительных чисел относительно операции умножения; 124 Гл.
б. Преобразооанил плоскости. Группы б) группа С„вращений правильного и-угольника относительно операции умножения и группа У„комплексных корней и-й степени из 1 относительно операции умножения. 13.9. Доказать, что существуют только две неизоморфные группы, содержащие четыре элемента. Привести примеры для обоих случаев. 13.10. Доказать, что данная группа является циклической, и найти ее образующий элемент: 1) группа всех целых чисел относительно сложения; 2) группа пХ целых чисел, кратных данному натуральному числу и, относительно сложения; 3) группа У„комплексных корней степени п из 1 относительно умножения; 4) группа С„вращений правильного п-угольника. 13.11.
Найти все подгруппы групп из задачи 13.10. 13.12. Доказать, что; 1) всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел; 2) все конечные циклические группы одинакового порядка изоморфны друг другу. 13.13. Доказать, что; 1) всякая подгруппа циклической группы сама циклическая; 2) порядок любой подгруппы конечной циклической группы является делителем порядка группы. 13.14. Пусть Н вЂ” непустое подмножество группы С. Доказать,что Н является подгруппой в С тогда и только тогда, когда выполняются два условия: а) если Ьы Ьг Е Н, то Ь1Ьт Е Н, б) если Ь е Н, то Ь ~ е Н. 13.15.
Пусть Н вЂ” непустое подмножество группы С, замкнутое относительно умножения (т. е. выполнено условие а) задачи 13.14). Доказать, что при любом из следующих условий Н будет подгруппой в С: 1) Н вЂ” конечное множество; 2) все элементы из Н имеют конечные порядки. 13.16. Показать, что: 1) группа всех ортогональных преобразований, сохраняющих данный правильный п-угольник (называемая его группой симметрии, а также группой дпэдра степени и, Р„), содержит 2п преобразований; З 13. Понятие о группах 125 2) группа С„вращений правильного и-угольника является нормальной подгруппой в В„.
13.17. Пусть ~С~ = 2п и Н вЂ” подгруппа в С порядка и. Доказать, что Н вЂ” нормальная подгруппа группы С. 13.18. Доказать при помощи теоремы Лагранжа, что: 1) порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента; 2) группа простого порядка является циклической. 13.19. Пусть С= ггз — группа симметрии правильного треугольника (см. задачу 13.16), а Н вЂ” ее подгруппа, состоящая из тождественного преобразования г и симметрии относительно одной из высот треугольника. Найти разбиение группы С на левые и правые смежные классы по Н и убедиться в том, что Н не является нормальной подгруппой в С. 13.20. Доказать, что: 1) параллельные переносы образуют нормальную подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости; 2) преобразования, имеющие общую неподвижную точку, образуют подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости, но она не является нормальной.
13.21. Доказать, что: 1) если конечное множество аффинных преобразований плоскости образует группу, то все преобразования из этого множества имеют общую неподвижную точку; 2) всякая конечная группа ортогональных преобразований плоскости является группой симметрии или группой вращений некоторого правильного многоугольника. 13.22. Найти (с точностью до изоморфизма) факторгруппу С(Н, если: 1) С вЂ” группа всех комплексных чисел с операцией сложения, Н вЂ” подгруппа всех вещественных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
