1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 21
Текст из файла (страница 21)
12.42. Найти все неподвижные точки аффинного преобразования, заданного формулами: 1) х' = 7х — Зу, у* = х+ у; с 2) х' = — бх+у, у* =Ох; 3) х'= — 5х+у, у'=Ох+1; 4) х' = 2х — у+ 3, у' = — 2х+ 2у — 6; 5) х" = 4х+ Зу — 1, у* = — Зх — 2у+ 1; 6) х' = х, у* = у. 12.43. Найти инвариантные прямые линейного преобразования, заданного формулами: 1) х' = 2х+ Зу, у' = -у; 112 Гл. б.
Лреобраэоваыпл плоскостпи. Группы 2) х' = — х+ у, у' = х — у; 3) х' = у — 9, у* = 9х+ 1; 4) х' = у, у* = — х+ 1; 5) х' = 2х+ у — 3, у* = 2х+ Зу — 6; 6) х* = 5х+ Зу+1, у* = — Зх — у; 7) х' = Зх — 2у+ 5, у' = 2х — у+ 5. 12.44. Доказать, что определитель Й = линейного а1 Ь1 аа Ьа преобразования, заданного формулами х' = а1х+Ь1у+сы у" = а2х+52у+сз не зависит от выбора системы координат. 12.45. Точки А, В, С имеют в системе координат О, ем ез координаты (1,0), (0,1), (1,1) соответственно, а в системе координат О*, е*,, е* — координаты (1, — 1), ( — 3,2), (0,1) соответственно. Записать формулы, задающие в системе координат О, еп е2 аффинное преобразование ~ такое, что ДО) = О', У(е1) = е1, ~(еа) = е2.
12.46. Даны формулы перехода от системы координат О, еа, е2 к системе О', е1, е'. Записать формулы, задающие в системе координат О, еы е2 аффинное преобразование ~ такое, что ДО) =О', Де1) =е', Де2) =е2. 1) х = х'+ у' — 2, у = 2х' — у'+ 3; 2) х = Зх' — 4у' — 5, у = 4х'+ Зу'+ 1. 12.47. Записать формулы, задающие аффинное преобразование: 1) переводящее прямые х — у+1=0, х+у — 1=0 соответственно в прямые Зх + 2у — 3 = О, 2х + Зу + 1 = О, а точку А(1,1) — в точку В( — 1,— 2); 2) переводящее прямые А1х+ В|у+ С1 = 0 и Аох+ В2у+ + Са = 0 соответственно в ось ординат и ось абсцисс, а точку А(хо,уо) — в точку В(1,1) (точка А не лежит на данных прямых).
12.48. Дано аффинное преобразование х' = 2х+Зу, у* = = Зх+ 5~. Составить уравнение образа кривой: 1) х +уз=1; 2) хз — у2=1; 3) ху=2; 4) уз = — бх; 5) (Зх+4у — 1)(4х — Зу+1) = 0; 6) (х+у — 1)(х+у+1) = 2. Э 1е. Линейные и аффиннме преобразования пяоености 113 12.49. Дано аффинное преобразование х* =-х+5у+1, у' = Зх — 29 — 1. Составить уравнения прообраза кривой: хг 1) хг+ уг = 4; 2) — — уг = 1. 3) (д+ «г = 3(х — Ц; 4) (х+у — 1)(х — у — 1) = 1; 5) (х + 2у — 2) (х + 2у + 2) = О. 12.50.
1) Записать формулы аффинного преобразования г первого рода, переводящего эллипс — + уг = 1 в себя так, что точка А(1, ~/3/2) переходит в точку В( — 2,0). 2) Решить такую же задачу для аффинного преобразования второго рода. 12.51. Записать формулы аффинного преобразования, пе- У реводящего гиперболу — — — = 1 в себя так, что точка А(5,4) переходит в точку В(~/5,0).
12.52. Найти аффинное преобразование, если оно переводит параболу хг = 4у в себя и: 1) точка Аг(2,1) переходит в точку Вг(4,4), а точка Аг(1, 1/4) — в точку Вг(3, 9/4); 2) определитель преобразования равен 1. В задачах 12.53 — 12.62 система координат предполагается прямоугольной. 12.53. Написать формулы, задающие данные преобразования плоскости: 1) поворот на угол р вокруг начала координат; 2) поворот на угол у вокруг точки М(хе, уо); 3) ортогональное проектирование на ось абсцисс; 4) ортогональное проектирование на прямую х — Зу+1= =0; 5) симметрия относительно оси ординат; 6) симметрия относительно прямой Зх+4у — 1= О; 7) сжатие к оси абсцисс с коэффициентом Л > 0; 8) сжатие к прямой х+ у — 2 = О с коэффициентом 1/3; 9) сжатие к прямой 2х — у+ 5 = 0 с коэффициентом 2.
12.54. Какие из преобразований задачи 12.53 являются: 1) аффинными; 2) ортогональными? 12.55. Охарактеризовать геометрически преобразования: 1) х' =х, у' =Зу; 2) х" =2х, у" =2у; 114 Гл. б. Преобразования плоскости. Группы 3) х* = х — 1, у' = у+ 1; 4) х' = -х, у' = у; 5) х* = -х, у' = -у; 6) х' = -у, у' = х; 7) х' = у, у' = х; 1 1 8) х*= — (х — у), у'= — (х+у); ~/2 ~/2 1 1 9) х'= — (х+у), у' = — (х — у); ъ'2 ~/2 10) х' = Зх — 6, у* = Зу+ 2; ,ГЗ,,гЗ 11) х' = -х — — у — 1, у' = — х+ -у+ 1; 2 2 ' 2 2 ,Гз,,/з 12) х'=-х+ — у — 1, у'= — х — -у+~/3; 2 2 ' 2 2 13) х' = — х — 2, у' = — у+ 2; 1 1 14) х' = — (21х+ 12у), у* = — (12х+ 14у); 10 10 1 1 15) х" = -(2х+у — 2), у' = -(х+2у+2); 3 3 16) из задачи 12.40, 3); 17) из задачи 12.41, 2).
12.56. При повороте плоскости на угол Зх/4 вокруг точки А(0, 1) найти: 1) образы точек О(0, 0) и В(1,0); 2) прообразы точек О и В; 3) образы прямых х = 0 и у =х; 4) прообразы прямых у = 0 и у =-х. 12.57. На какой угол нужно повернуть прямую Зх — 4у+ + 25 = 0 вокруг точки М( — 7, 1), чтобы ее образ: 1) был параллелсн оси абсцисс; 2) касался окружности х~+у~ = 25/2? 12.58. Центром квадрата является точка Р( — 1,2), а одна из сторон задана уравнением х+ 2у = О. Составить уравнения остальных сторон квадрата.
12.59. Центром правильного шестиугольника является точка Р( /3, 3/2), а одна из сторон задана уравнением у = ~/Зх. Составить уравнения остальных сторон шестиугольника. 12.60. Вычислить: 1) площадь параллелограмма, стороны которого заданы уравнениями а1х+Ь1у+с~ =О, азх+Ьту+ст = О, а1х+Ь1у + + а1 = О, атх+ Ьту+ Ыз = 0; 2) (р) площадь треугольника, стороны которого заданы уравнениямиа1х+Ь1у+с1 = О, азх+Ьту+сз = О, азх+Ьзу+се = О. у 12. Линейные и а4финньье преобразования плоскости 115 12.61.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку М( — 7, 13) и образующей с прямыми 2х+ р+ 3 = 0 и х + + р — 2 = 0 треугольник площади 9. 12.62. Окружность задана уравнением хэ + р — бх+ 8р = = О. Составить уравнение окружности; 1) симметричной данной окружности относительно прямойх+р †6; 2) полученной из данной окружности поворотом на угол агс18(4/3) относительно начала координат; 3) полученной из данной окружности в результате гомотетии с центром А(6,0) и коэффициентом 4.
Операции с линейными преобразованиями. Структура ортогональных и аффинных преобразований (12.63 — 12.89) Система координат, если не оговорено, считается прямоугольной. 12.63. Записать формулы, задающие произведения уд и ду данных аффинных преобразований (система координат общая декартова): 1) 1: х" = р, р' = х; д: х* = Зх+4р+1, р' = — 7х+ 5р — 2; 2) ~: х" = 4х — 2р+ 6, р' = — Зх+ р; д: х' = х — р, р' = 4х+ + р+1.
12.64. Записать формулы, задающие произведение 1д данных аффинных преобразований у и д, и охарактеризовать это произведение геометрически (система координат общая декартова): 1) г" — параллельный перенос на вектор а( — 1,1); д — гомотетия с центром в точке М(1,2) и коэффициентом 3; 2) у — гомотетия с центром в точке М(2, — 1) и коэффициентом — 1/2; д — центральная симметрия относительно точки И(З, 1). 12.65. Записать формулы, задающие преобразование, обратное к данному (система координат общая декартова), если такое преобразование существует: 1) х' = р + 3, р' = — х + Зр — 1; 2) х' = Зх+ 4р+ 8, р* = 5х+ 7р+ 6; 4 3 1, 3 4 2 3) х* = -х+ -р+ —, р* = -х — -р — —; 5 5 5' 5 5 5' 4) х' = Зх+ 5р — 4, р* = 5х+9р+6; 5) х* = Зх — 24, р' = — х+ 4р+ 12; 116 Гл.
б. Преобразования пяоскостпи. Группы 6) х' = 2х — у, у' = — 4х+ 2у; 7) х' = 4х-Зу, у' = Зх+ 4у; 8) х' = 4х + Зу, у" = Зх — 4у; 9) х' = т(хеопс — уандер), у' = т(хйпу+ усов р) (т > 0); 10) х' = т(хсову+уэ1пр), у* = т(хэ1пр — усову) (т > 0). 12.66. Записать формулы, зцдающие и-ю степень данного преобразования (и — натуральное число): 1) х* = хсово — уипа, у* = хаша+усова; ~/3,, 3 2) х* = -х+ — у, у' = — — х+ -у; 2 2 ' 2 2 3) х' = х+ у, у* = у; 4) х' = Зх, у' = х+ 2у. 12.67. Записать формулы, задающие произведение /д данных аффинных преобразований У и д. 1) / — гомотетия с центром в точке М(0,1) и коэффициентом 5, д — симметрия относительно прямой х — 2у — 3 = 0; 2) / — сжатие с коэффициентом 3 к прямой у = х, д— сжатие с коэффициентом 1/3 к прямой х+ у+ 1 = 0; 3) / — гомотетия с центром в точке М(2, — 1) и коэффициентом 4, д — поворот вокруг точки А(1, 1) на угол я/6; 4) / — сжатие с коэффициентом 1/2 к прямой 2х+ Зу = О, д — гомотетия с центром в точке М(1,0) и коэффициентом -3/2.
12.68. Написать формулы и охарактеризовать геометрически преобразования, обратные к преобразованиям задачи 12.55, 1)-15). 12.69. Написать формулы, задающие произведения /д и д/ ортогональных преобразований / и д: 1) / — поворот на угол х/2 вокруг точки А(1,1), д — параллельный перенос на вектор а( — 1, — 1); 2) / — симметрия относительно прямой х — 2у — 5 = О, д— параллельный перенос на вектор а(2,1); 3) / — поворот на угол 2я/3 вокруг начала координат, д— симметрия относительно прямой у = 2; 4) / — симметрия относительно прямой х — у — 1 = О, д— симметрия относительно прямой х+ у — 1 = 0; 5) / — симметрия относительно прямой Зх — у — 1 = О, д— симметрия относительно прямой Зх — у+ 1 = 0; 6) / — поворот на угол агссйп(4/5) вокруг точки А(1,0), д — поворот на угол агссоз(4/5) вокруг точки В(-1,0); 7) / — поворот на угол 30' вокруг точки А(1,0), д — поворот на угол ЗЗО' вокруг точки В(0,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
