1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 16
Текст из файла (страница 16)
10.13. Найти координаты центра поверхности, уравнения оси вращения и горловой окружности, определить радиус горловой окружности, изобразить поверхность х~ + 2уг = 1. 10.14. Найти точки пересечения поверхности х~ +у~ = х и прямой: 1) х=у=$, с=41; 2) х=у=г+1; х — 1 у+1 г+6 3) — = — = —.
1 1 8 10.15. Сколько общих точек могут иметь прямая и поверхность второго порядка? Привести примеры. 10.16. Определить, лежит ли точка М(1,1,1) внутри или вне эллипсоида х2+ 2ув+ Зг~ = 4. 10.1Т. Ось Ог направлена вверх. Определить, лежит ли точка М(1, 1,1) выше или ниже параболоида х~+ 2у2 = 2х. Поверхности вращения, цилиндры и конусы (10.18 — 10.45) 10.18. Привести примеры поверхностей вращения, которые являются алгебраическими поверхностями порядка 2, 3, 4.
10.19. Назвать типы и выписать канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка. З 10. уравнения множеств и элементарная теория 87 10.20. Привести примеры цилиндрических поверхностей, которые являются алгебраическими поверхностями порядка 3, 4. 10.21. Привести пример цилиндрической поверхности, не являющейся алгебраической. 10.22.
Привести примеры цилиндров и конусов, не являющихся поверхностями вращения. 10.23. Доказать, что всякое уравнение вида г'(х,у,х) = О, где Š— однородный многочлен, определяет конус с вершиной в начале координат. 10.24. Привести пример конической поверхности, не являющейся алгебраической. 10.25. Можно ли рассматривать плоскость как частный случай конической поверхности? Как частный случай цилиндра? Как поверхность вращения? 10.26. Составить векторное уравнение прямого кругового цилиндра радиуса Л, имеющего ось г = го+ а$. 10.27. Составить векторное уравнение сферы с центром в точке Мо(го) и радиусом В.
10.23. Составить векторное уравнение прямого кругового конуса с вершиной в точке Ме(ге) и осью г = го+ аФ, зная, что угол между его образующей и осью равен се. 10.29. Составить векторное уравнение зллипсоида, получаемого вращением эллипса с фокусами в точках М1(г1), Мз(гз) и большой полуосью а вокруг большой оси зллипса. 10.30.
Найти уравнение поверхности, получаемой вращением параболы еэ = х: 1) вокруг оси Ое; 2) вокруг оси Ох. 10.31. Найти уравнение и определить тип поверхности, получаемой вращением гиперболы х~ — уз = 2: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. 10.32. Найти уравнение поверхности, получаемой вращением окружности ха+ рз — 4х+ 3 = 0 вокруг оси Ои. 10.33. Найти уравнения поверхностей, получаемых вращением гиперболы ху = 1 вокруг асимптот. 10.34. 1) Написать параметрические уравнения поверхности, образованной вращением кривой х = у(х) (х ) О) вокруг оси Ою 88 Гя.
4. Поверхности второго порядка 2) Написать параметрические уравнения поверхности, образованной вращением кривой х = ~р(Ф), у = г)г(с), г = ~(Ф) вокруг оси Ог. 10.35. Доказать, что цилиндрическая поверхность с направляющей, заданной параметрическими уравнениями х = = ~р($), у = ф(Ф), г = т(Ф), и с образующей, параллельной вектору а(аыаз,аз), определяется уравнениями х = у(и)+а1и, у = фи)+ази, г = т(и)+ ази.
10.36. Доказать, что конус с направляющей, заданной параметрическими уравнениями х = у(Ф), у = гр(1), г = у(1), и с вершиной в начале координат определяется уравнениями х = ыр(и), у = игр(и), г = и~~(и). 10.37. Найти уравнение прямого кругового цилиндра радиуса 42 с осью х= 1+1, у=2+1, с =3+1.
10.38. Найти уравнение прямого кругового цилиццра, проходящего через точку М(1,1,2) и имеющего ось х = 1+1, у =2+1, г = 3+8. 10.39. Найти уравнение прямого кругового конуса с вершиной в начале координат и направлением оси, определяемым вектором а(1,1,1), зная, что образующие конуса составляют с его осью угол атосов(1/с/3).
10.40. Найти уравнение и определить тнп поверхности, образованной вращением прямой х = 1+ ~, у = г = 3+ г вокруг оси Ог. 10.41. Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой х = О, у — с+1= 0 вокруг оси Ог. 10.42. Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой х = — Ф, у = г = 21 вокруг прямойх=у=2.
10.43. Найти уравнение конуса с вершиной в точке М(1, 1, 1), касающегося сферы хг + уг + гР = 2. 10.44. Найти параметрические уравнения цилиндра с образующей, параллельной вектору а(1, 1, 1), и направляющей, заданной уравнениями х = -1+ 2сов1, у = — 1+2в1пс, г = 3— — 2совт — 2в1пй 10.45. Исключив параметры, получить алгебраическое уравнение поверхности х =и+соек, у=и+айпи, с=ив — сови — сбпи. Что это за поверхность? з э0.
Уравненшь множеств и элементарная творил 89 Сечения поверхностей второго порядка (10.46 — 10.76) 10.46. 1) Сечения поверхности х~+ 2уз — Зхз — 1 = 0 плоскостями х = О, х = 1, х = 2 спроектированы на плоскость Оув. Изобразить проекции. 2) Сечения поверхности х~+ 2у2 — Заз = 0 плоскостями х = = -1, х = О, х = 1 спроектированы на плоскость Оув. Изобразить проекции. 3) Сечения поверхности 2х~ — у~ = 2г плоскостями х = — 1, х = О, х = 1 спроектированы на плоскость Оуэ. Изобразить проекции. 4) Сечения поверхности 2х~ — у~ = 2г плоскостями у = — 1, у = О, у = 1 спроектированы на плоскость Охв. Изобразить проекции.
5) Сечения поверхности 2х~ — у~ = 2х плоскостями э = — 1, э = О, э = 1 спроектированы на плоскость Оху. Изобразить проекции. 10.47. 1) Сечения поверхностей х~ + 2у~ — Зэ~ — 1 = О, х~ + + 2у~ — Зэз = О, х~ + 2у~ — Зэ2+ 1 = 0 плоскостью х = 0 спроектированы на плоскость Оуэ. Изобразить проекции. 2) Сечения тех же поверхностей плоскостью а = 1 спроектированы на плоскость Оху.
Изобразить проекции. 10.48. 1) Является ли линия пересечения двух поверхностей второго порядка плоской кривой? Привести примеры. 2) Пусть линия пересечения двух поверхностей второго порядка плоская. Будет ли эта линия алгебраической? Ксли да, то какого порядка? Рассмотреть примеры. 10.49. Определить вид линии пересечения поверхностей х~+ у~ = 2г, х~ + у~+ х~ = 8 и найти ее параметрические уравнения, 10.50.
Доказать, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Привести примеры, когда это линия первого порядка. 10.51. Пусть г — поверхность, определяемая алгебраическим уравнением Р(х,у) = О, Š— непустое множество точек, определяемое уравнениями г'(х, у) = О, э = О. Доказать утверждения: 1) г — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Оэ, и направляющей .С; Гя. 4.
Ловерхяоети второго порядка 2) Е есть сечение У' плоскостью Оху; 3) Е есть проекция У на плоскость Оху; 4) Е есть проекция любой направляющей цилиндра на плоскость Оху; 5) г". содержит проекцию на плоскость Оху любой кривой, лежащей на цилиндре У. 10.52. Найти уравнение проекции линии пересечения поверхностей х~+ 2уэ = 2», х+2р+» = 1 на плоскость Оху. Что представляет собой эта линия? 10.53. Пусть Б — сечение параболоида х~ + уэ = 2» плоскостью, которая пересекает положительную полуось О» в единственной точке.
Доказать, что проекция о' на плоскость Оху есть окружность. 10.54. Доказать, что линия пересечения поверхностей х~ + + у = 2», х+у+» = 1 есть эллипс, и найти его параметрические уравнения. 10,55. По какой линии пересекаются параболонд х2 — у2 = = 2» и плоскость х + у +» = 1? 10.56. Найти координаты центра и радиус окружности х~+у +»~ — 12х+49 — 6»+24 =0, 2х+2р+»+1 = 0. 10.57.
Составить параметрические уравнения конуса с вершиной в начале координат и направляющей, определенной уравнениями х + р~ = 2», х+ у+» = 1. 10.58. Найти уравнение цилиндра с образующей, параллельной оси О», и направляющей — окружностью х +р + + »2 = 3, » = 1, 10.59. Образующая цилиндра параллельна оси О», его направляющая — окружность х~+уз = 2», х~+уэ+»~ = 8. Найти уравнение цилиндра. 10.60. Образующие цилиндра параллельны оси О», его направляющая — эллипс х + уэ = 2», х + у +» = 1.
Доказать, что это — прямой круговой цилиндр, написать его уравнение, найти ось и радиус. 10.61. Образующие цилиндра параллельны вектору а (1, 1, 1), его направляющая — окружность х2 + у» = 2», х~+уз+»~ = 8. Написать уравнение цилиндра. 10.62. Найти уравнение конуса с вершиной в точке О(0,0, 0) и направляющей — окружностью х~ + уэ +»~ = 1, х+ р+» = '.. 2 ЕО.
Уравнения мнолсеетв и элементарная теория 91 10.63. Найти уравнение эллипсоида, плоскости симметрии которого совпадают с плоскостями координат, содержащего точку М(3,1,1) и окружность х2+92+ за = 9, х — е = О. 10.64. Доказать, что центры плоских сечений эллиптического цилиндра лежат на его оси. 10.65. Найти центр сечения эллипсоида х2 + 292 + 422 = 40 плоскостью: 1) х+у+2е= 5; 2) х+р+х= 7.
10.66 (р). Найти центр сечения гиперболоида х2+2у2— — 422 = — 4 плоскостью х+ у+ 22 = 2. 10.67. Пусть Мо(5,7,20) — точка плоскости, а р( — 3/~/Г1, 1/с/П, 1/с/Г1), ц(1/~/6, 1/~/6, 2/~/6) — ортонормированный базис на ней. Написать уравнения линии пересечения этой плоскости и конуса х2 + 5р2 — я = 0 во внутренней системе ко- 2 2 ординат Мо, р, с1. Найти координаты центра линии пересечения и уравнения ее осей симметрии в исходной (пространственной) системе координат. 10.68 (р). Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида х2 + 2у2 + 3е2 = 4 плоскостями, параллельными плоскости х+у+г = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
