1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 17
Текст из файла (страница 17)
10.69. Найти уравнение множества центров сечений гиперболоида х2+ у2 — Зг2 = 2 плоскостями, параллельными плоскости х+у+ я = 1. 10.70. Найти уравнение множества центров сечений параболоида х2+92 = 2г плоскостями, параллельными плоскости х+у+ я = 1. 10.71 (р). Найти уравнение плоскости, пересекающей эллипсоид х2 + 2у2 + 4х2 = 9 по эллипсу, центр которого находится в точке С(3,2,1). 10.72. Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоида Зх2+ 4у2+ 522 = 36 и сферы х2 + у2+ 22 = 9 на координатные плоскости. Что представляет собой сечение? 10.73. Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоидов х2+ 2у2 + Згэ = 4, Зх2+ бу2 + бе2 = 10 на координатные плоскости.
Что представляет собой эта линия? 10.74. Написать уравнения проекций линии пересечения поверхностей х2+ у2 — г2 = 1, х2 — р2 = 2х на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия? Найти ее параметрические уравнения. Гл. 4. Поверхности второго нарядна нн 10.75 (р). Найти уравнения проекций линии пересечения поверхностей бх~ — Зу + 4х~ = О, х~ — у~ + х~ + 1 = О на координатные плоскости. 10.76.
Доказать,что линия пересечения параболоида х + + 2уг = 4х + 10 и сферы х + у2 + х = 6 состоит из двух окружностей. Найти точки пересечения этих окружностей и их радиусы. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка (10.77 — 10.88) 10.77. Назвать типы поверхностей второго порядка, имеющих прямолинейные образующие. 10.78. Может ли число прямолинейных образующих, проходящих через одну точку поверхности второго порядка, равняться О? 1? 2? 3?...
Может ли оно быть бесконечным? Привести примеры. 10.79. Найти уравнение семейства прямолинейных образующих цилиндра х~ — у = 1. 10.80. Найти уравнение семейства прямолинейных образующих конуса х~ + у~ — х~ = О. 10.81. Найти прямолинейные образующие параболоида 4х~ — у = 16х, пересекающиеся в точке М(2,0,1). 10.82.
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1,1,1) и Ф(2,0,2) и пересекающей параболоид хг — уг = = 2х по паре прямых. 10.83. Найти уравнение плоскости, пересекающей гиперболоид х~+ 4у~ — 9хг = 36 по паре прямых, проходящих через точку М(6, — 3,2). 10.84. Даны параболоид х~ — у~ = 2х и плоскость х + + у+ х = 1.
Найти уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по паре прямых. Найти уравнения этих прямых и угол между ними. 10.85. Две прямолинейные образующие гиперболоида вращения х +у — х~ = 1 пересекаются в точке, принадлежащей плоскости х = Ь. Найти угол между ними: 1) при 5=О; 2) при?г=1; 3) при произвольном?г. 10.86. Найти множество точек поверхности о, в которых пересекаются ее взаимно ортогональные прямолинейные образующие, если Ю определена уравнением: г 11. Об«цая теория поверхностей второго порядка 93 1) хг + уг — гг = 1; 2) хг — уг = 2х; 3) хг — 4уг = 2г. 10.87. Доказать, что проекции прямолинейных образуюфббо параболоида хг — уг = 2г на плоскость Охг касаются па«х =2г.
10.88. Доказать, что проекции прямолинейных образую'«йих гиперболоида хг+ уг — гг = 1 на плоскость Оху касаются 2кружностн хг+уз = 1. 5 11. Общая теория поверхностей второго порядки В этом параграфе используются следующие определения: мои«я и большая квадратичные формы поверхности второго порядка, пип поверхности второго нарядна„инварианты — ранг и сигнатура лолой и большой квадратичн»«х форм поверхности, центр поверх- «ости, каноническое уравнение поверхности, канонический базис и лноническая система координат. Имеется 17 различных типов поверхностей второго порядка. <аждый тип характеризуется своим набором инвариантов и своей г«орной канонического уравнения — простейшей формой, к которой ложно привести уравнение поверхности с помощью выбора декаровой прямоугольной системы координат.
Соответствующие базис и .истема координат также называются каноническими. Мы воспроизводим таблицу типов и канонических уравнений по»ерхностей второго порядка из [2). Ранги и модули сигнатур большой «малой квалратичиь«х форм поверхности обозначены соответственю через Я, Е, г, а. Изложим некоторые детали алгоритма приведения уравнения зторого порядка к канонической форме. Этот алгоритм может быть «спользован для упрощения уравнений с любым числом перемен«ых. Исходная система координат предполагается прямоугольной.
7ри всех заменах координат также совершается переход к прямо- "гольным системам координат. Главным моментом является «уничтожение», с помощью подхо«ящей замены базиса, членов уравнения, содержащих произведения «еременных. Остановимся на этом моменте. Уравнение поверхности ««х + 2а«гху+ аггу + 2а«зхг+ 2агзуг+ г г +аззгг+ 2а«х+ 2агУ+ 2азг+ Й = 0 (1) «ажно записать в матричной форме «~АЕ,+ 2ас+ к = О, С2) .де )х аы аш аш Е, = у , А = а«г агг агз , а = ))а« аг аз)[.
г а«з агз азз у 11. Общая теория поверхностей второго порядка 95 Формулы замены координат при заданной матрице перехода Я также запишем в матричном виде: 1,= Яй,'. (3) После подстановки (3) в (2) получим уравнение (й,') тА'~'+ 2а'~,'+ й = О. Константа й при замене координат (3) не меняется: к' = й, а' = аЯ, А' = Я~АЗ. (4) Отыскиваем ортонормированиый базис, в котором матрица А' диагональна.
Для этого: 1) вычисляем корни характеристического уравнения ~А — ЛЕ! = О; 2) для каждого корня составляем систему уравнений (А — ЛЕ)Я = о и находим ее фундаментальную систему решений; 3) применяя процесс ортогонализации и нормируя полученные векторы, находим искомый базис; 4) нз базисных столбцов составляем матрипу перехода Я. В новом базисе матрица А' диагональна, иа ее главной диагонали расположены корни характеристического уравнения, взятые с их кратностями в том же порядке, что и соответствующие столбцы в матрице Я. Коэффициенты при линейных членах преобразованного уравнения вычисляем по формуле а' = аЯ.
Если матрица А диагональна: А = йак(Лм Лг, Лз), то уравнение поверхности не содержит произведений переменных и имеет вид Лдх +Лгу +Лзг +2агх+2агу+2азг+Й=О. (4) Полное упрощение уравнения (1) происходит в несколько этапов. 1. Если в уравнении есть члены 1ержашие произведения переменных, то заменяем базис с ш о ю ортогональной матрицы перехода Я так, как описано выш» ..необразованное уравнение примет вид (4). П. Если в уравнении уже нет членов, содержащих произведения переменных, но имеютг квадраты переменных и одноименные линейные члены, то дополн: эти пары членов «до полных квадратов» и переносим начало координат так, чтобы в преобразованном уравнении соответств1' цих линейных членов не было.
П1. Если уравненв прощено так, что в нем есть квадраты только двух переменных, линейный член с третьей переменной, а кроме этого только сно᫠— ый член, то переносом начала координат вдоль оси, соответствую $ линейному члену, можно обратить в нуль свободный член. Например, в уравнении Л1х +Лгу~+ах+А = О выполняем . гну г = г' — й/а и получаем уравнение Л1х + Лгу +аз~ = О (б) без свобод о члена. 1У. Е' в уравнении имеется квадрат лишь одной переменной, линейные эны, содержащие другие переменные и, может быть, свободный ч., то можно сделать замену координат в плоскости, соот- Гл. ~.
Поверхности второго порядка ветствующей линейным членам так, чтобы все члены ниже второй степени заменились на один. Например, упростим уравнение Лхг + ау+ Ьг + с = О. (7) Положим у'=р ~(ау+Ьг+с), г'= р 1( — Ьу+аг), где р= ~/аг+Ьг. (8) Формулы (8) определяют ортогональную замену координат. Уравнение (7) переходит в Лх~ + ду' = О. (9) Ч. Выполнив описанные выше действия, мы получим уравнение поверхности в «почти канонической» форме. Почти каноническими мы называем уравнения, отличающиеся от табличных канонических уравнений, самое большее, числовым множителем, нумерацией координат, переносом членов из одной части равенства в другую или знаком при линейном члене. Соответствующий базис и систему координат также будем называть почти каноническими. Переход от почти канонической системы координат к канонической очевиден.
Она получается из почти канонической возможно изменением нумерации базисных векторов и заменой направления каких-либо нз этих векторов на противоположные. Начала канонической н почти канонической системы координат совпадают. Отыскание формул перехода к канонической системе координат происходит одновременно с упрощением уравнения поверхности и также распадается на несколько этапов.
При этом полезно помнить, что: а) при последовательных заменах координат матрицы перехода перемножаются, причем множитель, соответствующий последующей замене, пишется правее; б) применяя алгоритм, изложенный выпге, на каждом этапе мы получаем координаты нового начала в промежуточной системе координат. Задача упрощения уравнения поверхности второго порядка считается полностью решенной, если найдено каноническое уравнение поверхности и каноническая система координат. Добавим, что каноническая система координат для данной поверхности определена не однозначно, также как н почти каноническое уравнение и почти каноническая система координат. Существуют и другие способы приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. В некоторых из них перенос начала координат предшествует изменению базиса, обращающему в нуль члены с произведениями координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
