1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Установить взаимно однозначные соответствия между множеством всех натуральных чисел и данным множеством: 1) множество всех целых чисел; 2) множество всех четных чисел; 3) множество всех рациональных чисел; 4) множество всех точек плоскости, координаты которых рациональны (рациональных точек); з 12. Линейние и аффинние преобразования пяосносгпи 107 5) множество всех интервалов на прямой с рациональными концами; 6) множество всех кругов на плоскости с центрами в рациональных точках и рациональными радиусами; 7) множество всех многочленов р(з) = ао + а1т + ... + а„х" (и=О, 1, 2, .) с целочисленными коэффициентами а; (1= =0,1, ...,и).
12.8. Доказать, что: 1) между множеством всех целых чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1 нельзя установить взаимно однозначного соответствия; 2) существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1. 12.9. Пусть Х, 7 — бесконечные множества, 1: Х вЂ” э У— взаимно однозначное отображение и 7й Я = И.
Придумать взаимно однозначное отображение Х на 7 0 Я, если: 1) Я конечно; 2) Я счетно. 12.10. Доказать, что у любого отображения 1: Х вЂ” ~ У имеется не более одного обратного отображения. 12.11. Придумать взаимно однозначное отображение прямой: 1) на интервал ( — 1,1); 2) на отрезок (-1,1]. 12.12. Придумать преобразование плоскости, которое взаимно однозначно отображает плоскость: 1) на открытый круг х2+ у2 < 1; 2) на замкнутый круг х +р <1; 2 2 3) на квадрат ~х( < 1, )у~ < 1 (система координат — прямоугольная). 12.13.
Дано линейное преобразование числовой прямой: 1(з)=ах+о (а, о — действительные числа). Доказать, что: 1) 1 взаимно однозначно тогда и только тогда, когда а ~ 0; 2) )' сохраняет направление векторов на прямой при а > 0 и меняет на противоположное при а < 0; 3) при а ф 0 образом интервала длины 1 является интервал длины )а)1. 12.14.
Дано преобразование 1(х) = ах+ б числовой прямой. Найти: 1) неподвижные точки преобразования 1; 2) преобразование, обратное к преобразованию у (а ф О). 108 Гл. Б. Преобразования плоскости. Грдпп7л 12.15. Написать формулу, задающую линейное отображение интервала (а, Ь) на интервал (с, И) числовой прямой.
12.16. Даны линейные преобразования ~ и д числовой прямой: Дх) = ах+ Ь, д(х) = сх+ Н. Найти произведения ~д и д1. В каком случае Уд = д,г? 12.17. Отображение ~ числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат: х = асозФ, р=Ьзш1 (а ) О, Ь> О). 1) Найти образ о прямой при отображении ~. 2) Является ли отображение г' вложением? 3) Указать какие-либо множества на прямой, которые взаимно однозначно отображаются на Б. 12.18.
Отображение ~ числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат; х = — сЫ, д =зИ. 1) Найти образ о прямой при отображении ~. 2) Является ли отображение У вложением? 3) Найти прообраз 1 каждой точки из Б. 12.19. Преобразование ~ плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами; х* = х~ — д~, у' = 2хд. 1) Является ли преобразование ~: а) наложением, б) взаимно однозначным? 2) Найти полный прообраз произвольной точки (х', у') плоскости.
12.20. Преобразование ~ плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: х* = е*соеу, у' = е*з1пу. 1) Является ли преобразование г' взаимно однозначным? 2) Выделить на плоскости области, на которых 1 взаимно однозначно. 3) Пусть ~' — ограничение преобразования (' на полосе 0 < < у < и.
Найти формулы, задающие обратное к 7 отображение. 12.21. Даны отображения г: Х вЂ” +.г', д: г' — ~ Я и Ь: Я вЂ” ~ — > Ы. Доказать ассоциативность умножения отображений, т. е. равенство Цд~) = (Ьд) ~. 12.22. Пусть Х, г' — непустые множества, Я = Х х „г'. Отображение я: Я -+,р (проектирование Я на 7) определяется равенством л((х, д)) = у.
Показать, что я — наложение. 12.23. Показать, что для всякого множества Х существует вложение д: Х вЂ” ~ Х х Х. Э 16 Линейные и аверинные иреобравованил плоскости 109 12.24. Графиком отображения 1: Х вЂ” э 7 называется подмножество Г = ((х,1(х)) ~х Е Х) С Х х,у. 1) Найти образ множества Х при отображении ~р: Х-+ -+ Х х 7, определяемом равенством у(х) = (х,1(х)).
2) Доказать, что 1 = тр (определение я см. 12.22). 3) Доказать, что отображение У является вложением тогда и только тогда, когда вложением является ~р. 4) Доказать, что 1 является наложением тогда и только тогда, когда я(Г) = г'. Геометрические свойства линейных и аффиииых преобразований плоскости (12.25-12.36) 12.25. Найти радиус-вектор образа произвольной точки М(г) при данном преобразовании плоскости: 1) гомотетия с центром в точке Мо(ге) и коэффициентом кфО; 2) центральная симметрия относительно точки Ме(ге); 3) параллельный перенос на вектор а; 4 Щ.' ,, 4) ортогональное проектирование на прямую г= го+ ~а; 5) симметрия относительно прямой г = го +1а; 6) сжатие к прямой г = ге+ Фа с коэффициентом Л ) О. 12.26.
Аффинное преобразование переводит три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, соответственно в точки В, С, А. Найти неподвижные точки этого преобразования. При каком необходимом и достаточном условии преобразование будет ортогональным? 12.27. Аффинное преобразование переводит вершины треугольника АВС в середины К, Ь, М противолежащих им сторон. Найти образы точек К, Ь, М и точки О пересечения медиан треугольника АВС. Выяснить геометрический смысл этого преобразования. 12.28. Доказать, что: 1) если А и  — две различные неподвижные точки аффинного преобразования, то и все точки прямой АВ неподвижны; 2) если аффинное преобразование 1 имеет единственную неподвижную точку, то все инвариантные прямые (если они существуют) проходят через эту точку; 3) точка пересечения двух инвариантных прямых аффинного преобразования неподвижна.
ПО Гл. 5. Преобразаванал плоскостаи. Груапм 12.29. Доказать, что аффинное преобразование, имеющее пучок инвариантных прямых, пересекающихся в точке М, является гомотетией с центром в точке М. 12.30. Доказать, что линейное преобразование плоскости тогда и только тогда будет аффинным, когда образ каждого ненулевого вектора отличен от нуля. 12.31. Доказать, что две касательные к эллипсу (или гиперболе) параллельны тогда и только тогда, когда точки касания и центр кривой лежат на одной прямой. 12.32.
Доказать, что если эллипс касается стороны описанного около него параллелограмма в ее середине, то он касается остальных сторон этого параллелограмма также в их серединах. 12.33. Около эллипса с центром О описан четырехугольник АВСР. Доказать, что сумма площадей треугольников ОАВ и ОСР равна сумме площадей треугольников ОВС и ОАР. 12.34. Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на осях симметрии этого эллипса. 12.35. Точки А, В, С, Р лежат на эллипсе с центром О, причем площади секторов АОВ и СОР равны.
Доказать, что площади треугольников АОВ и СОР также равны. 12.36. Точки А и В лежат на эллипсе с центром О, длины большой и малой полуосей которого равны а и Ь соответственно. Найти площадь сектора АОВ, если угол АОВ равен ~р, О с ~р < я, а точки А и В симметричны относительно большой оси эллипса. Координатная запись линейных и аффинных преобразований плоскости (12.37 — 12.62) В задачах 12.37 — 12.52 система координат предполагается общей декартовой. 12.37. Записать формулы, задающие данное преобразование плоскости: 1) гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом Й; 2) гомотетия с центром в точке М(хо, уо) и коэффициентом к; 3) центральная симметрия относительно точки М(хо,уо); 4) параллельный перенос на вектор а(а,~З).
12.38. Аффинное преобразование плоскости задается формулами х" = Зх+ 2у — 6, у' = 4х — Зу+ 1. Найти образы: т 1в. Линейные и аффиннме преобриования я.аоскостпи 111 1) точек а) 0(0, 0); 6) Е~ (1, 0); в) Ее(0, 1); г) Е(1, 1); д) М( — 1,5); 2) прямых а) у =0; б) х = 0; в) х — у+1= 0; г) х — у— — 1 = 0; д) 2х + Зу = 7.
12.39. Аффинное преобразование плоскости задается формулами х' = 2х+ Зу — 1, у' = — Зх — 4у+ 2. Найти прообразы: 1) точек а) 0(0,0); б) А( — 1,2); в) В(4,-5); 2)прямык а) у=О; б) х=О; в) х+у — 1=0; г) х — у— — 1=0; д) х — у+1=0. 12.40. Записать формулы, задающие аффинное преобразование плоскости, переводящее точки А, В, С соответственно в А', В*, С': 1) А(1,0), В(0,1), С(1,1), А'(-3,5), В'(4,— 3), С'(0,0); 2) А(3/7,1), В(1, 1/4), С(2,-1), А (-4,2), В (-1,6), С*(4, 13); 3) А(1,0), В( — 1/2,ъ/3/2), С( — 1/2,— ~/3/2), А' = В, В"=С, С*=А; 4) А(1,2), В( — 7,4), С(3,-6); А', В', С' — середины сторон треугольника АВС, противолежащие вершинам А, В, С соответственно.
12.41. Найти всевозможные линейные преобразования плоскости, переводящие точки А, В, С соответственно в А', В', С", если такие преобразования существуют: 1) А (1, 4), В (-2, 1), С (О, 3), А'(О, 0), В*(1, 0), С'(О, 4); 2) А (-2, 0), В (2, — Ц, С (О, 4), А'(-2, 1), В'(2, 1), С*(0, 1); 3) А (2, 0), В (3, -1), С (4, -2), А'(2, 1), В'(-2, -1), С*( — 6, — 3); 4) А(О,О), В( — 1,2), С(1, — 2), А'(-1, -1), В*(0, 0), С'(1, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
