1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 22
Текст из файла (страница 22)
э 1д. Линейные и аффиниые преобразования пяосносспи 117 12.70. 1) Доказать, что произведение поворота плоскости вокруг некоторой точки и параллельного переноса является поворотом вокруг некоторой другой точки. 2) Найти координаты неподвижной точки Р преобразования, заданного формулами (3) из введения к 3 12, при у ф 2хп, п Е.'Е.
Доказать, что преобразование является поворотом на угол у вокруг точки Р. 3) Охарактеризовать геометрически преобразования уд и д~ задачи 12.69, 1). 12.71. 1) Доказать, что преобразование, заданное формух' = хсоэ<р+дзшу, д* = хв1п~о — усов р, является симметрией относительно некоторой прямой, проходящей через начало координат.
Найти уравнение этой прямой. 2) При каком условии преобразование, заданное формулами (4) из введения к 3 12, является симметрией относительно некоторой прямой? Найти уравнение этой прямой. 12.72. 1) Доказать формулы (3), (4) введения к 3 12. 2) Доказать, что любое ортогональное преобразование первого рода является либо параллельным переносом на некоторый вектор, либо поворотом вокруг некоторой точки.
3) Доказать, что любое ортогональное преобразование второго рода является произведением двух перестановочных преобразований — симметрия относительно некоторой прямой и параллельного переноса на некоторый вектор (вектор переноса), коллинеарный этой прямой' ). Найти вектор переноса а для преобразования, определенного формулами (4) введения к 3 12.
12.73. Охарактеризовать геометрически преобразование, заданное формулами: 1) х* = х+ 1, д' = — у; 2) х* = х+1, у' = -у+2; 3) х" = х, д' =- — у+2. 12.74. Выяснить, какого рода ортогональными преобразованиями являются преобразования ~, д, уд и д г' задачи 12.69. Охарактеризовать геометрически (в смысле задачи 12.72) преобразования гд и д~ задач 12.69, 3) и 6). 12.75. Написать формулы ортогонального преобразования первого рода, переводящего точку А(2, О) в точку А'(1+ ~(2, 1), ') Если вектор переноса отличен от о, то преобразование называют скользящей свммесприей 118 Гл. 5.
Преобразования плосносгпи. Группы а точку В(2,2) — в точку В'(1,1+ ~/2). Доказать, что это преобразование является поворотом вокруг своей единственной неподвижной точки. Найти координаты этой точки и угол поворота. 12.76. Написать формулы ортогонального преобразования второго рода, переводящего точку А(2,0) в точку А'(1+ +~/2,1), а точку В(2,2) — в точку В'(1,1+ ~/2). Доказать, что это преобразование является произведением симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса на вектор, коллинеарный этой прямой.
Найти координаты вектора переноса и составить уравнение оси симметрии. 12.77. 1) Доказать, что произведение двух преобразований, каждое из которых — симметрия относительно некоторой прямой, является параллельным переносом, если эти прямые параллельны, и поворотом, если прямые не параллельны. 2) Охарактеризовать геометрически преобразования Уд и дг" задачи 12.69, 4). 3) Тот же вопрос для задачи 12.69, 5). 12.78. 1) Доказать, что произведение двух поворотов вокруг различных точек на углы, сумма которых равна 2х, является параллельным переносом.
2) Охарактеризовать геометрически преобразования г" д и д~ задачи 12.69, 7). 12.79. Доказать, что квадрат ортогонального преобразования второго рода является параллельным переносом. 12.80. Представить данное преобразование в виде произведения нескольких преобразований, каждое из которых является осевой симметрией: 1) поворот на угол у вокруг точки М; 2) параллельный перенос на вектор а; 3) произвольное ортогональное преобразование второго рода. 12.81.
Найти координаты векторов, задающих главные направления данного аффинного преобразования: 1) х*=Зх, у'=4у; 2) х'= — Зх, у"=4у; 3) х'=Зх, у'= — Зу; 4) х' = х — у, у* = х+ у; 5) х*=х, у*= — х+у; 6) х'=Зу — 2, у*= — 4х; 7) х' = 2х+ 5у, у' = — 11х+ 10у; 8) х" = -4х+ 7у, у' = 8х+у; ~ И. Линейные и аф4инние преобразования плоскости 119 9) х* = — 4х+ 8у, у' = — 7х — 11у; 10) х' =х+ ~/Зу+2, у' = — Зъ/Зх+Зу+ ~/3. 12.82. Представить каждое из аффинных преобразований задачи 12.81 в виде произведения ~ = Ь2Ь1д, где д — ортогональное преобразование, а Ь1 и Ьо — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым. 12.83.
Разложить в произведение Ьд, где д — ортогональное преобразование, а Ь вЂ” гомотетия, каждое из преобразований 1 и г задачи: 1) 12.65, 7); 2) 12.65, 8); 3) 12.65, 9); 4) 12.65, 10). 12.84. Доказать, что преобразование подобия представляет собой произведение ортогонального преобразования и гомотетии. 12.85. Найти собственные значения и координаты отвечающих им собственных векторов линейного преобразования (система координат общая декартова), если: 1) х' = 7х, у' = — х+ 5у; 2) х' = 2х+ у, у* = 2х+ Зу; 3) х' = 5х — 4у, у' = 4х — 5у; 4) х' =8х+17у, у* =17х+8у; 5) х*=2х, у'=2у; 6) х* = х — у, у* = — х+ у; 7) х*=11х — 5у, у' =12х — у; 8) х*=7х — 2у, у'=8х — у.
12.86. Доказать, что аффинное преобразование, заданное формулами х* = ах+ Ьу, у' = Ьх+~в~, имеет два взаимно перпендикулярных собственных вектора. 12.87. Аффинное преобразование г" задается формулами х = а1х+ 51у, у = агх+ Ьгу, а преобразование 71 — формулами х' = а1х+а2у, у' = 51х+ Ьту. Доказать, что главные направления преобразования ~ совпадают с направлениями собственных векторов преобразования дУ.
12.88. Каждая точка плоскости М(х,у) отождествляется с комплексным числом е = х+ гу. Доказать, что: 1) преобразование е о Рсее = х является ортогональным проектированием на ось абсцисс; 2) преобразование е ~-~ е = х — 1у является симметрией относительно оси абсцисс; 120 Гл. б. Лреобразоеания плоскости.
Группы 3) преобразование г «+ г+ го, где го = хе+ гуо — фиксированное комплексное число, является параллельным переносом на вектор а(хо, уо); 4) преобразование х > аг, где а — действительное число, не равное нулю, является гомотетией с центром в начале координат и коэффициентом а; 5) преобразование г «-~ (соз«а+Ьзш«р)г = есвг («р — фиксированное действительное число) является поворотом на угол «р вокруг начала координат. 12.89. Выяснить геометрический смысл преобразования у комплексной плоскости (см. задачу 12.88): 1) Дг) = аг, где а = г(сов«р+ гзш«р), т > О; 2) у(г) = аз+ 6, где а,Ь вЂ” комплексные числа, а ~ О. й 13.
Понятие о группах В этом параграфе используются следующие основные понятия: бинарная алгебраическая операция, группа, единичный элемент, обратный элемент, абглева группа, циклическая группа, подгруппа, гомоморфизм, изомор4изм групп, нормальная подгруппа, 4акторгруппа. Непустое множество С называется группой, если в С задана бинарная алгебраическая операция (чаще всего называемая умножением), т. е.
для каждой упорядоченной пары (а,6) элементов из С определен единственный элемент с = а Ь к С вЂ” нх произведение в указанном порядке, причем выполнены следуюгцне аксиомы: 1. Умножение ассоциативно: (а 6) с = а (6 с) для любых а,Ь,сйС. 2. В С существует неитральпый (единичный) эле.меит е такой, что е а=а е=а для всех ай С. 3. Для любого а й С существует обратный элемент а «й С такой, что а а ' =а '.а =е. Группа С называется коммутатианой или абелееой, если а Ь = = Ь а для любых а, 6 й С.
В абелевой группе операцию иногда называют сложением н сумму обозначают а+ Ь. При этом нейтральный элемент обозначается нулем О, а обратный к а элемент называется противоположным и обозначается -а. Число элементов группы С (еслв оно конечно) называется порядком группы С и обозначается (С~.
Группа С при этом называется конечной, Если множество С бесконечно, то группа С называется бесконечной. Цеяые степени элемента а й С определяются рекуррентно: аа = е, аь ы = а"а для натурального и, а" = (а ") ~ для целого отрицательного и. Группа С назь«вается циклической группой с образукпцим элеменпюм а, если все элементы группы С являются целыми степенями элемента а. у НЬ Понятие в группах 121 Наименьшее натуральное число и, для которого а" = е (если оно существует), называется порядком (перивдвм) элемента а. Если а" ~ е для любого и, то а считается элементом бесконечного порядки Подмножество Н группы С называется подгруппой группы С, если Н является группой относительно операции, заданной в С. Подгруппа Н группы С называется нормальной в С (нли нормальным делителем группы С), если для любых элементов Ь е Н, д й С элемент дЬд также принадлежит Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
