1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 26
Текст из файла (страница 26)
15.2. Вычислить линейную комбинацию матриц: оз 1) 3)(1 2~! )~3 2(~ — 4)~0 1~~' 2) 2 г 3)2)~1 5 6 11~~ ~) 1-2 7 3 0 — 3 5 6 3; 2) 3 32 — 3 00; 4) А1Анб 5) А4Азоз', 6) А44зсзвз, 7) АыоАиб 8) АзАзоз, 9) А4звс1вв', 10) Аво1Авог; 11) Аво1Авов', 12) АвозАво4; 13) (Азов); 14) (Азов)~; 15) (Авы); 15) (Ав4в) при в = е~~у". 15.6.
Каким условиям должны удовлетворять матрицы А ~~В,чтобы: 1) существовало произведение АВ; 2) существовало произведение ВА; 3) существовали произведения АВ и ВА? 15.7. Выразить размеры матрицы А В через размеры А и В. 4) Азв+А4о; 5) Азв — А1з,' б) 2Азтз — Азтз, 1 7) -(сы+сзз) 2 15.3. Описать условия, при которых верны следующие тождества, и доказать эти тождества (А, В, С вЂ” матрицы, а, )д — числа): 1) А+В= В+А; 2) А+(В+С) =(А+В)+С; 3) аЯА) =(а13)А; 4) а(А+В) =аА+аВ; 5) (а+19)А = аА+ДА.
15.4. 1) Можно ли умножить строку длины гп на столбец высоты п? 2) Можно ли умножить столбец высоты пна строку длины т? 15.5. Вычислить произведение матриц: Гл. 6. Матаричм 138 15.8. Матрицы А, С имеют размеры соответственно гп х хи и р х д, и существует произведение АВС. Каковы размеры матриц В, АВС? 15.9.
Проверить справедливость тождества (А, В, С, П— матрицы, а — число): 1) о(АВ) = (аА)В; 2) (АВ)С = А(ВС); 3) А(В+С) = АВ+АС; 4) (А+ В)С = АС+ ВС; 5) А(В+С+В) =АВ+АС+АВ. 15.10. Проверить, существует ли произведение, и если да, то вычислить его: 1) )~3 4~)81 28~!1~~; 2) ~!4~~81 28(~1)(; 3) )(1 2((~~ ~))~2 4((; 4) АзАасаАз. 15,11. Вычислить О 1 О О О О 1 О О О О 1 О О О О 111 000 000 1) ; 2) 3) 4) (Аз)"; 5) (А1з)"; б) (Ам)"; 7) (Аг?)"' 8) (Аеот)"; 9) (Аем)"; 10) (Аегз)". 15.12. Транспонировать матрицу: о л ); 2) 3) Ц123Ц; 4) Л 0 5) Аэ, б) Авэо; 7) Аз44' 8) 4еза 15.13. Проверить справедливость тождества: Ц (оА)т г Ат, 2) (АВ)т ВтАт, 3) (АВС)т СтВтАт.
4) (А+В)т' Ат+Вт 15,14. Вычислить матрицу Р = Š— (е; — еь)т(е; — еь) (через е; обозначена 4-я строка единичной матрицы .Е). 15.15. Пусть а, Ь вЂ” столбцы одинаковой высоты и Н = = аЬ~. Доказать, что Не = ЛН для некоторого числа Л. 15.16. Всегда ли верно матричное равенство АВ = ВА? Привести примеры коммутирующих и некоммутирующих матриц. 15.17. Что можно сказать о 'размерах матриц А, В, если АВ = ВА? г го. Операции с матриц ми 139 15.18.
Вычислить матрицу [А,В] = А — ВА (коммутатор матриц А, В), если: 1) А=Апь В=Аз; 2) А=Аго, В=А1о. 15.19. Проверить справедливость тождества (см. задачу 15.18): 1) [А,В] = — [В,А]; 2) [А,А] = О; 3) [А,Е] = [Е,А] = О; 4) [А,(В+С)] = [А,В]+[А,С]. 15.20. Вычислить матрицу (А,В) = г(АВ+ВА) (произведение Йордана матриц А, В), если: 1) А=А1г, В=Аз', 2) А=Аго, В=Ам. 15.21. Проверить справедливость тождества (см. задачу 15.20): 1) (А,В) = (В,А); 2) (А,А1 = Аг; 3) 1А, Е) = А; 4) (А, (В+ С)) = (А, В) + (А, С). 15.22, Вычислить А если: й ) 1) у(г) =г 2г+1, А=~~1 '~,. ,, 2) ~(г)=Сг-2г+1, А=!!' , '~; 3) у(г) = Р— зг+ 2, А = Ам; Ч 4) г(г) =(с — в), А = А7а', 5) У(г) = ~~+ г+ 1, А = Агоо. 15.23.
Разложив многочлен Д1) на множители, вычислить ~(А), если: 1) У(Й) = гг — г~ А = Агзо; 2) Х(г) = гг+ 2г — 3, А = Агм. 15.24. Проверить, справедливы ли матричные тождества: 1) (А+В)г Аг+2АВ+Вг, " 2) (А+ В)(А — В) = (А — В)(А+ В); 3) Аг Вг (А+ В)(А — В); Ц (А+ Е)з = Аз+ЗА'+ЗА+ Е Связь умножения матриц и элементарных Ф преобразований (15.25-15.38) 15.25. Доказать, что й-й столбец матрицы АВ равен произведению матрицы А на й-й столбец В. 15.26.
Сформулировать и доказать предложение, аналогичное 15.25, длн строк. 15.2Т. Доказать, что й-й столбец матрицы АВ равен линейной комбинации столбцов матрицы А с коэффициентами из элементов й-го столбца матрицы В. Гл. б. Матрицм 15.28. Сформулировать и доказать аналог предложения 15.27 для строк. 15.29. Доказать, что: 1) при перестановке двух строк матрицы А соответствующие строки в АВ также переставляются; 2) если й-ю строку матрицы А умножить на число Л, то?с-я строка АВ также умножится на Л; 3) если к /с-й строке матрицы А прибавить ее ?-ю строку, то с матрицей АВ произойдет то же элементарное преобразование. 15.30. Сформулировать и доказать аналоги предложений 15.29 для столбцов.
15.31. 1) Доказать, что прибавление к строке матрицы линейной комбинации остальных ее строк может быть осуществлено при помощи последовательного применения основных элементарных преобразований строк. 2) Доказать аналогичное утверждение для преобразования, состоящего в перестановке двух строк матрицы. 15.32. Вычислить произведение е;Ае~ для произвольной матрицы А (через е, обозначена 1-я строка единичной матрицы подходящего размера).
15.33. Для произвольной матрицы А и матричной единицы Е0 подходящего размера вычислить произведение: 1) Е; А; 2) АЕ; . 15.34. Пусть матрицы А и В таковы, что для произвольных столбцов «и ц подходящей высоты выполнено равенство «гАц = «гВц. Доказать, что А = В. 15.35. Пусть А — матрица размеров т х п, Е„, и ń— единичные матрицы порядка т и и соответственно. Доказать, что Е А = АЕ„=А. 15.36. На какую матрипу следует умножить матрицу А, чтобы в результате получить: 1) первый столбец А; 2) первую строку А? 15.3Т. Подобрать элементарную матрипу К так, чтобы матрица КА получалась из А: 1) перестановкой двух первых строк А; 2) прибавлением первой строки ко второй; 3) умножением первой строки А на число Л ф О.
З 15. Операции с матрицами 15.38. Подобрать элементарную матрицу К так, чтобы произведение АК получалось из А при помощи заданного элементарного преобразования столбцов. о л 2-1 0 0 2 — 1 -1 -1 1 1) 59 3) Л„О сз. 4) (Аз4) ~; 5) (Атг); 6) (.4о) ~; 7) (Агот) 8) (Агоз) ', 9) (Агог) ~; 10) (Аггг) ~. 15.46.
Доказать, что матрица, обратная к элементарной, есть элементарная матрица. 15.47. Вычислить обратную к данной элементарной мат- рице 1 -2 О 0 1 0 0 0 1 10 ' 3) 31 300 100 1 00 5) 010; б) 010; 7) 0-10 -м 001 201 0 01 9) Ад, 10) А4з', П) А 100 8) 001 010 гоо Обратная матрица (15.39 — 15.65) оюф ', ° 15.39. Привести примеры вырожденных и невырождениых матриц.
15.40. Пусть А — вырожденная матрица второго порядка, т — натуральное число. Доказать, что существует число Л такое, что Ат = Лт гА для всех т. 15.41. Обратима ли прямоугольная матрица? 15.42. Доказать, что если матрица В, обратная к А, существует, то с1ез А ~ О, с1ез В з~ О, доз В = (дез А) 15.43. 1) Доказать, что если А, В, С вЂ” квадратные матрицы и АВ = Е, АС = Е, то В = С. 2) Возможно ли равенство АВ= Е для прямоугольных матриц? Справедливо ли утверждение 1) для прямоугольных матриц? 15.44. Дана квадратная матрица А = ((а; 'О. Выписать систему уравнений, которой удовлетворяют элементы гзго столбца матрицы А '.
15.45. Вычислить: Гл. 6. Маторицм 142 15.48. Проверить, справедливо ли тождество: ) (4т) — 1 (А-г)т 2) (оА) 1=о 1А 1 3) (АВ) ' = В 1А 1; 4) (АВС) г = С 1В 1А 1; 5) (А 1)" =(А~) 1; 6) (А+В) 1=А ~+В 1. 15.49. 1) Доказать, что квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно перевести в единичную тогда и только тогда, когда она нсвырождена. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для элементарных преобразований столбцов матрицы. 15.50 (р). Доказать, что всякая невырожденная матрица есть произведение элементарных матриц.
15.51. Разложить данную матрицу в произведение элемен- 1) (р) 0 2 ', 2) 1 1 , '3) 1 3, 4) 100 112 113 1110 11...1 — 1210 01...1 1410 0003 00...1 6) (Авзз) "; 0 0 — 1 0 0 О 0 1 О ОО ' 2) 0 — 1 0 0 4) (А4зо); 5) (Авзз) 8) (А4зо) 1; 9) (Аво1); 10) (Авы) 12) (Азов); 13) (Аив) 15.55.
Пусть Аз + А + Е = О. Доказать, что матрица А невырождена, и указать простейший способ вычисления А 1. 7) (А4з4) ) 11) (-4воо) 15.52. 1) Пусть А,  — матрицы одного порядка и матрица А с помощью цепочки элементарных преобразований строк переведена в единичную матрицу Е. В какую матрицу переведет та же цепочка элементарных преобразований матрицу Е? Матрицу В? 2) Ответить на те же вопросы для цепочки элементарных преобразований столбцов матрицы А, переводящих А в Е. 15.53. 1) Описать и обосновать способ вычисления матрицы А 1, использующий элементарные преобразования строк матрицы вВ Ео~.
2) Описать и обосновать способ вычисления матрицы А 1, использующий элементарные преобразования столбцов матрицы 15.54. Вычислить: З 1Б, Операции с матрицами 143 5. Найти матрицу Х иэ уравнения: Х=; 2)Х 15.6 ' и/ 1 2 О 2 5 — 2 0-2 5 100 011 010 3) 11 Х= 17 ' 4) 5) Х 2 2 — 1 2 — 1 2 — 1 2 2 )5 Я вЂ” 1()' 15.56. Пусть А = О. Доказать, что (Š— А) 1 = Е+ А+ + "+А 15.57.
Матрица А коммугируст с В. Доказать, что то- гда А 1 коммутирует с В ~ (предполагается, что матрицы об- ратимы). 15.58. Проверить формулу (Я ~АЗ)™ = Я ~А™Я. 15.59. Пусть Я 1АЯ = В и /(З) — многочлен. Доказать, что /(В) = Я 1/(А)Я. 15.60. Пусть а, Ь вЂ” столбцы одинаковой высоты, 1/д = = 1+ Ь а ~ О, В = Е+ аЬг . Проверить справедливость равент ства В 1 = Š— раЬт.
15.61. Пусть а, Ь вЂ” столбцы высоты и, А — обратимая матрица порядка и, 1/о = 1+ Ьг А за ф 0 и В = А + аЪг . Про- верить справедливость равенства В "= А 1 — пА заЬтА г. 15.62. 1) Описать и обосновать способ вычисления произ- ведения А зВ, использующий элементарные преобразования строк матрицы ~~В Е()с~. 2) Описать и обосновать способ вычисления произведения АВ 1, использующий элементарные преобразования столбцов матрицы 15.63. Вычислить произведения матриц: -1.
0 1 11 ' ~ 1 3 ~; 2) АгоьАгоз' 3) АгозАгоь' 4) Аг1о,4гоь, '5) АььоАьз1, 6) АызА,пт, 15.64. Пусть матрицы А, С невырожденные. Решить мат- очное уравнение: 1) АХ = О; 2) АХ = В; 3) ХА = В; 4) АХС = В; 3) А(Х+ С) = В. 144 Гл. 6. Матприцы 6) Х =; 7) Х=Х 8) А1зХ =Аз; 9) ХАи =Ам; 10) Х 'А1зХ=Аз1; 11) АгпХ = Аззз', 12) АзздХ = Аые', 13) АгезХ = сзз,' 14) А1зеХ = Аззе' 15) АпзХ = Аз1з., 16) ХАззт = Аззэ. Другие операции с матрицами и специальные виды матриц (15.66 — 15.130) 15.66.
Пусть А,  — диагональные матрицы одного порядка, а — число. Доказать, что матрицы аА, А+ В, АВ, ВА тоже диагональные и АВ = ВА. 15.67. Пусть А = сйа8(Лы..., Л„). Доказать, что: 1) столбцы матрицы ВА получаются умножением столбцов матрицы В на числа Лы..., Л„; 2) строки матрицы АВ получаются умножением строк В на числа Лы...,Л„. 15.68. Пусть А — диагональная матрица, г(й) — много- член. Доказать, что тогда матрица г'(А) также диагональна. 15.69. Пусть матрица А диагональна, все ее диагональные элементы различны и АВ = ВА. Доказать, что тогда и матрица В диагональна.
15.70. Матрица А перестановочна с любой диагональной матрицей порядка и. Доказать, что А — диагональная матрица порядка и. 15.71. Матрица А перестановочна со всеми матричными единицами порядка и. Доказать, что А — скалярная матрица. 15.72. Матрица А перестановочна с любой матрицей порядка и. Доказать, что А — скалярная матрица. 15.73 (р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
