1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 29
Текст из файла (страница 29)
16.35 (р). Пусть матрицы А и В имеют размеры соответсчиенно т х и и и х р, и пусть АВ = О. Доказать, что гКА+ чг'гК В < и. 16.36. Доказать, что в1п(ат + Ьт ) втп(аг + Ьз) ... втп(ат + Ь„) < 2. гК втп(а„+Ь|) втп(а„+Ьт) ... втп(а„+Ь„) 16.37. Доказать, что гк О В гКА+гКВ 16.38. Доказать, что гК О В > гКА+гКВ. 16.39. Пусть А — квадратная матрица. Доказать, что гК Ав 14 = гКА. 16.40.
Пусть Š— единичная, А,  — произвольные квад- ратные матрицы порядка п. Доказать, что гК А АВ п 16.41. Доказать, что А В гК А ~ = гКА+ гКВ. 16.42. Пусть А невырожденнвя квадратная матрица порядка и, а матрицы В, С и .0 — прямоугольные.
Найти необ- ходимое и достаточное условие для того, чтобы гК Глава 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ л" РАВНЕНИЙ В этой главе используются следующие понятия и термины: однородная и неоднородная система линейиыт уравнений, основная матрица системы (матрица коэффициентов), определитель системы и линейных уравнений с п неизвестными, расширенная матрица системы, столбец свободных членов, совместная и несовместная система уравнений, эквивалентные системы уравнений, частное решение и общее решение системы линейных уравнений, фундаментальная сисп1ема решений и 4ундаментальная матрица однородной системы линейных уравнений, базисные неизвестные и параметрические (свободные) неизвестные, однородная система линейных уравнений, сопряэкеннвя данной.
Основные теоремы: теорема о существовании и единственности решения системы и линейных уравнений с и неизвестными (теорема Крамера), а также два критерия совместности системы т уравнений с и неизвестными: теорема Кронекера — Капелли и теорема Фредгольма. Приведем некоторые формулы и обозначения. Система т линейных уравнений с п неизвестными амх1+... + аг„х„= Ьы ат1х1+... + а„,„х„= 6„, может быть записана в матричном виде: Ах = Ь, где через х и Ъ обозначены столбцы (~хш ..х»~~т н (~6ы ..
Ь ()т соответственно. Матрицы аы " аг» ам .. аэ„Ьэ А= ............. и Ь'А|Ь!! = а 1 ... а ат1 ап~» Ьпъ называются основной и расширенной матрицами системы уравнений. Решением системы (1) называется упорядоченный набор чисел, такой, что после подстановки 1-го числа вместо неизвестной х, для каждого 1 во все уравнения мы получим т истинных равенств. Эти числа называются компонентами решения. Решение системы уравнений записываем в виде столбца. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений с и неизвестными задается формулой Х= 6,Х,+ ...+ Ь„„Х„,. (2) Гл. У. Системы линейных уравнений Здесь: столбцы Хм...,Х„„— линейно независимые частные решения данной однородной системы, Ьы.,.,Ь„, — произвольные постоянные числа (параметры), т = гяА — ранг системы.
Множество (Хы...,Х„„) называется фундаментальной сисглемой решений однородной системы уравнений. Все решения однородной системы образуют линейное подпространство в пространстве столбцов высоты п; фундаментальная система решений есть базис в этом иодпространстве, Правая часть формулы (2) называется общим ре1иением однородной системы. Формуле (2) можно придать матричный вид Здесь Ф вЂ” матрица из столбцов Х,,...,Х„„, а Ь вЂ” столбец высоты и — т из произвольных постоянных Ьы, ..,Ь„,. Матрица Ф называется сгундаментальной матрицей однородной системы уравнений.
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений может быть записано в векторной форме Х = Ь1Х~+... + Ь„,Х„, + Хо (4) или в матричной форме х=и +х, где Хо — некоторое (произвольное) частное решение неоднородной системы уравнений, а Ь1Х1+... + Ь„,Х„„= ФЬ вЂ” общее решение соответствующей однородной системы.
Системы уравнений, имеющие одно и то жс множество решений, называются оквивалентными. Это понятие относим лишь к совместным системам. Мы говорим также, что система уравнений (Б) следует из (А), если множество решений (Б) содержит множество решений (А). При решении некоторых задач полезны утверждения: подсистема есть следствие системы; присоединение к системе уравнений ее следствий заменяет данную систему на эквивалентную. Основным аппаратом при исследовании совместности системы линейных уравнений и отыскании ее решений служат преобразования системы уравнений, соответствующие элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы.
При этих преобразованиях несовместная система переходит в несовместную, а совместная — в совместную систему уравнений, эквивалентную данной. С помощью элементарных преобразований строк расширенная (и одновременно основная) матрица системы может быть приведена к упрощенной форме. Система уравнений, соответствующая упрощенной расширенной матрице, называется упрощенной. Для того чтобы решить систему уравнений, можно придерживаться следующей схемы. 1.
Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк приводим к упрощенной форме. Гл. 7. Системы линейных уравнений 158 1 0 ... 0 а11 ... а1„ О 1 ... О а11 .. ае,„-, 00...1аг...агп, 0 0 ... О О ... О А. 0 (б 0 0 ... 0 ... 0 0 Ей соответствует упрощенная система уравнений Х1 + а11Хгт1 + " + а1,п — гяп 011 (7 Хг + аг!хг.~.1+...
+ аг,п гхп = ггг. Неизвестные х1,...,хг, соответствующие базисным столбцам матрь цы, называютсЯ базисными, остальные неизвестные — хг+1,...,хп— свободными. Задав значения 61,..., йп г свободных неизвестных, находим базисные неизвестные из системы уравнений (7).
Общее решение получим в параметрической форме Х1 = — а11Ь1 —... — аг,п-гг1п-г + )У1, Хг = — а,гй~ —... — а„„„й„„+,9„, Хг+1 11~.. Хп '1п-г~ где Ь1,...,йп „вЂ” произвольные постоянные. Общее решение (8 можно записать в векторной (4) и матричной (5) форме, положиг — ам ... — агпг Х1 Х= — аг1 ...
— агп, х Ф= 1 ... 0 0 0 ... 1 Х, — столбцы Ф. Пусть г =18А, 11 <11 < ... С1, — номерабазисныхстолбцовг. 1г+1 « ... 1п — НОМЕра ОетаЛЬНЫХ ЕЕ СтОЛбцОВ. ФуидаМЕНтаЛЬНае МатРИЦа, СТРОКИ КОтОРОй С НОМЕРаМИ 1г+1 < ... Сеп ОбРаЗУЮт ЕД1. яичную подматрицу, называется нормальной фундоментальног матрицей, соответствующей базисным неизвестным хе„...,х1 2. Проверяем совместность упрощенной системы, пользуясь тгоремой Кронекера-Капелли. Признаком совместности системы я1- ляется наличие базисного минора расширенной матрицы внуто1 основной матрицы системы. Система несовместна тогда и только тгда, когда в упрощенный вид расширенной матрицы входит строка )(00 ... 01(!.
3. Решаем упрощенную систему уравнений, если она оказалас совместной. Допустим, что базисными являются первые г столбцов матр1г цы А совместной системы. Тогда упрощенная расшиоенная матонпь имеет вид Гл. 7. Системы линейных уравнений 159 Столбцы нормальной фундаментальной матрицы образуют нормальную фундаментальную систаему решений однородной системы уравнений. В частности, Ф в формуле (9) — нормальная фундаментальная матрица однородной системы хэ + ам хгы +... + а| „,х„= О, (10) эн.
х„+ а„1х„.т1+... + а„„„х„= О, соответствующая базисным неизвестным хм..., х,. Нормальную фундаментальную матрипу Ф, частное решение Хо и формулу общего решения можно выписать прямо по расширенной матрице (6). Если расширенную матрицу кратко записать в виде Е„О (3 то х. = ( ~ и (5) примет вид (5') Здесь Е„, Е„„— единичные матрицы порядка т и и — т соответственно, а (3 — столбец из чисел Д,..., Д.. Общее решение системы уравнений в форме (4) и (5) можно получить из систем уравнений (7), (10) без обращения к формуле (8). Частное решение можно найти из системы (7), задав каким- нибудь образом свободные неизвестные (если мы приравняем их к О, то получим частное решение, определяемое формулой (9)).
Столбцы фундаментальной матрицы можно найти как решения системы (10), иридавая параметрическим неизвестным значения, образующие в совокупности невырожденную матрипу. В частности, если приравнять значения )(х„+м..., х„9т к столбцам единичной матрицы, то решения системы (10) образуют фундаментальную матрипу (9). 3 а м е ч а н и е .
Допустим, что данная система уравнений совместна, но базисными являются не первые т столбцов основной матрицы, а какие-то другие. В этом случае, чтобы решить упрощенную систему уравнений, можно действовать одним из двух способов. С п о с о б 1 . Аналогично и. 3 составляем упрощенную систему уравнений, называем базисными неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, выражаем базисные неизвестные через остальные (свободные) и записываем общее решение в форме (4) или (5).
С п о с о б 2 . Неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, обозначаем через уэ,..., у„остальные — через ут.ты...,у . После этой замены неизвестных получаем упрощенную систему уравнений вида (7), решаем ее и делаем обратную замену. Гл. 7. Систпелеы линейных уравнений 160 Таким образом, существует много путей получения общего ршения системы линейных уравнений и много различных форм ег4 записи. Ниже рассмотрен пример неоднородной системы линейны: уравнений, имеющей бесконечное множество решений. Общее реш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
