1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть бес А ф О. Доказать, что, применяя к строкам матрицы элементарные преобразования, сохраняющие опреде- литель, можно получить: 1) треугольную матрицу; 2) диаго- нальную матрицу, 14.21. Вычислить определитель четвертого порядка: 1) ~А4зо!; 2) 1А4з11; 3) !А4зг!; 4) !А4зь!; 5) (А4зв); 6) ~А4зт(; 7) (Аезз~; 8) ~А4зо~; 9) /А44о!; 10) ~А441Ь 11) !Аез4!; 12) !А44г!; 13) ~А44з/~ 14) !А444~~ 15) ~А44ь~ 14.22.
Вычислить определитель пятого порядка: .„, 1) !Аьзо|; 2) !Аьзг!; 3) 1Аьзз!; 4) 1Аь411; 5) 1Аьзв!. 14.23. Вычислить определитель порядка кк 1) !Авоо!' 2) !Аво1!' 3) 1Ав1о~; 4) (Авп(' 5) ~Ав1з(; б) ~Авоь|; 7) ~Ав14!' 8) ~Ав1ь~; 9) ~Авгг); 10) ~Авзз~; 11) 1Авгь~; 12) 1Авгв!; 13) ~Авг41; 14) !Авгв!; 15) ~Ав41/; 16) /Авзв~; 17) /Авэо!; 18) ~Авг1~ (и=2?4). 14.24. Вычислить определитель порядка и (полезно полу- чить рекуррентную формулу): 1) (Авгз); 2) ~Авго); 3) (Авз1~; 4) ~Авзг!; 5) 1Авз41; 6) !Авзь); 7) (Ав44! (едетерминант Вандермондав); 132 Гл.
б. матриим 2созу 1 0 ... 0 0 1 2созу 1 ... 0 0 11) 0 1 2соз~р ... 0 0 0 0 0 ... 12сову 2сЬу 1 0 ... 0 0 1 2сЬср 1 ... 0 0 0 1 2сЬу ... 0 0; 13) (р) )Ааза. 12) 0 0 0 ...12сЬу 14.25. Показать, что определитель матрицы А порядка г равен О, если в ней имеется нулевая подматрица размеров Й х и й+1) и. 14.26. Вычислить йе1А, зная, что в матрице А сумм,. строк с четными номерами равна сумме строк с нечетнымг номерами. 14.27.
Как изменится определитель, если переставит. столбцы матрицы, расположив их в обратном порядке? 14.28. Как изменится определитель, если матрицу тран'- понировать относительно второй диагонали? 14.29. Числа 1081, 1403, 2093 и 1541 делятся на 23. Об яснить без вычислений, почему число 1081 1403 2093 1541 также делится на 23. 14.30. Пусть МΠ— дополнительный минор элемента ьч и матрицы А. Доказать, что ,'~ аьзМ; ( — 1)'+1 = 0 при й Ф1 (и— ! (1) 5(1) Г ! '($) 5'(1) ! $ (1) 5Я (1) (1) ! = ~ () 4(1) ~+! Ю ~'(1) 2) Составить и доказать формулу дифференцирования определителя порядка п. порядок А).
14.31. 1) Пусть все элементы матрицы второго порядка являются дифференцируемыми функциями от одной переменног $. Доказать, что для производной от определителя, рассматрн ваемого как функция от Ф, имеет место формула з Ц. Определители 133 14,32. Доказать, что йес(А — ЛЕ) — многочлен от Л, и вычислить его коэффициенты. Задачи, в которых употребляются операции с матрицами и специальные виды матриц (14.33 — 14.44) 14.33, Справедливы ли тождества (п — порядок матрицы А): 1) йе1(А+В) =йе1А+йе~В; 2) йес(ЛА) = Лйе~А; 3) йей(ЛА) = Л" йеФА; 4) йе1(А") = (йе1А)"? , ч 14.34. Пусть А — квадратная матрица порядка и; б; дополнительный минор ее элемента а,", с; — алгебраическое дополнение элемента аи; из них образованы матрицы В = (Ь; ), С= (с, ). Доказать, что йесВ = йе1С = (йе1А)" ~.
14.35. Доказать, что определитель эрмитовой матрицы— вещественное число. 14.36. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен О. 14.37. Доказать, что если матрица А унитарна, то ~йе1А( = 1. 14.38. Доказать, что для любой вещественной матрицы А выполнено йе1АА~ ) О. 14.39. Пусть Вы..., Вь — квадратные матрицы, В~ О Н = — блочно диагональная матрица. Доказать, О В что йеФНО = йе1В~...йе1Вь, 14.40.
Пусть А, Р— квадратные матрицы, Н = ~~ !А О блочно треугольная матрица. Доказать, что йе1Н~~ = йе1А. йе1Р. 14.41. Пусть А — квадратная матрица порядка и, йе1А = А 2А!~ П = а, Н =~~3А 4А~~ Вычислить йе~Н 14.42. Пусть А — квадратная матрица, Аз, Аз, А4 — ее А Аз!1 П степени, Н = з Ае 3. Вычислить йе1 Н Гл. 6. Матрицы 14.43. 1) Пусть А, В, С, Š— квадратные матрицы порядка А В и, Š— единичная матрица, Н =~~ С ~~. Доказать, что деС Нп = с(еС(А — ВС). 2) Всегда ли справедливо равенство йеСН~~ = с)еС(АВ— — ВС) для блочной матрицы Н =~(С В~(? 14.44. Выразить определитель кронекеровского произведения А®В через определители матриц А, В. й 15. Операции с матрицами В этом параграфе используются следующие основные понятия: матрица, размеры матрицы, подматрица (блок, клетка матрицы), элементарные преобразования матрицы, сумма матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц, перестановочные (коммутирующие) матрицы, обратная матрица, след матрицы, многочлен от матрицы.
В некоторых задачах предполагается знакомство с алгоритмом Гаусса. Подробное изложение алгоритма Гаусса дано во введении к э 16. Приведем некоторые обозначения и определения. Матрица ап аьз .. а1„ аз1 аэз ... аз А= ам1 амз ... а„,„ содержит т строк и и столбцов, имеет размеры (размер) т х и, тирину и и высоту т. Рассмотрим матрицы А, В, С с элементами аьц Ькь с,у соответственно. Матрица В называется произведением матрицы А на число о, если для всех элементов этих матриц выполнены равенства Ьи = оаи (размеры матриц А, В одинаковые).
Обозначение: В = оА. Пусть А, В, С вЂ” матрицы одинаковых размеров. Матрица С называется суммой матриц А и В и обозначается С = А+В, если для всех значений индексов С,у выполнены равенства си = а;, + Ь; . Пусть число и столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Матрица С называется произведением А на В (справа), С = АВ, если для всех значений индексов з', у выполнены равенства ь с; = ~~~ асьЬь . Если А имеет размеры т х п, а  — размеры и х р, э=1 то матрица С = АВ имеет размеры т х р. Матрицы А и В коммутируют, если АВ = ВА.
Следующие два типа преобразований строк назовем основными элементарными преобразованиями строк матрицы: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки. б 15. Операции с матриц ми К элементарным преобразованиям строк относят также: 3) перестановку двух строк матрицы; 4) прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки, умноженной иа число.
Матрица В называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается В = Ат, если строками матрицы В явля- ются соответствующие столбцы матрицы А, т. е. для всех г, у выпол- неиы равенства бб = а,ч. Операция перехода от А к А называется т пранспонированием матрицы А. Если А имеет размеры т х и, то А имеет размеры и х т. Матрица В называется комплексно сопряженной по отношению к коьшлексной матрице А и обозначается В = А, если для всех г, у выполнено равенство 6; = а; . Матрица В называется эрмитоео со- пряженной по отношению к матрице А и обозначается В = Ап, если — т В = А, т. е. для всех г,у выполнено б1у = а;. Матрица называется нулевой, А = О, если все ее элементы рав- ны О. Матрица А называется матричной единицей с индексами 1е, уе и обозначается А = Е;„.„если все ее элементы, кроме а;„.„нулевые, а а„,, =1.
Элементы ам,ага,...,а„„образуют (главную) диагональ квад- ратной матрицы А = !)ан)) порядка п и называются ее диагональ- ными элементами. Сумма диагональных элементов называется слеп дом матрицы А и обозиачается сгА. Таким образом, 1гА = ~па. г=1 Квадратная матрица иазывастся диагональной, если все ее иеди- агоиальиые элементы равны О, т. е. а;. = О при г ф~. Диагональ- яая матрица порядка п обозначается йай(аы,..., а„„). Диагональная матрица порядка и, у которой все диагональные элемеиты равны 1, называется единичной и обозначается Е или Е„. Элементы едииич- вой матрицы обозначаются бй. Е = ))б 1)), ) 1 при 1=2, ) Опри1фгц и и Пусть А — квадратная матрица порядка и.
Матрица В ивзы- ®атся обратной к А и обозначается В= А ', если АВ =ВА = Е. агиемеиты обратной матрицы можно вычислить по формуле: И: ( — 1)*+' М; песА где М; — дополнительный минор элемента а; в матрице А. Матри- ца А обратима, если пей А ф О. Пусть р(г) = ее+ а11+... + аф' — миогочлеи. Матрица В = = аеЕ+ а1А+... + агА" называется многочленом от матрицы А и обозначается В = р(А). Перечислим некоторые специальные виды квадратиых матриц А = )(а; 'е порядка п: 1Зб Гл. 6.
Матрицы скалярная: А = с(1ая(Л,...,Л), где Л вЂ” некоторое число; вырожденная (особая): г1есА = О; невнрожденная (неособая); г(есА ф О; унимодулярноя: Йе1 А = 1; матрица перестановки: матрица А получена из единичной матрицы с"перестановкой строк; элементарная матрица: матрица А, полученная из Е элементарным преобразованием; верхняя треугольн я: ац = О при 1) у; нилсняя треугольная: аг1 = О при 1 ( г; симметрическая (илн симметричная): Ат = А; кососиммстрическая (или кососимметричная): А = — А; т эрмитова: АЯ = А; косоэрмитова: АЯ = — А; ортогональная: А = А унитарная: Ан = А неотрицательная: а11 ) О прн всех г,у; стохастическая (марковская): аи ) О при всех г,у и г аск =1 э=1 при г=1,...,п; нильпстпентная: А" =О при некотором натуральном й (наименьшее из таких )с называется показателем нияьпотентяости матрицы А); периодическая: Аг = Я при некотором натуральном к (й называется периодом матрицы А).
Матрица В называется блочной (клеточной), если ее элементами являются матрицы В; размеров т, х пу. При этом все матрицы ВО, принадлежащие одной строке В, имеют одинаковую высоту, а все матрицы Вич принадлежащие одному столбцу В, имеют одинаковую ширину. Операции с блочными матрицами определяются по тем же правилам, что и с обычными числовыми матрицами.
Если числовая матрица А разбита горизонтальными н вертикальными прямыми на блоки ВО, занумерованные естественным образом, и из этих блоков сформирована блочная матрица В = ))В,,)), то говорим, что матрица В получена нз А разбиением на блоки. Пусть, наоборот, дана блочная матрица В =)1Вгг)). Из элементов матриц Вг можно естественным образом сформировать числовую матрицу А размеров Е т; х 'г и . В этом случае мы говорим, что матрица А получег 1 на обеединением блоков матрицы В и пишем А =Вг~.
Когда для путаницы нет оснований, значок опускаем, и числовую матрицу обозначаем той же буквой,что и блочную. Пусть А = ((ац() и  — числовые матрицы, С = ))СО)! — блочная матрица, определенная равенствами СО = а„.В при всех г,гц Числовая матрица, получаемая объединением блоков матрицы С, называ- з зо. Операции с матприцвми 137 ется (правим) нроненеровским произведением (иля правим прямым произведением) матриц А и В и обозначается А ® В. Основные операции с матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц (15.1 — 15.24) 15.1. Сформулировать требования, которые надо предьявить к матрицам для того, чтобы их можно было сложить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
