1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Найти все матрицы, перестановочные с каждой нсвырожденной матрицей порядка и, 15.74. Найти матрицу, эрмитово сопряженную данной матрице: 1) Азз, 2) Азе; 3) Азэ, 4) Азь 15.75. Проверить справедливость тождества: 1) (А+ В)н Ан+ Вн. 2) (ьА)н = оАн 3) (Ан)н А 4) (.4. В)н ВиАн, 5) (Ан)-з (А-ь)н 15.76. Определить, является ли указанная матрица второго порядка диагональной, скалярной, треугольной, симметри- Э 15. Операции с матрицами ческой, кососимметрической, эрмитовой, косоэрмитовой, унитарной, ортогональной или матрицей перестановки: 1) Аэг', 2) Акб 3) Аэт, 4) Азе; 5) Атт', 6) Аы, 7) А46; 8) А2з; 9) — Аээ; 10) А2з; 11) — Акь Л Л 15,77. Доказать, что: 1) все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны 0; 2) диагональные элементы зрмичовой матрицы вещественны; 3) диагональные элементы косозрмитовой матрицы мнимые. 15.78.
Доказать, что: 1) если матрица А эрмитова, то матрица гА косозрмитова; ои . 2) если матрица А косоэрмитова, то 1А эрмитова. 15.79. 1) Найти общий вид зрмитовых матриц второго по.вфдка. 2) Найти общий вид косоэрмитовых матриц второго поряд- 3) Указать все матрицы перестановок второго порядка. Доказать утверждения 15.80 — 15.86. 15.80. Если матрица А диагональна и все ее диагональные элементы отличны от О, то А ' существует и является диагональной. 15.81 1р). Если матрица А верхняя треугольная и все се диагональные элементы отличны от О, то А ~ существует и является верхней треугольной.
15.82. Если А — невырожденная симметрическая матрица, то А 1 — также симметрическая матрица. 15.83. Если А — невырожденная кососимметрическая матрица, то А 4 -- также кососимметрическая матрица. 15.84. Если А — ортогональная матрица, то А 4 существует и ортогональна. 15.85. Если А — унитарная матрица, то А ' существует и унитарна. 15.86. Если А — матрица перестановки, то А 1 существует и также является матрицей перестановки. 15.87. Доказать, что данная матрица ортогональна и найти обРатнУю к ней: 1) Атт, 2) Аыэ' 3) Аз1э, 4) Азэз, 5) А44э. 146 Гл. 6.
Матрицм 15.88. Доказать, что данная матрица унитарна и найти обратную к ней: 1 1) Аюз' 2) — А4зз. Л 15.89. Пусть матрицы А и  — верхние треугольные. Выразить элементы матрицы АВ через элементы матриц А и В. 15.90. Пусть матрицы А и  — верхние треугольные. Доказать, что матрицы А+ В и А — также верхние треугольные. 15.91. Пусть матрицы А и В симметрические. Доказать, чпх 1) А+  — симметрическая матрица; 2) Аь — симметрическая матрица при любом натуральном й; 3) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны.
15.92. Пусть матрицы А и В кососнмметрические. Доказать, что: 1) А+  — кососимметрическая матрица; 2) А" — кососимметрическая матрица при нечетном lс и симметрическая матрица при четном Й; 3) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда А и В персстановочны. 4) Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососнмметрнчности произведения матриц А и В. 15.93. Пусть А — произвольная квадратная матрица. Доказать, что матрицы А+ А и ААт симметрические, матрица А — А кососимметрическая, т 15.94.
Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму симметрической и кососимметричсской матриц. Единственно ли это разложение? 15.95. Разложить данную матрицу в сумму симметрической и кососнмметрической матриц: 1) А4э; 2) Аи; 3) Азз4. 15.96. Пусть Я вЂ” невырожденная матрица и Я~АЗ = В. Доказать, что каждое из свойств: симметричность, кососимметричность — выполняется для матриц А и В одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы А, то выполнено и для В, и обратно).
15.97. Доказать утверждение: всякая эрмитова вещественная матрица является симметрической. З 7а. Операции е матарицами 147 .не1 15.98. Пусть матрицы А и В эрмитовы. Доказать, что: 1) матрица А+ В эрмитова; ... 2) матрица АВ является эрмитовой тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны. 15.99. Пусть А — эрмитова матрица и А = В+?С, причем В и С вЂ” вещественные матрицы.
Доказать, что  — симметрическая матрица, а С вЂ” кососимметрическая. 15.100. Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму эрмитовой и косоэрмитовой. Единственно ли это разложенис? Доказать утверждения 15.101 — 15.104. 8 15.101. Вещественная унитарная матрица ортогональна. 15.102. Если матрицы А и В ортогональны, то АВ орМгональна. 15.103. Если матрицы А и В унитарны, то АВ унитарна. 15.104. Пусть А — ортогональная матрица. Тогда сумма квадратов элементов любой ее строки равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных строк равна О. Являются ли эти свойства определяющими? 15.105.
Сформулировать и доказать свойства столбцов ортогональной матрицы, аналогичные 15.104. 15.106. Сформулировать и доказать свойства унитарной матрицы, аналогичные свойствам 15.104, 15.105 ортогональной. 15.107. Доказать, что матрица перестановки ортогонэльна. 15.108. Доказать, что если А и  — матрицы перестановок, то А — также матрица перестановки.
15.109. Известно, что матрица А диагональна и ортогональна. Что можно сказать о ее диагональных элементах А;? 15.110. Матрица А диагональна и унитарна. Что можно сказать о ее диагональных элементах А,? 15.111. Проверить, является ли данная матрица периодичной, нильпотентной или стохастцческой; найти период, показатель нильпотентности: 1 1) Азз, 2) Аы, 3) -А1з, 4) Аз; 5) А77, 2 6) Азаз; 7) Аззз; 8) Аозт', 9) Аззо; 10) Аазо', 11) Аазы 12) Аазт; 13) -Ааза; 14) Аз1з.
1 148 Проверить свойства квадратных матриц, сформулированные в задачах 15.112 — 15.121. 15.112. Нильпотентная матрица всегда вырождена, периодичная — невырождена. 15.113. Если А — нильпотентная матрица второго порядка, то Ат = О. 15.114. Треугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее диагональные злементы нулевые. 15.115. Если матрицы А, В нильпотентны и перестановочны, то А+ В и АВ нильпотентны. 15.116. Если матрицы А и В периодические и перестановочные, то А — периодическая матрица. Выразить какой- либо ее период через периоды матриц А, В.
15.117. Пусть А + А ~+... +Е= О. Доказать, что Ав периодическая матрица. 15.118. Всякая матрица перестановки периодична. 15.119. Пусть матрица А является одновременно унитарной и эрмитовой. Доказать, что А периодична. 15.120. Пусть Я вЂ” невырожденная матрица и Я ~АЗ = В. Тогда каждое из свойств: периодичность, нильпотентность— выполняется для матриц А и В одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы А, то выполнено и для В, и обратно). 15.121. Пусть матрицы А и В неотрицательные. Тогда А + + В, А — также неотрицательные матрицы.
15.122. Пусть 1 — столбец из единиц, и матрица А неотрицательная. Доказать, что условие А1 = 1 — необходимое и достаточное условие стохастичности А. 15.123. Доказать, что если матрицы А и В стохастические, то матрица АВ также стохастическая. 15.124. Пусть матрица А стохастичсская. Существует ли А ~? Будет ли А ~ стохастической, если она существует? 15.125. В каком случае стохастическая матрица является ортогональной? 15.128. Доказать справедливость тождества: 1) сг(А+В) =ФгА+~гВ; 2) ФгАВ=сгВА. 15.127.
Пусть А — треугольная матрица, т — натуральное число. Вычислить след матрицы А"'. З 15. Операции с матрицами 149 Е А О Е А В (матрицы А и С обратимы). 1) Н= зз. 2) Н= 15Л28. Пусть А — произвольная матрица. Вычислить: 1) ЯАтА), 2) йг(АнА). 3) Доказать, что если йг(АнА) = О, то А = О. 15.129. Доказать, что если А -- нильпотентная матрица второго порядка, то сг А = О. 15.130.
Доказать, что не существует матриц А и В таких, что А — ВА = Я. 9' Блочные матрицы (15.131 — 15.141) 15.131. Пусть А и  — блочные матрицы второго порядка. Сформулировать условия, при которых зти матрицы можно перемножить. Доказать, что если существует произведение АВ, то (АВ)п АыВп 15.132. Пусть А и  — верхние блочно треугольные матрицы второго порядка и произведение АВ существует.
Получить формулу для вычисления матрицы А~зВ 15.133. Пусть А — блочная матрица второго порядка, В— блочная матрица — столбец из двух блоков. 1) Сформулировать условия, при которых определено произведение АВ. 2) Доказать, что если АВ существует, то (АВ)~~ = АПВП. 3) Получить формулу для вычисления А В~. 15.134. Пусть А и  — блочно диагональные матрицы. Сформулировать условия, при которых: 1) определено произведение АВ; 2) (АВ)п АНВАР. 3) определены произведения АВ и ВА; 4 4) АВ=ВА. 15.135. Проверить справедливость тождеств (А+ В) = А~ + В~~, (АВ) ~ = АпВ~~ для произвольных блочных матриц. 15.136. Разбивая данные матрицы на блоки, вычислить произведение: 1) АазоАззз, 2) АаззАазо', 3) А4зоА4зз; 4) АазгА4зз; 5) А4зоА4зг', 6) АззоАззь з 15.137.
Найги матрицу (Нп) ~, если Н вЂ” блочная матрица: 150 Гл. 6. Матрицы 15.138. Пусть Š— единичная матрица порядка г; Р— произвольная матрица размера т х в; о, Ь, х — столбцы. Решить уравнение: 1) )(ЕЩПх=о; 2) ((ЕР((Пх=Ь. 15.139. Вычислить кронекеровское произведение матриц: 1) АвтЗст; 2) стЗАтт' 3) Агв Зов; 4) свЗАнб 5) А1т ЗАгв, '6) Агв ЗАтт' Т) Агз ЗАни 15.140. Пусть а= ))аы...,а„'В, Ь= ))Ьг,..идти~.
Вычислить нЗЬ, ЬЗа и сравнить с Ьа. 15.141. Проверить справедливость тождества: 1) (сгА) ЗВ = о(АЗ В); 2) (А+ В) ЗС = АЗС+ВЗС; 3) А®(В+ С) = АЗ В + АЗ С; 4) АЗ(ВЗС) = (АЗ В) ЗС; 5) АВЗСР = (АЗС)(ВЗР); 6) (АЗ В) 1 = А в ЗВ й 16. Ранг матрицы В этом параграфе используются понятия: ранг матрицы, базисный минор матрицы, базисные столбцы и строки матрицы.
При решении задач полезны теоремы о связи этих понятий, а также основной факт, состоящий в том, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов. Дадим описание некоторых методов упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк. Мы говорим, что матрица А размеров т х и имеет упрощенный аид, если: 1) некоторые г (г > О) ее столбцов являются первыми т столбцами единичной матрицы порядка т, 2) при г ( т последние т — г ее строк нулевые. Ранг упрощенной матрицы равен г. Метод приведения матрицы к упрощенной форме, называемый методом Раусса-Жордана, сводится к последовательному выполнению шагов, каждый из которых превращает один из столбцов данной матрицы в столбец единичной матрицы.
Опишем сначала один шаг преобразования. Предварительно отметим, что, хотя после каждого элементарного преобразования получается новая матрица, для простоты изложения мы сохраняем для всех таких матриц обозначение А = ((а„(!. Пусть выбран некоторый ненулевой элемент а;; матрицы А. Назовем его ведуп1им элементом данного шага. Отроку и столбец с номерами т', у, в которых он расположен, будем называть ведущей строкой и ведущим столбцом. Один шаг состоит из следующих элементарных преобразований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
