1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ние получено в параметрической (8), векторной (4) и матричной фогме (5). Для сокращения записи в этой главе системы линейных уравн. ний и ответы к ним лишь частично приведены в развернутой форм-. (1) и (8). Некоторая часть систем уравнений задана с помощью рэ4- ширенной матрицы. В ответах к этим упражнениям мы помещаел фундаментальную матрицу решений однородной системы уравнение и столбец какого-либо частного решения неоднородной системы.
Ка1 в условиях задач, так и в ответах матрицы и столбцы не выписань. непосредственно, а указаны их номера в банке. П р и м е р. Система уравнений задана расширенной матрице1 )(Аззг)сззЗ (задача 19.6, 42)). В банке находим 1 3 5 7 9 20 )(Аззг)сзз(! = 1 — 2 3 — 4 5 — 5 2 11 12 25 22 65 Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений х1+ Зхэ+ 5хз+ 7х4+ 9хз = 20, Х1 — 2хэ+ Зхз — 4х4+ бхз = — 5, 2х1+ 11хз+ 12хз+ 25х4+ 22хз = 65.
Применяя алгоритм Гаусса, приводим расширенную матрицу к упр1- щенному виду: 19 2 33 1 0 — — — 5 5 5 5 2 11 4 0 1 5 5 5 (12 О 0 О 0 0 0 19 2 33 х1+ хз+ х4+ — хз = 5, 5 5 5 2 11 4 хз+ хз+ х4+ -хз = 5~ 5 5 5 (13 эквивалентной данной. Базисные неизвестные — х1, хз, свободные— хз, х4, хз. Обозначим последние через л1, Ьэ, Йз', получаем обще= решение: Замечаем, что система совместна, так как в расширенной матри- це (12) базисными являются два первых столбца. Расширенная мат- рица (12) соответствует системе уравнений Гл. 7. Системы линейных уравнений 19 2 33 хг = — — Ьз — -/зг — — бз+ 5, 5 5 5 2 11 4 хг = — — Мз — — йг — -йз+ 5, 5 5 5 (14) хз = /ггпу х4 = йг~ хь = Йз.
(Ю!цее решение системы уравнений (13) можно получить другим спо- епйим. Сначала, положив в (13) хз = хз = хз = О, находим ее частное рвиивгие: х = (15) Дйеее рассмотрим однородную систему 19 2 ЗЗ хг+ — хз+ -хл+ — хз = О, 5 5 5 2 11 4 хг+ -хз+ — х4+ -хз = О. 5 5 5 11Можив хз = 1, хз = хз = О, находим хз — — — 19/5, хг — — — 2/5. Поло- йзнв хз = О, х4 = 1, хз — — О, находим хз — — — 2/5, хг = — 11/5. Положив ° х4 = О, хз = 1, находим хг = -33/5, хг = — 4/5. Таким образом, мм находим три линейно независимых частных решения однородной системы уравнений (фундаментальную систему решений): ')Ъперь можно записать общее решение (! 1) в векторной форме данной системы уравнений Х = 1г, + нзз (16) Очевидно, что (16) есть другая запись формулы (14). Наконец, можно получить общее решение системы уравнений ((3) сразу в матричной форме (5').
В данном случае 2/5 11/5 4/5 ' ~3 5 $ ~п5 -19/5 -2/5 1 О О -19/5 -2/5 1 ΠΠ— 2/5 — 11/5 О 1 Π— 2/5 — 11/5 О 1 О -33/5 — 4/5 О О 1 -ЗЗ/5 -4/5 О О 1 Гл. 7. Сисшемм виновных уравнений Р32 Таким образом, общее решение -19/5 -2/5 -2/5 -11/5 1 О О 1 О О -33/5 -4/5 О О 1 Х= (17) (17) есть матричная запись (16). Заменим произвольные постоянные Ьм Ьг, Ьз на — 5Ьг, — 5Ьг, — 5Ьз соответственно. Формула (17) примет вид 19 2 33 2 11 4 — 5 ΠΠΠ— 5 ΠΠΠ— 5 (18) Х= где В ответе к данной задаче 19.6, 42) указаны фунцаментальная мат- рица А4ег и столбец сгм, В банке находим 19 2 ЗЗ 2 11 4 — 5 ΠΠΠ— 5 О О 0-5 Ф = .44ов = сгзг = что соответствует решению (18). Напомним, что и фундаментальная система решений, и частное решение определены не однозначно.
3 17. Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0 17.1. Выписать расширенную матрипу данной системы уравнений. Решить систему: 1) 2хг+хг = 10, 2) Зх+5у = 2, хг+хг =17; 5х+9у=4; 3) 2хг+хг — хз = 2, 4) у+За = — 1 Зхг + хг — 2хз = 3, 2х+ Зу+ 5х = 3, хг+хз=3; Зх+5у+7г=б; 5) Зхг + 4хг+ 2хз+ х4 = 16, хг + 7хг + хз + х4 = 23, 2хг+хг+Зхз+ бх4 = 10, 4хг — Зхг + 4хз + Ох4 = 1; 6) 2х+ Зу+ 4г+ 5г = 30, Зх+ Зу+ 4г+ 5г = 34, 4х+ 4у+ 4г + 51 = 41, х+ у+ я+1 = 10; где 1г — сголбец из произвольных постоянных Ьо Ьг, Ьз, Ясно, что !7, Снеглемн уравнений е опредаентелем, отлиннмм отл 0 163 7) Х1+Х2+хз+Х4+хз = 1, х1+ хз+ х4 + хб = -3) Х1+х2+хз+х4 = О, .'4)! х1+ х2+ хз + хз = 3, и' х1+х2+х4+хз=-2; Ц Х1+х2 = 3, Х1+хз =4 х1+х4 = — 2, х1+ хб = — 1, Х1+хб =О, Х2 + Хз + Х4 + Хб + Хб = — 1.
1Т.2. Выписать систему линейных уравнений, соответст- фзОШУю данной РасшиРенной матРице. Решить систему, поль- эуись правилом Крамера: 1) ЗА40(ст((; 2) ЗАб~сз((; 3) 9А292(сб4ц; 4) ЗА299(сзб)~; 6) ~~А294)сбб~(; 6) 1А2оз~сбз1; 7) )(Азоз(о1. 1Т.З. Доказать утверждения: 1) Если уравнения системы (Б) являются линейными комби- иациями уравнений совместной линейной системы (А), то множе- Иъо решений системы (Б) содержит множество решений (А). 2) Присоединение к совместной системе линейных уравне- ний линейных комбинаций из ее уравнений заменяет систему иа эквивалентную. 3) При злементарных преобразованиях строк расширенной Матрицы совместная система линейных уравнений заменяется иа эквивалентную.
17.4. Как изменяются решения системы линейных урав- иеиий при элементарных преобразованиях столбцов основной матрицы? 1Т.Ь. Какую систему уравнений простейшего вида можно получить, применяя алгоритм Гаусса к строкам расширенной матрицы данной системы и линейных уравнений с и неизвест- ными, если основная матрица невырождена? 17.6. Составить систему линейных уравнений по данной расширенной матрице. Решить систему 1нижеследузощие мат- рицы разбиты на 4 группы по порядку основной матрицы): п=2: 1) ))А19)с19)~; 2) ))Аб~с12~~; 3) !)А19(с1Д; н=З: 4) ))А21б)сзз~~; б) ~ЦА212~сбоф~р 6) ~~А21б~сб1((; з 18.
Системы линейных однородных зйювнений 165 18.2. Доказать, что: 1) сумма двух решений однородной системы линейных уравнений есть решение той же системы; 2) произведение какого-либо решения однородной системы линейных уравнений на число есть решение той же системы. 18.3. Пусть |с — максимальное число линейно независимых решений однородной системы линейных уравнений. Выразить Й через размеры и ранг матрицы системы.
В каком случае й = О? 18.4. Сколько линейно независимых решений имеет однородная система линейных уравнений, если ее матрица невырождена? 18.5. Может ли однородная система линейных уравнений оказаться несовместной? 18.6. Сформулировать условия (и проверить их необходимость и достаточность), при которых однородная система линейных уравнений имеет: 1) единственное решение; 2) бесконечно много решений.
18.7. Составить и решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов: и, 1) !)12)(; 2) ()111)); 3) ((130 Ц); 4) Азоб 5) Альь; 6) Аьоо', 7) Аыл; 8) Аьш, 9) Аьгз; 10) Аьзг', 11) Аьзз. 18.8. Составить однородную систему линейных уравнений по заданной матрице коэффициентов, содержащей параметр.
Решить систему при всевозможных значениях параметра: 1) А=Аггз — ЛЕ; 2) А=Аггг — ЛЕ; 3) А = Аггг — ЛЕ; 4) А = Азьь; 5) А=Аль — ЛЕ' 2) А=Азьз. 18.9. Решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов. Составить и решить соответствуюшую сопряженную систему: 1) Апь; 2) Апь', 3) Апз; 4) Агоь, '5) Агоо, 6) Азьз', 7) Аеоз; 8) Аыь; 9) Аыь, 10) А44з; 11) Аьзг, '12) Аьзь. 18.10. Могут ли данная однородная система линейных уравнений и ее сопряженная система иметь одинаковое число линейно независимых решений? 18.11. Могут ли совпадать множества решений данной однородной системы линейных уравнений и ее сопряженной? 18.12.
Доказать, что однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда я только тогда, ко- Гл. 7. Сиетнемн линейныт уравнений гда строки основной матрицы сопряженной системы линейно зависимы. 18.13. Зная одну фундаментальную матрицу Ф,найти общий вид произвольной фундаментальной матрицы той же системы уравнений. 18.14.
Данная матрица является фундаментальной матрицей некоторой однородной системы линейных уравнений. Найти хотя бы одну нормальную фундаментальную матрицу: 1) Азы; 2) Амв; 3) Аздт. 18.15. Данная матрица является фундаментальной матрицей некоторой системы линейных уравнений. Найти все нормальные фундаментальные матрицы этой системы уравнений: 1) Апд; 2) сшт; 3) Атш; 4) Аздв.
18.16. В системе уравнений Ах= о (х — столбец), имеющей фундаментальную матрипу Ф, выполнена замена неизвестных х = Яу (дее Я ф О). Какая система уравнений получится для у? Укажите фундаментальную матрицу решений этой системы. 18.17. Найти хотя бы одну однородную систему линейных уравнений, для которой данная матрица является фундаментальной: 1) Аыо; 2) Аыт', 3) сгдт, 4) (р) Аыв; 5) А4ы. 18.18. Найти все однородные системы уравнений, эквивалентные данной системе Ах = о. 18.19. Найти все однородные системы уравнений, для которых данная матрица Ф является фундаментальной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
