1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Доказать, что если при всех г выполнено неравенство ~а;,() ~~» ~а;ь(, то е)с1 А ~ О. ьфг 19.32. Доказать, что для любых попарно различных чисел ам..., о„»1 и любых чисел Ьы...,Ь„э1 существует единственный многочлен у(1) степени не выше и такой, что ,) (а») = Ьы..., Дан+~) = Ьн+1. 19.33. Найти многочлен 7" (Ф) третьей степени такой, что Д1) = ~(2) = ДЗ) = 1, Д4) = 7. Приведенные ниже задачи 19.34 — 19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере. Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при решении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии. 19.34. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на декартовы координаты (амЬ1), (аз,Ьз), (аз,Ьз) 172 Гл.
7. Системы линейних уравнений трех точек плоскости, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для четырех точек плоскости. 19.35 (р). Доказать, что через две различные точки с декартовыми координатами (ам 61), (аэ,6э) проходит единственная прямая,и найти ее уравнение. 19.36. Показать, что через три точки с координатами (аы61), (аэ,6а), (аз,6э), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, и найти ее уравнение.
Система координат декартова прямоугольная. 19.37. 1) Три прямые заданы на плоскости в общей декартовой системе координат уравнениями А;х+Вед+С, = О, 1 = 1,2,3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на коэффициенты уравнений, необходимое и достаточное для того, чтобы эти прямые не проходили через одну точку. 2) Решить тот же вопрос для четырех прямых. 19.38. Используя результат задачи 19.37, определить, имеют ли данные прямые общую точку: 1) 2х+Зу+1=0, 7х+11у+4=0, Зх+4у+1 =0; 2) х+8д+1 = О, 7х — у+1= О, 11х — 26д — 1 = 0, 8х + 7у + 2 = О. 19.39.
1) Четыре точки заданы своими декартовыми координатами (а;,6;,с;), 1= 1,2,3,4. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали в одной плоскости. 2) Решить тот же вопрос для пяти точек. 19.40.
Используя результат задачи 19.39, определить, лежат ли данные точки на одной плоскости; 1) (7, — 1,2), (2,3,1), (0,10,0), (3,4,1), (6, -2,2); 2) (6,1,2), (2,3,1), (3,4,1), (6,2,2). 19.41. Показать, что через четыре точки с координатами (а,, 6;, с;), 1= 1,2,3,4, не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, и найти ее уравнение.
Система координат декартова прямоугольная. 19.42. Три точки заданы своими декартовыми координатами (а;,6;,с;), е'=1,2,3. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для т точек (гп > 4). з г9. Сиетеми линейных уравнений общего вида 173 19.43. Используя результат задачи 19.42, определить, лежат ли данные точки на одной прямой: 1) (2,3,1), (3,4,2), (0,1, -1), (-2, -1, -3), (-6, -5, — 7); 2) (2,3,1), (3,4,2), (0,1,1), (2,1,3), (6,5,4). 19.44. Доказать, что через три точки с декартовыми координатами (а;,5;,с;), г = 1,2, 3, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и найти ее уравнение.
19.45. Две плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А;х+ Вгу+ Сев+.0г = О, г = 1,2. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) совпадали; 2) имели единственную общую прямую; 3) были параллельными, но не совпадали. 19.46. Три плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А;х + В; р+ Сгх + Х)г = О, г' = 1, 2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) совпадали; 2) имели единственную обшую точку; 3) имели единственную общую прямую; 4) были параллельными, но не все совпадали; 5) образовывали призму. 19.47.
Используя результат задачи 19.46, определить вза- имное расположение плоскостей: 1) Зх+2р+бе — 1=0, 2х+Зр+Зг+1=0, 9х+ 16у+ 13г+ 1 = 0; 2) х — у — г+ 1 = О, 5х — 21у — 17з+ 1 = О, бх — 26у — 21г+1 = О. 19.48. Четыре плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А;х+ Вед+ С;г+ В, = О, 1 = 1,2, 3,4. Известно, что пары, соответствующие г = 1,2 и 1= 3,4, определяют прямые линии. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельными, но не совпадалн; Глава 8 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство (линейное простраььство над полем веьцественных чисел), комплексное линейное пространство (линейное пространство иад полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, копечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое пространство (вещественное и комплекс!!ос), бесконечномерное линейьюе пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное надпространство, нулевое подпростраььство, линейная оболочка системы векторов (линейное подпространство, натянутое ььа зту систему векторов), сумма и пересечение двух (и любого конечного числа) подпрострагьств, прямая сумма двух (и любого конечного числа) подпространств.
Перечислим основные примеры линейных пространств. 1) Геометрическое пространство — множество векторов (направленных отрезков) пространства, изучаемого в элементарной геометрии. 2) Арифметическое и-мерное линейное пространство Я.„над полем вещественных чисел (вещественное арифметическое пространство)— пространство столбцов высоты и с вещественными элементами. Операции сложения столбцов и умножения столбца на число осуществляются покомпонентно. Базис этого пространства„состоящий из столбцов единичной матрицы, называется стандартным. Координатами столбца относительно стандартного базиса являются его элементы.
3) Арифметическое и-мсрное линейное пространство С„над полем комплексных чисел (комплексное арифметическое пространство) — пространство столбцов высоты и с комплексными элементами. Операции и стззщартный базис определяются так же, как и в Я.„. 4) Пространство ьс „„вещественных матриц размера т х и над полем вещественных чисел с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число, Размерность пространства ьс „„равна тп. В пространстве ьс „„стандартным называем базис, состоящий из матричных единиц Еьу, ! = 1,..., т; у = 1,..., и (см.
введение к З 15). Базисные матрицы упорядочиваем следующим об- РаЗОЬЬ Еььь Егьь ° ° ь Еоььь .Еьг ° ь Еьььг ь ьь!пь . ° ь Еььььь ). ') О другом способе упорядочивания см, введение к гл. 12. 176 Гл. 8. Линейные пространства 5) Пространство С „„ комплексных матриц размера гп хи над полем комплексных чисел. Операции, размерность, стандартный базис — такие же, как и в 7С 6) Пространство Рг'~ многочленов с вещественными коэффициентами от одной переменной 1, имеющих степени, не превосходящие данного числа и.
Операции — обычные операции сложения много- членов и умножения многочлена на число. Размерность пространства Р~"~ равна и+ 1. Стандартным базисом называем базис из многочленов 1, 1, гэ, ..., 1". Произвольное линейное пространство обозначаем буквой ь", гго размерность — 61шь". Если 61ть" = и, то пишем: ь"„. Элементы линейного пространства называем векторами, их координаты записываем в виде столбцов. Пусть Е, = (5,...,4„) — координатный столбец вектора х в базисе е= (ем...,с„).
Тогда п х=~~~ Сясь =ек, э=1 где е понимается как строка из векторов ем, .., е„. Формула (1) называется формулой разложения вектора х по базису е. Пусть векторы е'„..., е'„базиса е' заданы своими координатами относительно базиса е = (ем..., е„): е,'=) сыеы 1=1,...,п, (2) ым Матрица Я, столбцами которой являются координатные столбцы новых базисных векторов е'„..., е'„относительно старого базиса е, называется магприией перехода от базиса е к базису е'.
Равенство (2) можно переписать так: е' = еЯ. Это равенство сохранится, если вместо строк из векторов е и е' рассматривать матрицы из координатных столбцов векторов еы..., е„и е1,..., е'„в некотором фиксированном базисе. Если вектор х имеет координатный столбец б в базисе е и координатный столбец Е,' в базисе е', а Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису е', то б = ЯЕ,'.
(4) При фиксированном базисе пространства каждой линейной комбинации векторов взаимно однозначно соответствует такая же линейная комбинация их координатных столбцов. Пусть векторы аы...,аь заданы своими координатными столбцами. Составим из этих столбцов матрипу А и будем делать элементарные преобразования ее строк. Столбцы преобразованной матрицы можно интерпретировать как координатные столбцы тех же Гл.
д. Линейные пространства 177 векторов в новом базисе. Матрица перехода к нему получается из единичной матрицы Е с помощью тех же элементарных преобразований строк. Элементарным преобразованинм столбцов матрицы А соответствует переход к системе векторов, являющихся линейными комбинациями данных. Матрица из коэффициентов этих линейных комбинаций получается из Е теми же элементарными преобразованиями столбцов.
Приведем схемы решения некоторых важных типичных задач. 1) Векторы ум...,у„базиса г и вектор х даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Найти координатный столбец к' вектора х относительно базиса Г. Р е ш е н н е. Столбец а' находится нз матричного уравнения (4), где б — координатный столбец вектора х в базисе е, а Я вЂ” матрица из координатных столбцов векторов ум...,у„в базисе е. Для того, чтобы вычислить столбец Е,', матрипу Й Я ( Е, !) с помощью элементарных преобразований строк упрощаем так, чтобы на месте Я оказалась единичная матрица. Тогда на месте столбца б окажется искомый столбец к'. 2) Векторы базисов г" = (ум...,1„) и к = (дм...,д„) заданы своими координатными столбцами относительно третьего базиса е = = (ем..., е„), Найти матрицу перехода Я от базиса г" к базису и. Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
