1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В нем можно рассматривать преобразования ортогонального проектирования и ортогонального отражения (ортогональной симметрии)в подпространстве (прямой илн плоскости). Подробнее об ортогональном проектировании в геометрическом векторном пространстве см, введение к гл.
12. Суммой двух линейных отображений р, й): ь — 5 Е называется отображение р+ 7б такое, что для всех х Е ь" (5а+7р)(х) = 5в(х)+й)(х). Произведение отображения 5)) на число а определяется для всех х Е ь' равенством (а)р)х = а5)7(х). Примеры линейных отображений и преобразований. Ядро, множество значений. Матрицы линейных отображений и преобразований (23.1 — 23.61) 23.1. Пусть х = (хм х7,, хн)~ — произвольный вектор п-мерного арифметического пространства.
Исследовать линейность преобразования )р, если: 1) у(х) = (хг) х7 — х2)' (и = 2); 2) 7р(х) = (хт, х5хз)т (п= 2); 3) ф(х) = (х2) х5 — 3, хз) (п = 3)) 4) у(х) =(2хз+х5,2хзхм х5 — хз)~ (п=З); 5) у(х) = (О 0)т. 6) ~р(х) =(О, х5+Зх2) хе~) (п=3); 7) )р(х) = (О, ..., О, 1)т; 8) 5)7(х) = (з1пхд, созхз, хз)т (п=3); 9) ср(х) = (х„, хн 5, ..., хф 10) ср(х) = (2х5) 2/хз() 2хз) (и= 3). 23.2. Доказать линейность преобразования ~р пространства Е, выяснить, является ли )р инъективным, сюръсктивным или биективным, указать его матрипу в произвольном базисе пространства Е, если )р есть: 1) нулевое отображение; 2) тождественное преобразование; 3) гомотетия.
23.3. Пусть 7р — линейное отображение пространства х. в Е. Доказать, что: 1) ~р(о) =о; 2) ядро ~р есть линейное надпространство в Е; 3) образ )р(М) линейного подпространства М 5 Е есть надпространство в Е, причем йппу(М) < с1ппМ; 194 Гл. У. Линейные отпображенил и иреооразоваяия 4) у иньективно тогда и только тогда, когда Кету = (о); 5) йп~Кегу+дип1ту = с11гпЕ.
23.4. Пусть М вЂ” подпространство линейного простран- ства Е. Доказать, что естественное вложение М вЂ” ~ Š— инъ- ективное линейное отображение. Может ли оно быть изомор- физмом? 23.5. Пусть М вЂ” подпространство линейного простран- ства,С. Отображение у: Е -~ М определено правилами: у(х) = = х при х е М, у(х) = о при х ~ М. Линейно ли отображе- ние ~р? 23.6. Пусть х — произвольный вектор, а, п — фиксиро- ванные ненулевые векторы геометрического векторного про- странства (двумерного или трехмерного). Проверить линей- ность преобразования ~р, заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если: 1) у(х) = (х,а) —; 2) у(х) = ' а ((а,п) ф 0); 3) ~р(х) =х-(х,п) —; [п)а 4) ~р(х) =х- — 'а ((а,п) фО); (х, и) (а, и) 5) у(х) =х — 2(х,п) —; 6) у(х) =2(а,х) — — х.
[п[а !аР 23.7. Проверить линейность и выяснить геометрический смысл преобразования у трехмерного геометрического вектор- ного пространства, заданного формулой (а, и, ч — фиксиро- ванные векторы): 1) у (х) = [х, а) ([а~ = 1); 2) у(х) = п(х, ч) -ч(х,п) ([и, ч~ ф 0). 23.8. Пусть а и п — ненулевые векторы трехмерного гео- метрического векторного пространства, причем (а,п) Ф О, Е1— прямая с направляющим вектором а, а Ез — плоскость с нор- мальным вектором п.
Записать формулой преобразование у, проверить его линейность, найти ядро, множество значений и ранг, если ~р есть: 1) ортогональное проектирование на Ез, 2) ортогональное проектирование на .С1, 3) проектирование на Сз параллельно вектору а; 4) проектирование на Е1 параллельно Ез; 5) ортогональное отражение относительно Ез, 6) ортогональное отражение относительно Ег; в 2о. Основные свойства линейнмх отображений 195 7) отражение в Ез параллельно вектору а; : 8) отражение в Е1 параллельно Ез. В задачах 23.9 — 23.14 линейные надпространства трехмерного геометрического векторного пространства Ез заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе. 23.9. Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства Ез на подпространство Е, если Е есть: 1) прямая х = с = 0; 2) прямаях=у=с; '0 3) плоскость х+у+ с =0; 4) плоскость, натянутая на векторы а(-1, 1, — 1) и Ь(1,— 3, 2).
23.10. Вычислить матрицу проектирования пространства Ез на подпространство с. параллельно надпространству М, если: 1) Е определено уравнением х = О,М вЂ” уравнениями 2х = =29= — с; 2) Е имеет уравнение х = 9, М определяется системой уравнений х+ у + с = О, 2х+ у + 4с = 0; 3) Е определено уравнениями — 20х = 15у = 12х, М вЂ” уравнением 2х + Зу — с = 0; 4) Е определено системой уравнений х — у+с = О, 2х— — 39+ 4г = О, М вЂ” уравнением 2х+ Зу — 4г = О. 23.11. Преобразования пространства Ез из задач 23.9 и 23.10 рассматриваются как линейные отображения пространства Ез на подпространство Е.
Вычислить матрипу каждого из этих отображений в какой-либо паре базисов. 23.12. Найти матрипу линейного преобразования у, если у — ортогональное отражение пространства Ез: 1) относительно плоскости х = 0; 2) относительно прямой х = 2у = г; 3) относительно линейной оболочки векторов а(1,0,-1) и Ь(1,1, -2). 23.13. Найти матрицу отражения пространства Еэ: 1) в плоскости х = 0 параллельно прямой 2х= у= — с; 2) в прямой х= в, х — 9+с=0 параллельно плоскости х+у = О. 23.14.
В трехмерном геометрическом векторном пространстве Ез задан ортонормированный базис еп е2, ез. Вычислить матрицу поворота пространства: 1) на угол сс вокруг вектора ез', 196 Го. 9. Линейные отображение и преобразования 2) на угол х/2 вокруг вектора е1; 3) на угол 2х~3 вокруг прямой, имеющей уравнения х= =9=я. 23.15. Пусть линейное пространство С является прямой суммой ненулевых подпространств С', Со. 1) Доказать, что преобразование у проектирования С на С' параллельно Со линейно. Найти ядро и множество значений ~р. Записать матрицу преобразования у в базисе, составленном из базисов подпространств,С'и Се.
2) Решить задачу, рассматривая у как отображение пространства С на Сс. 23.16. Пусть линейное пространство С является прямой суммой ненулевых подпространств Сс, С". Доказать, что отражение <р пространства С в С' параллельно Со есть линейное преобразование пространства .С. Найти его ядро и множество значений. Показать, что ~р является изоморфизмом. Записать матрицу р в базисе, составленном из базисов подпространств С/ Се 23.17. Пусть ео: С-+ С вЂ” линейное отображение, М = = д(С).
Рассмотрим ~р как линейное отображение ~р: С вЂ” ~ М. Доказать, что: 1) ядра отображений ео и ~р совпадают так же, как их ранги; 2) ф сюръективно; 3) ~р инъективно тогда и только тогда, когда у инъективно. 4) если бйгпС = йипЕ, то у тогда и только тогда является изоморфизмом, когда изоморфизмом является ф.
Выяснить связь между матрицами отображений у и у (выбрать согласованные базисы в С и М). 23.18. Доказать, что ранг матрицы линейного отображения не зависит от выбора пары базисов в линейных пространствах. 23.19. Доказать, что: 1) ранг матрицы линейного сюръективного отображения равен числу ее строк; 2) ранг матрицы линейного инъективного отображения равен числу ее столбцов. 23.20. Пусть ~о: С -+ à — линейное отображение, ейшС = =гг, с11шС=гн, А — матрица ео в некоторой паре базисов, г8А = г. Доказать, что: 1) гй~р=г; 2) с1ппКег~р=п — г. ~ 28.
Основные свойства линейных отобранеений 197 23.21. Доказать, что: 1) отображение, обратное к изоморфизму, существует и также является изоморфизмом; 2) линейное отображение, не являющееся изоморфизмом, 'не имеет обратного. 23.22. 1) Чему равен ранг и каково ядро линейною отображения ~р: е. — в Е, являющегося изоморфизмом? 2) Как связаны матрицы А, В линейного отображения и обратного к нему? 23.23. Пусть у: е, — в .С вЂ” линейное отображение, и йше", = Апп Е. Доказать равносильность утверждений: 1) у изоморфизм; 2) у ииъективно; ! 3) у сюрьективно.
Показать, что при с1ппе", ф Жше". из 2) или 3) не следует 1). 23.24. Пусть у: х. -+ ь" — линейное отображение, и бйшх", = йш е".. Доказать утверждения: 1) Для того чтобы уравнение ~о(х) = у (х й е,) было разрешимо при любом у Е Е необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение ~р(х) = о имело только нулевое решение. 2) Если уравнение ~р(х) = у разрешимо при всех у Е Е, то оно имеет для каждого у единственное решение.
3) Пусть уравнение у(х) = у разрешимо не при всех у е е"., но при некотором у разрешимо. Тогда его решение не единственно. 23.25. Доказать, что любое и-мерное линейное пространство изоморфно и-мерному арифметическому пространству над тем же полем и, следовательно, все линейные пространства одинаковой размерности (над одним н тем же полем) изоморфны.
23.26. Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства задано в стандартном базисе матрицей А. Найти образы векторов аы аз, аз и объяснить геометрический смысл преобразования (кроме 3)): 1) А = Азам а1 = (1, О, — 1~~, аз = (О, 1, 0)т, аз = (3, 3, 3)т; 2) А=Аззм а1=(1,1,2), а~=(1,2,3)т, аз=(1,2,4)т; 3) А = Аз41, а1 = (О, 1 1)т а, = (1 0 -1)т аз = (2 1 0)т ,О 4) А =Аоео, а|=(0, 1, 1)т, ао =(2, 2, 3+1)~, ав = (2,2, 3- )'; 198 Гя. 9. Линейние отобрахеения и преобразования 5) А=Азез, а1 =(1, 1, — 1)т, аз=(1+е, 1, — 1)т, аз = (1 — 1, 1, 1)т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
