1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

й 24. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейных преобразований а. В этом параграфе используются понятия: иььвариантное подпросьпранстао, ограничение линейного преобразования на инвариантном подпрострапстве, собственное значение, собственный вектор и собственное надпространство лиььейного преобразоааним, характеристический многочлеи и характеристическое число матрицы линейного преобролоааьшл, диагонализируемое линейное преобразование, аььнулирующий многочлен, минимальный аннулирующий многочлен матрицы (линейного преобразоааььил), корневой вектор, корневое надпространство, нильпотентььое преобразование, циклическое подпростраььство, жорданоеа цепочка, жорданоа базис, жорданова клетка, жорданова матрица.

Подпространство М линейного пространства .С называется инаариантпым относительно линейного преобразования х (или инвариантным подпространством преобразования ьр), если для любого х й М выполнено ььг(х) и М. Ограничением (сужением) преобразования х на инвариантном подпростраистве М называется преобразование уьхь пространства М, определенное равенством ьо,и (х) = уь(х) для х й М. Если подпространство Кег(ььь — Ль) ненулевое, оно называется собственным подпространстаом преобразования у, отвечающим собственному значению Л.

Ненулевые векторы собственного надпространства называются собственными векторами. Иначе, ненулевой вектор х называется собственным вектором преобразования ~р, принадлежащим собственному значению Л, если существует такое число Л, что ьо(х) = Лх. Укажем метод отыскания собственных значений и собственных векторов линейного преобразования, заданного матрицей. Пусть ьо: г". -+ х. — линейное преобразование и в С выбран базис, в котором А — матрица преобразования ьр, а Е, — координатный столбец собственного вектора, отвечающего собственному значению Л. Тогда Е является решением системы линейных уравнений (А — ЛЕ)1, = о.

(1) Для существования ненулевого решения системы (1) необходимо, чтобы бес(А — ЛЕ) = О. ай Гл. 9. Линейные отображения и преобразования г Уравнение (2) называется характеристическим уравнением, а его корни — характеристическими числами матрицы А. В комплексном линейном пространстве все характеристические числа матрицы линейного преобразования являются его собственными значениями, а в вещественном пространстве — только вещественные характеристические числа. Выражение рл(г) = йес(А — Ж) является многочленом от ~ степени и = Йпп Е, который называется характлеристическим миогочленом матрицы А: рл(1) = йес(А — ~Е) = ( — ~)" + ФгА( — 1)" ' +... + ЙегА.

(3) Характеристический многочлен матрицы А линейного преобразования не изменяется при замене базиса, следовательно, не изменяются его коэффициенты, в частности след и определитель матрицы А, а также характеристические числа. Эт(г дает основание называть харакгперистическим многочленом, характеристическими числами, определителем и следом линейного преобразования соответствующие объекты для матрицы преобразования в некотором (любом) базисе.

Собственные векторы линейного преобразования, заданного геометрически или явной формулой, иногда можно находить непосредственно, не вычисляя его матрицы. Решение задачи на собственные значения и собственные векторы линейного преобразования у включает: а) вычисление корней его характеристического многочлеиа; б) в случае вещественного пространства — отбор вещественных корней, так как только они являются собственными значениями; в) отыскание максимальной линейно независимой системы собственных векторов преобразования эг, которая состоит из базисов собственных подпространств Ег для каждого собственного значения А. Матрица линейного преобразования х в некотором базисе диагональна тогда и только тогда, когда все базисные векторы — собственные для у. При этом на диагонали матрицы находятся соответствующие собственные значения.

Линейное преобразование пространства Е называется диагонализируемым (или преобразованием простой структуры), если в б существует базис, в котором матрица преобразования диагональна. Матрица, подобная диагональной, называется диагонализируемой (матрицей простой структуры). Диагонализируемость зависит от поля, над которым определено пространство б.

Вещественная матрица„имеющая комплексные характеристические числа, не диагонализируема как матрица линейного преобразования в вещественном пространстве, но может быть двагонализируемой над полем комплексных чисел. Привести линейное преобразование (или его матрицу) к диагональному виду — значит найти базис нз собственных векторов преобразования и записать матрицу преобразования в этом базисе. Пусть у — линейное преобразование вещественного линейного пространства, А, А — пара его комплексно сопряженных характери- з к4.

Собственные векторы и собственные значения 215 стических чисел. Они являются корнями квадратного трехчлена1з + + р1 + д, где р = — (Л + Л) и у = ЛЛ. Подпространство Кег(уэ + рх + + уе) — ненулевое и инвариантное относительно ~р. Оно называется квазисобственным подпространством, отвечающим характеристическому числу Л. Многочлен ~(е) называется аннулируюецим многочленом матрицы А или линейного преобразования у, если ~(А) = 0 (соответственно ~(~р) = о). Согласно теореме Гамильтона — Кали характеристический многочлен матрицы (преобразования) является аннулирующим.

Многочлен (со старшим коэффициентом, равным 1) минимальной степени среди аннулирующих многочленов называется минимальным многочленом и обозначается д (1) или дл(1). Пусть характеристический миогочлен линейного преобразования раскладывается на множители р,(1) = (-1)" (1- Л,)"... (1- Л,)' (все Лм ..., Л, попарно различны). Тогда подпространство К1 = Кег(у — Лсо)го (1 = 1, ..., з) называется корневым подпространством, а его ненулевые векторы— корневыми векторами.

Длн любого преобразования ~р комплексного пространства ь" с=К|Э.. ЮК,. (4) Для вещественного ь это верно, если все Лм ..., Л, вещественны. Линейное преобразование 1» называется нильпотентным, если ф = о для некоторого натурального т. Число т называется его показателем нильпотептности. Ограничение ф; =(~р — Л,е)~к, преобразования (у — Л,е) на подпространстве К; является нильпотентным, и его показатель нильпотентности не превосходит йь Будем говорить, что корневой вектор х имеет высоту л, если фй(х) = о, но у1» 1 ф о.

Собственные векторы у — корневые векторы высоты 1. Вектор е1 называется присоединенным к собственному вектору ео, если ф;(е ) = ее. По индукции, 1-й присоединенный вектор определяется равенством ф;(е') = е' '. Если вектор е +' не существует, то собственный вектор ео и присоединенные к нему е', ..., е™ образуют жорданооу цепочку. Линейная оболочка векторов жордановой цепочки — инвариантное подпространство. Матрица ограничения преобразования у на нем имеет вид Л; 1 О ... О О Л; 1 ... О .7(Л() = О ....

Л; 1 О .... О Л, 216 Гл. У. Линейные отображения и преобразования Матрицы такого вила называются жордановими клетками. Жордаиову клетку порядка т обозначают,У (Л). В каждом корневом подпространстве существует базис, состоящий из жордавовых цепочек. Если имеет место разложение (4), то объединение таких базисов — базис в х., называемый жордаиовим базисом. В жордановом базисе матрица преобразования р имеет жорданову форму: является клеточно-диагональной матрицей с жордановыми клетками на диагонали.

(Собственные значения клеток не обязательно различны.) Общее число всех жордавовых клеток равно сумме размерностей всех собственных надпространств, Пусть дан матричный ряд ~~ А~">, где А® — матрицы одинаков=о (ь) вых размеров с элементами а~ .. Суммой этого ряда называют матрицу, составленную из сумм числовых рядов ~а,"". Экспонентой квадь ратной матрицы А называется суисиа матричного степенного ряда: е А й! в=о Собственные векторы и собственные значения (24.1 — 24.65) 24.1. Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования, отвечающих одному собственному значению, дополненное нулевым вектором, совпадает с собственным подпространством.

24.2. Доказать, что: 1) ядро линейного преобразования совпадает с собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению; 2) Собственное подпространство преобразования у, отвечающее собственному значению Л, есть множество векторов, удовлетворяющих условию у(х) = Лх. 24.3. Пусть А — матрица, а Л вЂ” собственное значение линейного преобразования и-мерного линейного пространства. Чему равна размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению Л, если ранг матрицы А — ЛЕ равен г? 24.4.

Какой вид имеет матрица линейного преобразования, если первые и базисных векторов являются его собственными векторами? з йв'. Сооствсннис вснтпори и собствснныс значения 217 24.5. Доказать, что размерность собственного подпространства, отвечающего данному корню характеристического многочлена, не превосходит кратности зтого корня.

24.6. Пусть х, у — собственные векторы линейного преобразования, отвечающие различным собственным значениям, а числа сс, ~3 отличны от нуля. Доказать, что вектор ссх+ ~3у не является собственным. 24.7. Доказать, что ненулевое линейное преобразование, для которого все ненулевые векторы собственные, является гомотетией. 24.8. Доказать, что система собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям линейного преобразования, линейно независима. 24.9. Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные.

Характеристики

Список файлов книги