1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 44
Текст из файла (страница 44)
24.107. Найти надпространства, инвариантные относительно операции взятия остатка (см. задачу 24.51) в пространстве всех многочлснов. 24.108. Пустыр — линейное преобразование пространства многочленов р(х, у), определенное в задаче 24.61. Доказать, что надпространства однородных многочленов степени и (и = = О, 1, ...) инвариантны относительно преобразования у. 24.109. Найти надпространства линейного пространства матриц порядка и, инвариантные относительно транспонировання.
24.110. В пространстве Я „„рассматривается преобразование у(Х) = АХ, где А — фиксированная матрица. Доказать, что Я „„является прямой суммой и надпространств, инвариантных относительно у. 24.111. В пространстве Я „„рассматривается преобразование у(Х) = АХ вЂ” ХА, где А — фиксированная матрица. До- я Щ Собстпвеннвте вектпорвт и собстпвенные вттачения 233 казать, что данное множество образует инвариантное относительно со подпространство: 1) множество всех матриц с нулевым следом; 2) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); 3) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А кососимметрическая); 4) множество всех диагональных матриц (если матрица А диагональная).
24.112. Линейное преобразование от пространства йп,п вещественных матриц порядка п определено формулой тр (Х) = = АтХ+ ХА, где А — фиксированная матрица. 1) Доказать, что кососимметрические матрицы образуют надпространство в Яп„п,инвариантное относительно преобразования от; 2) выразить характеристические числа ограничения у на этом подпространстве через характеристические числа матрицы А. 24.113. Линейное преобразование пространства матриц порядка и определено формулой со(Х) =А тХА, где А— невырожденная матрица. Доказать, что данное множество матриц является подпространством, инвариантным относительно преобразования тр: 1) множество всех матриц с нулевым следом; 2) множество всех скалярных матриц; 3) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); 4) а) множество всех симметрических матриц; б) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А ортогональная); 5) а) множество всех эрмитовых матриц; б) множество всех косоэрмитовых матриц (если А — унитарная матрица и если эти множества — подпространства 2п~-мерного вещественного пространства комплексных матриц порядка и).
24.114. Линейное преобразование тр комплексного пространства матриц второго порядка задано формулой у(Х) = = А ~ХА, где А = Атт, а — вещественное число. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования оо на подпространстве: 1) симметрических матриц; 2) матриц с нулевым следом. 234 Гл. У. Линейные отображения и преобразования ЭКордаиова форма матрицы (24.115-24.138) 24.115. Привести пример матрицы порядда и > 1, имеющей характеристическое число Л кратности й, 1 < й < и, и собственное подпространство размерности гп.
Сколько жордановых клеток отвечает этому Л, и чему равна сумма порядков этих клеток? 24,116. Проверить прямым вычислением терему Гамильтона-Кэли для данной матрицы и определить ее минимальный многочлен: 1) Азг; 2) 4зв', 3) Азэ; 4) Авз; 5) Авв; 6) Аззз; 7) Азю, '8) Аяза. 24.117. Может ли минимальный многочлен матрицы порядка и 1) быть многочленом первой степени; 2) иметь вид (е — Л)". Привести примеры.
24.118. 1) Показать, что собственный вектор является корневым. Чему равна высота собственного вектора? 2) Доказать, что матрица линейного преобразования тогда и только тогда диагоналязуема, когда высота каждого корневого вектора равна 1. 24.119. Доказать, что корневые векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. 24.120. Пусть Кг и Кз корневые подпространства, отвечающие собственным значениям Л1 Ф Лз.
Доказать, что Кз инвариантно относительно ~г = у — Л1е, и ограничение 41 на Кз невырождено. 24.121. Доказать, что размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего собственного значения как корня характеристического многочлена. 24.122. Доказать линейную независимость векторов жордановой цепочки. 24.123. Доказать, что начальные векторы жордановых цепочек, составляющих базис корневого подпространства, образуют базис соответствующего собственного подпространства. 24.124.
Пусть размерность собственного подпространства, соответствующего характеристическому числу Л, меньше кратности Л. Каждый ли собственный вектор имеет присоединенный вектор? з с4. Собстаеенные еентаоры н собственные значенна 235 24.125. Найти базисы корневых подпространств линейного преобразования, заданного матрицей А: 1) Агт; 2) Аы' 3) Ав' 4) Аы' 5) А1вв' 6) Аггг; 7) Азов; 8) Агав. 24.126.
Проверить, что линейное преобразование, заданное матрицей А, нильпотентно и найти для него жорданов базийс и жорданову форму матрицы: 1) Ав' 2) Азв — 2Е; 3) Авг — 5Е; 4) Ащ, 5) Агзз; 1 6) Агвз + Е; 7) Аевв; 8) Аевт; 9) Аевз. 24.127. Привести к жордановой форме матрицу: '" 1) Аы; 2) Азо; 3) Аев; 4) Азг; 5) А1вв, 6) Агвв; 7) Агат, '8) Агев; 9) Агве' 10) Агтз' 11) Атзв; т 12) (р) Агвз; 13) Агав, 14) Авве; 15) (р) Аевз; с 16) Аево; 17) Аевв' 18) Аевт. 24.128.
Приводятся ли к жордановой форме следующие матрицы линейных преобразований вещественного пространства? Найти их жорданову форму как матриц линейных преобразований комплексного пространства: 1) Аез; 2) Авг; 3) А44', 4) Агвг; 5) Азот,' 6) Аеет., 7) А4те. 24.129. Привести к жордановой форме матрипу линейного преобразования комплексного арифметического пространства: 1) Авг, '2) Атв', 3) Аво; 4) Авв. 24.130. Вычислить значение следующих многочленов от матрицы 7„(Л): 1) (с — Л)"', 2) га; 3) произвольный многочлен ~(с). 24.131.
Найти жорданову форму матрицы: ,;, 1) .7г(Л); 2),Уа (Л) (тп натуральное); 3) 1„~(Л) (Л ф О). 24.132. Что можно сказать о матрице А порядка и, если ее минимальный многочлен удовлетворяет следующему условию: 1) имеет все корни кратности 1; 2) с точностью до знака совпадает с характеристическим многочленом. 24.133. Пустыр™ = с для некоторого натурального числа т.
Доказать, что жорданова форма матрицы ст диагональна. Какие числа стоят на диагонали этой матрицы? 24.134. Найти жорданову форму линейного преобразования комплексного арифметического пространства с матрнцей: 2) А ; 3) А ; 4) А ; 5) А 236 Гл.
У. Линейнне отображения н преобразования 6) Аезо, '7) Аазз; 8) Аезз, '9) Аеео, 10) Ааль 24.135. Нс находя жордановых базисов, установить жордановы формы матриц, зная, что их характеристические многочлены равны (е — 1): 1) Алев+ Е; 2) Аеео', 3) Аееэ. 24.136. Проверить, что матрицы Азз| и — Аз7з имеют одинаковые характеристические многочлены. Найти их минимальные многочлены и жордановы формы.
24.137. Определить жорданову форму матрицы А по заданному характеристическому многочлену р(е) = — (1+ 1)з(е— — 2)з, зная, что В8(А — 2Е) = 3, а В8(А+ Е) = 4. 24.138. Найти экспоненту матрицы: 1),У„(0); 2) Аз; 3) ~~ ~~, ее Е М. 24.139. Пусть линейные преобразования у, 4 перестановочны.
Доказать, что: 1) ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого; 2) собственные подпространства преобразования ~р инвариантны относительно 4 24.140. Пусть Ло — собственное значение линейного преобразования у. 1) Доказать, что подпространства Сь = Кег(~р — Лое)" (и = = 1, 2, ...) инвариантны относительно р. 2) Показать, что Еь С.Сь+ь Может ли включение быть строгим? 24.141. Доказать, что: 1) любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор; 2) то же утверждение верно для вещественного пространства, если все характеристические числа преобразований вещественны.
21.142. Пусть у — вырожденное линейное преобразование конечномерного линейного пространства. Доказать, что существует такое ео > О, что для всех Ц < ео, преобразование ~р + ее невы рождено. 24.143. Доказать, что для любых двух линейных преобразований у, ф одного и того же линейного пространства характеристические многочлены преобразований об и фу совпадают.
е 84. Собственные векторы и собственные значению 237 ~А 24 144. Пусть у, ф — перестановочные линейные преобразования и-мерного пространства, причем у имеет п различных собственных значений. Доказать, что все собственные векторы преобразования ~р являются собственными и для ф, так что матрицы у и ф диагональны в общем для них базисе. 24.145. Пусть линейное преобразование у диагонализируемо и каждое его собственное подпространство инвариантно относительно линейного преобразования ер.
Доказать, что рФ=Фр. 24.146. Пусть С = С' Ю С", где С',,Со — ненулевые линейные подпространства в С. 1) Пусть у — проектирование пространства С на С' параллельно С", а 4 — некоторое линейное преобразование в,С. Доказать, что у4 = 4нр тогда и только тогда, когда подпространства С'н Со инвариантны относительно 4. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для отражения пространства С в Е'параллельно,С". 24.147.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
