1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Доказать, что данное подпространство в С инвариантно относительно ~р: 1) ~р(М); 2) ~р 1(М) (если со обратимо); ' 3) ~р™(М) (т>1); 4) Кегр(~р); 5) р(~р)(М). 24.6Я. Доказать, что 1) сумма двух (и вообще любого конбсчного множества) и 2) пересечение двух (и вообще любого множества) инвариантных подпространств линейного преобразования — инвариантные подпространства. 24.70. Пусть ~р — линейное преобразование линейного пространства, Доказать, что любое подпространство, содержащее 1пнр,инвариантно. 24.71. Доказать, что если линейное преобразование у невырождено, то у и у имеют одни и те же инвариантные подпространства. 24.72. Какой вид имеет матрица линейного преобразования п-мерного линейного пространства, если базис инвариантного подпространства образован; 1) первыми й базисными векторами; 2) последними п — й базисными векторами? 24.73.
1) Пусть линейное пространство является прямой суммой двух инвариантных подпространств линейного преобразования. Доказать, что тогда в некотором базисе матрица ~А О! преобразования имеет вид ~~ ~~, где А,  — квадратные матрицы. 2) Сформулировать и доказать обратное утверждение. 24.74. Доказать, что: 1) характеристический многочлен линейного преобразования делится на характеристический многочлен его ограничения на инвариантном подпространстве; 2) если все корни характеристического многочлена линейного преобразования ~р линейного пространства Е принадлежат полю, над которым определено С, то всякое подпространство в Е, инвариантное относительно <р, содержит собственный вектор этого преобразования; 3) если линейное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств линейного преобразования ~р, то характеристический многочлен со равен произведению характеристических многочленов ограничений ~р на этих инвариантных подпространствах. 228 Гл.
У. Линейнне отображения и преобразования 24.75. Найти все подпространства, инвариантные относительно гомотетии линейного пространства. 24.76. Найти подпространства, инварнантные относительно поворота плоскости вокруг начала координат на угол а. 24.77. Найти подпространства трехмерного геометрического векторного пространства, инвариантные относительно поворота на угол ее вокруг прямой х = ~а (а ф О). 24.78, Пусть линейное преобразование и-мерного линейного пространства имеет п попарно различных собственных значений. Найти все инвариантные подпространства и подсчитать их количество. 24.79. Пусть у — диагонализируемое линейное преобразование и-мерного линейного пространства Е.
Найти все подпространства в С, инварнавтные относительно преобразования р. 24.80. Пусть в базисе е~, ..., е„линейного пространства С линейное преобразование ~р имеет матрицу: 1) Уг(Л) (и=2); 2) Уз(Л) (п=3); 3) .У„(Л). Найти все подпространства в С, инвариавтные относительно ~р. 24.81. Пусть С = Сг ®Ег. Найти инвариантные подпространства данного линейного преобразования пространства .С: 1) проектирования на,Сг параллельно Сг; 2) отражения в Сг параллельно Ег. 24.82.
1) Показать, что преобразование у проектирования линейного пространства обладает свойством: ~рг = у. 2) Доказать, что ненулевое линейное преобразование ~р ~ е, для которого ~о~ = ~а, есть проектирование на 1ппр параллельно Кет а. 24.83. 1) Показать, что преобразование р отражения линейного пространства в подпространстве обладает свойством р'=а 2) Доказать, что линейное преобразование ~р, отличное от ~е, для которого рг = с, есть отражение пространства в подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству.
24.84. Пусть ~р — линейное преобразование пространства С. Докэзать, что при любом о каждое подпространство, содержащее 1гп(<р+ сее), инвариантно относительно ~р. з 84. Собставенные вентаорн и собственнне значения 229 24.85. Доказать утверждения: 1) Если линейное преобразование и-мерного линейного пространства имеет собственный вектор, то для него существует и (и — 1)-мерное инвариантное подпространство. 2) Пусть А — матрица линейного преобразования у в некотором базисе е, Л вЂ” собственное значение и строка а определена уравнением а(А — ЛЕ) = о.
Тогда уравнение аб = О в базисе е определяет (п — 1)-мерное подпространство, инвариантное относительно преобразования ~р. Справедливо ли обратное утверждение? 3) Всякое 1с-мерное инвариантное подпространство линейного преобразования комплексного пространства содержит (Й вЂ” 1)-мерное инвариантное подпространство. 4) А = Азвз', 8) А = Аззо. 24.88. 1) Пусть Л = а+ г~8 (~3 ф 0) — характеристическое число вещественной матрицы А порядка п, 1= х+гу — собственный вектор линейного преобразования пространства С„с матрицей А (х, у — вещественные векторы). Доказать, что х и у образуют базис двумерного инвариантного подпространства линейного преобразования пространства Я.„, заданного матрицей А. 2) Найти двумерные инвариантные подпространства Е для линейного преобразования пространства И4, заданного в стандартном базисе матрицей А4т4.
24.89. Пусть ~о — линейное преобразование вещественного линейного пространства, Л, Л вЂ” пара его комплексно сопряженных характеристических чисел, р= -(Л+Л) и д = ЛЛ. Доказать, что квазисобственное подпространство Кег(~рз + рр+ дс)— ненулевое и инвариантно относительно ~р. 24.86.
Линейное преобразование у арифметического пространства Я в стандартном базисе ем ..., е„задано матрицей А. Найти подпространства, инвариантные относительно 1о, если: 1) А=Азв, 2) А=Ам; 3) А=Азов; 4) А=Азат; 5) А=Азов, '6) А=Авз1 (п=2то); 7) А=Авзз. 24.87.
Найти (н — 1)-мерные подпространства в Я„, инварззвнтные относительно линейного преобразования, заданного сзззей матрицей А, если: 1) .4=Азы; 2) А=Аззз; 3) А=Аззз' 5) А = А4з1 6) А = А.дг, '7) А = Аззд, 030 Гл. У. Линейнне отображения и преобразования 24.90. Найти квазисобственные подпространства преобра. иваания у, заданного матрицей А 1 0 — 1 2 0 1 — 2 — 1 — 1 2 1 0 — 2 1 0 1 0 1 2 -1 Π— 2 — 2 2 0 1) А= 2) А= О 1 2 — 2 — 1 0 2 2 — 2 — 2 0 — 1 2 — 2 1 0 3) А= 4) А4зз; 5) А47е. 24. 91, Доказать, что квазисобственное подпространство не содержит собственных векторов, и через каждый его вектор проходит двумерное инвариантное подпространство. 24.92.
Доказать, что размерность квазнсобственного подпространства — четное число. 24.93. Доказать, что квазисобственное подпространствс можно разложить в прямую сумму двумерных инвариантных подпространств. 24.94. Доказать, что размерность квазисобствениого пространства не превосходит удвоенной кратности соответствующего характеристического числа. 24.95. Доказать, что в двумерном инвариантном подпространстве преобразования ео, не содержащем собственных векторов, можно выбрать базис так, что матрица ограничения ~р будет иметь вид ~~ о 24.96. Доказать, что любое двумерное инвариантное подпространство, не содержащее собственных векторов, лежит в некотором квазисобственном подпространстве.
24. 97. Доказать, что любые два квазисобственные подпространства имеют нулевое пересечение. 24.98. Доказать, что собственные и квазисобственные подпространства линейного преобразования расположены так, что сумма их — прямая сумма. 24.Я9. Для каждого из преобразований задачи 24.90 найти матрицу перехода к такому базису, в котором его матрица — клеточно диагональная, и найти матрипу преобразования в этом базисе. (В каждом случае найти хотя бы одно решение.) 24.100.
1) Пусть линейное преобразование <р и-мерного линейного пространства Е обладает цепочкой вложенных друг з св'. Собственные векторы и собственные значение 231 в друга попарно различных инвариантных подпространств: ь1 С Сз с ... С Е„= Е. Доказать, что в С существует базис, в котором матрица преобразования ~р верхняя треугольная. 2) Пусть в базисе ем ..., е„матрица линейного преобразования у пространства ь: верхняя треугольная. Доказать, что подпространства Еь = Е(ем ...,еь) (Й = 1, ..., и) инвариантны относительно ~р и Сь С Сь+~ (й = 1, ..., и — 1). 24.101.
Линейное преобразование пространства Яз задано матрицей А в стандартном базисе. Привести матрицу преобразования к треугольному виду, если: 1) А=Азез, 2) А=Аззз; 3) А=Аззз', 4) А=Амз 24.102. 1) Пусть Е1 С Ез С ... С,С„= Š— цепочка подпространств линейного пространства с"., инвариантных относительно линейного преобразования ~р, 41шСе = и; (п1 < пз < ... ... < и, = и). Допустим, что базис ем ..., е„выбран так, что векторы ем ..., есн принадлежат ье (4 = 1, ..., т).
Показать, что матрица А„— верхняя блочно треугольная с диагональными блоками размеров Ц х Ц, где йе = и; — и; 1 (1 = 2, ..., т), й1 =пи 2) Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования — верхняя блочно треугольная. Доказать, что преобразование обладает цепочкой инвариантных подпространств. Выразить их размерности через порядки диагональных блоков. 24.103. Пусть С вЂ” линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций у (с) (с б К), п — целое неотрицательное число, Л вЂ” фиксированное действительное число.
Доказать, что данное множество функций образует подпространство в .С, инвариантное относительно дифференцирования Р: 1) множество всех многочленов; 2) множество всех многочленов степени не выше и; 3) множество всех тригонометрических многочленов порядка не вьппе и; 4) множество всех линейных комбинаций функций е"", ... ех и '''1 Э 5) множество всех функций ~ (с) = е"'р(с), где р(с) — произвольный многочлен; 6) множество всех функций У (с) = е"'Т(с), где Т(1) — произвольный тригонометрический многочлен; 232 Гл. У.
Линейные отображения и преобразования 7) множество всех функций р(е) сое$, р(Ф) вш1, где р(4)— произвольный многочлен. 24.104. Пусть С вЂ” линейное пространство функций задачи 24.103, |р = Р~. Доказать, что данное множество функций является подпространством в Е, инвариантным относительно преобразования у. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования на этом подпространстве: 1) множество всех четных многочленов степени не выше 2п; 2) множество всех нечетных многочленов степени не выше 2п+1; 3) множество всех четных тригонометрических многочленов ао+а1соэФ+... +а„совп1; 4) множество всех нечетных тригонометрических много- членов о1зш1+... +опз1пп1.
24.105. Найти все надпространства линейного пространства всех многочленов, инвариантные относительно дифференцирования. 24.106. Показать, что линейное преобразование пространства всех многочленов, состоящее в умножении многочленов на Ф, не имеет ни собственных векторов, ни инвариантных подпространств (кроме нулевого подпространства и всего пространства).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
