1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Пусть ~р, ф — линейные преобразования и-мерного линейного пространства. Дано, что у" = О, бппКег~о = 1 и (ф, <р) = 4юр — ~р1б = у. Доказать, что ф имеет и собственных значений вида Л, Л вЂ” 1, ..., Л вЂ” (п — 1), где Л вЂ” некоторое число. 24.148 (р). Пусть у и ф — линейные преобразования пространства .С, причем <р взаимно однозначно. Найдите такое е) О, что для любого б е ( — е, е) линейное преобразование ~р+ бф взаимно однозначно. Глава 10 ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия: склярное умножение, евклидова пространство, унитарное (эрмитово) пространетаво, длина (норма) вектора, угол между векторами, матрица Грома, ортаогональная и ортонормированная системы векторов, ортонормированный багиц базис, биортогональный данному базису, ортпогональное дополнение надпространства, ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектпора, процесс ортогонализации, Яй-разложение матрицы, объем И-мерного параллелепипеда, угол между вектпором и подпространством, угол между двумя подпростраиствами.
Операция евклидова скалярного умножения в вещественном линейном пространстве Е ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из Е вещественное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и г и чисел а и Д выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у, х); 2) (ох+ ~Зу, г) = а(х, г) +~8(у, г); 3) (х, х) > 0 для любых хааа. Операция унитарного скалярного умножения в комплексном линейном пространстве Е ставит и соответствие каждой паре векторов х и у из Е комплексное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и г и чисел о и 8 выполнены следующие условия: 1) (х,у)=(у,х); 2) (ох+ду ') = (х )+Р(у ')' 3) (х, х) > 0 для любых хааа.
Вещественное (или комплексное) линейное пространство с введенной в нем операцией скалярного умножения называется евклидовым (нли, соответственно, унитарным). Мы обозначаем евклидовы пространства буквой Е, а унитарные — И, Число (х, у) называется скалярным произведением (при необходимости, с уточнением: евклидовым или унитарным). В задачах этой главы часто используются следующие важные примеры евклидовых и унитарных пространств. Множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии. Его мы будем называть геометрическим пространством.
В и-мерном вещественном арифметическом пространстве ус„ стандартным скалярным произведением векторов х и у называется Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 239 число (х, у) =хту=х1у1+...+х„у„. В п-мерном комплексном арифметическом пространстве С„ стандартным скалярным произведением векторов х и у называется число (х, у) = хту = х1у1 +... + х„у„. В линейном пространстве Я„»»» вещественных матриц размеров п1 х п с обычными операциями сложения и умножения на вещественное число стандартное евклидова скалярное произведение матриц Х = ()хуь(( и г = дузь(( определяется формулой т» (Х, У) =~~ ~~~ хну ь. (1) 1=1ь=1 Это же число может быть записано и как 1гХтУ (см.
задачу 25.4). Аналогично в пространстве комплексных матриц С „„стандартное унитарное скалярное произведение определяется формулой т» (Х, У) = ~ ~~~> х ьуэн 1=1ь=1 или, что то же, (Х, У) = 1гХ~У. В пространстве вещественных многочленов от переменной 1, имеющих степень не выше фиксированного числа п, стандартное скалярное произведение определяется формулой (см. задачу 25.8, 1)): 1 (р д) = р(1)дИ)Ф вЂ” 1 В евклидовом пространстве скалярное произведение выражается через координаты векторов в выбранном базисе ем ..., е„формулой » (х, у) = ~ ~д;з(;уд = Е,*Гг1, Куси где à — матрица из элементов ду = (еи е ), называемая матрицей Грома базиса ем ..., е„. Для унитарного пространства соответствующая формула имеет аналогичный вид (х, у) = », Гч.
Если Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису е', то матрицы Грама этих базисов связаны формулой Г' = Я~ГЕ для евклидова пространства, и Г' = Я~ГЗ вЂ” для унитарного. Как в евклндовом, так и в унитарном пространстве длиной вектора, а также евклидовой (унитарной) нормой называется число ~х~ = /(х, х). Вектор длины 1 называется нормированным вектором. Для любых векторов х и у выполняется неравенство Коши- Буняковского 240 Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства )(х, у)) < (х! (у(. Угол между векторами определяется формулой сг = = вхссоз((х, у) / Цх( ~у~)) .
Векторы х и у называются ортогональными, если (х, у) =О. Система попарно ортогональных векторов называется ортогональной и ортонормированной, если эти векторы нормированы. Пусть а — фиксированный вектор евклидова пространства Е. Сопоставим произвольному вектору х б Е число (а, х). Это определяет линейную функцию, присоединенную вектору х. Соответствие, сопоставляющее каждому вектору его присоединенную функцию— изоморфизм пространства Е на его сопряженное пространство. Этот изоморфизм не зависит от выбора базиса и потому позволяет отождествить эти пространства: принято отождествлять вектор с его присоединенной функцией.
Если в Е выбран базис еы ..., е, то функции, составляюппге его взаимный базис в сопряженном пространстве, отождествляются с такими векторами е» ..., е"„, что г\ Базис е", связанный таким соотношением с базисом е, называется ему биортогональным. Вектор называется ортогональным линейному подпространству евклидова или унитарного пространства, если он ортогонален каждому вектору пространства. Множество всех векторов, ортогональных подпространству Е, называется ортогональным дополнением Е и обозначается Е~. Это линейное надпространство, и Е Ю Е" = Е.
Если х = х' + х", где х' й Е, а хь б Е, то х' называется ортогональной проекцией х на Е, а х"— ортогональной составляющей х относительно Е. Говорят, что вектор х — 2х" получен из х ортогональным отражением в подпространстве Е. Процесс ортогонализации позволяет построить из произвольной линейно независимой системы векторов (м ..., ~,„ортогональную систему ненулевых векторов дм ..., д . В частности, произвольный базис можно преобразовать в ортогональный, а при последующей нормировке — в ортонормированный. Для этого из каждого из векторов уг, ..., у вычитают его проекцию на линейную оболочку предыдущих векторов.
Это приводит к следующим рекуррентным формулам ь-1 х (ггь д') Лг .2 (д'Р Существенно, что матрица перехода от гм ..., г, к дм ..., д„, является верхней треугольной (как и матрица обратного перехода). Линейное надпространство Ег называется ортогональным Ег, если Ег С Ег . Тогда и Ег С Ег~. у 25. Скалярное произведение. Матрица Грима 241 Рассмотрим й линейно независимых векторов уы ..., 1г в и- мерном евклидовом пространстве. Под й-мерным параллелепипедом (7ы ..., Я, построенным на них, мы будем понимать множество всех их линейных комбинаций с коэффициентами ан 0 < ап < 1, (г' = 1, ..., й). Векторы ~ы ..., 7г назовем ребрами параллелепипеда.
Параллелепипед (~м ..., Дг,) естественно назвать основанием параллелепипеда (~м ..., 1г), а высотой, соответствующей этому основанию, назовем длину ~йг~ ортогональной составляющей йг вектора уг относительно линейной оболочки гы ..., гг Объем одномерного параллелепипеда Щ мы определим как длину его единственного ребра: У Щ = Щ, а обеем й-мерного параллелепипеда У Цп ..., Я определим по индукции как произведение объема основания на высоту. Объем й-мерного параллелепипеда вычисляется по формуле У Ы, "., уг) = э~бес Гг, где Гг — матрица Грэма системы векторов 1м ..., Д.
Пусть е — произвольный базис, а Š— матрица из координатных столбцов векторов уп ..., 7'„в этом базисе. Тогда У(7м ..., ~„) = )беС Е(~IЛеСГг = )сСеСЕ) У (еы ..., е„). В частности, для ортонормированного базиса У (Ц„..., 7'„) = ( деС Г~. Углом мезгсду вектором х и линейным подпространствам Е называется точная нижняя грань угла, который х образует с различными векторами из г'. Пусть г'~ и Ег — два ненулевых линейных подпространства. Если одно из них лежит в другом, то угол между ними по определению равен нулю. В противном случае обозначим через Е~ н ьзг ортогональные дополнения подпросгранства Ес г1Ег соответственно в Гс и Ег. Углом мелсду подпространствами Ес н Ег называется точная нижняя грань значений угла между векторами х Е.Се1 и убей~~. В $ 25 н З 26 рассматривается евклидова пространство, а в З 27— унитарное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
